§16. Закон Паскаля

Прежде чем обсуждать закон Паскаля, рассмотрим интересный опыт. Возьмем большой бак, наполненный водой (рис. 1). Давление в нем на стенки и днище будет определяться величиной координат Z и L. Величина давления в жидкости на том или ином уровне характеризуется эпюрой статических давлений, представленной на рисунке 1.  Если теперь к баку в верхней его части приварить длинную тонкую трубку (рис. 2) и наполнить ее водой, то при достаточно большой длине трубки бак может лопнуть. Результат довольно неожиданный, если иметь в виду, что вес воды в трубке Gтр будет составлять незначительную часть от веса воды в баке Gб, а чтобы разорвать стенки бака нужна гораздо большая сила. Кстати, такой метод используется для проверки баков на прочность [9, с. 23].
Научное объяснение этому явлению имеется. Для этого используем закон Паскаля. (1623-1662), который гласит: давление, создаваемое на поверхности жидкости, передается одинаково по всем направлениям. А это значит, что добавочное давление pд, создаваемое тонкой трубкой, будет передаваться всему объему жидкости, расположенному ниже, тогда эпюра давлений уже будет иметь вид, представленный на рис. 3. Значит, давление на всех уровнях жидкости в баке будет больше на величину добавочного давления.
И все же остается сомнение в достоверности такого объяснения: как может тоненький столбик воды значительно повысить давление в большом баке? Может, должно иметь место еще какое-то явление, которое мы не учитываем?
Давайте, представим себе такую ситуацию: в тонкую трубку налита вода, но связи ее с баком нет. Тогда в трубке будет свое распределение давления, а в баке свое. Жидкости в трубке и баке будут обладать своими потенциальными энергиями, причем потенциальная энергия жидкости в баке будет во много раз больше. Потенциальные энергии обеих жидкостей будут обусловлены деформациями частиц жидкости, причем при равных высотах уровней L и h деформации частиц будут одинаковыми на одинаковых расстояниях от верхнего уровня. Теперь мгновенно соединим трубку с баком, поместив ее сверху. В момент соединения давление жидкости в нижней части трубки будет больше давления жидкости в верхней части бака, равного нулю. Большее давление из трубки будет увеличивать деформацию частиц жидкости в баке и увеличивать в нем давление. И поскольку потенциальная энергия частиц жидкости в трубке незначительна по сравнению с потенциальной энергией жидкости в баке, повышение давления должно было бы быть незначительным. Но мы знаем, что на самом деле это не так. Так в чем же дело? Откуда берется энергия на повышение давления и деформацию частиц? Дело, очевидно, в том, что частицы жидкости в трубке, отдавая энергию частицам в баке, сами одновременно получают ее от вышележащих частиц, а все частицы в целом пополняют ее от гравитационного поля Земли. Таким образом,  получается, что бак будет разрушать энергия гравитации Земли, а трубка с жидкостью будет играть роль аккумулятора энергии поля тяготения в момент передачи энергии от частицы к частице. Сам же процесс передачи энергии и повышения давления в баке будет происходить не мгновенно, а в течение некоторого времени. Это время будет зависеть от скорости передачи деформации от частицы к частице, которую можно считать равной скорости звука в жидкости. Для воды эта скорость равна, примерно, Vд= 1500 м/с. Поэтому время, по истечении которого давление на дне бака начнет повышаться не должно быть меньше, чем отношение L/Vд.
Время же полного установления давления во всем объеме бака должно быть больше. Но насколько? Решение этого вопроса представляет несомненный интерес.
Попытаемся решить эту задачу путем установления аналогии между распространением деформации частиц в баке и нагреванием твердого тела, имеющего размеры бака, тепловым потоком, действующим на площадке радиуса Rтр (рис. 4). Здесь действие теплового потока q приведет к появлению температуры tg на площадке его действия, которую можно считать аналогом добавочного давления рд. Распространение же температуры в объеме тела можно рассматривать как распространение давления в объеме бака, причем тело должно быть со всех его поверхностей теплоизолировано, чтобы не было утечки тепла. Разница между распространением температуры и распространением давления будет заключаться только в скорости этого распространения. Для температуры эта скорость характеризуется коэффициентом температуропроводности а. Если принять значение этого коэффициента равным скорости звука в жидкости Vд, то, пожалуй, аналогию между температурой и давлением можно считать установленной. Эта аналогия нами выбрана потому, что методы решения задач теплопроводности достаточно хорошо разработаны.
Решим эту задачу с помощью метода интегральных преобразований [10]. Нестационарное уравнение теплопроводности для тела цилиндрической формы имеет вид:
,                                                        (1)
где t - температура тела, r - текущий радиус, t - время, а - коэффициент температуропроводности.
Начальные и граничные условия определятся выражениями:
;
,                                      (2)
где l - коэффициент теплопроводности.
Для решения задачи произведем последовательно интегральные преобразования, позволяющие исключить дифференциальные операции по Z и r.
Сперва положим:
(3)
Для этого выражения будут иметь место:
,
;
;
(4)
Так как r=1, то ядро преобразования и вспомогательная функция могут отличаться лишь нормирующим делителем. Для их отыскания необходимо найти решение граничной задачи:
;                                                                            (5)
(6)
Это решение, рассматриваемое как функция переменной Z и порядкового номера n собственного числа , и представит (с точностью до множителя) искомое ядро преобразования:
;                                                    (7)
(8)
Используя граничные условия (6), найдем:
где n=0, 1, 2... ,                                                         (9)
откуда
,                                                           (10)
(11)
Ядро прямого преобразования определится выражением:
,                                                        (12)
где нормирующий делитель Сп будет равен:
(13)
Осуществив преобразование с этим ядром, приведем рассматриваемую задачу к виду:
,              (14)
где
;          (15)
(16)
Для исключения операций дифференцирования по r положим:
,                                                                        (17)
откуда будем иметь:
,
(18)
Вспомогательная функция должна удовлетворять уравнению:
,                                                              (19)
приводящемуся путем деления на r к уравнению Бесселя:
(20)
Учитывая граничные условия:
,                                                               (21)
найдем решение этого уравнения:
,                                                                                 (22)
и характеристическое уравнение, определяющее собственные числа задачи:
(23)
Обозначив , получим:
(24)
Ядро прямого преобразования определится выражением:
,                            (25)
где нормирующий делитель Сh будет равен:
(26)
Выполнив в интервале интегральное преобразование с ядром (25), приведем рассматриваемую задачу к виду:
,                                                           (27)
где
;     (28)
(29)
Полученное после преобразований уравнение (27) представляет собой уравнение первого порядка вида [11, с. 38]:
,                                                                        (30)
решением которого будет выражение:
,                                                         (31)
где
(32)
Приняв и имея в виду, что
;
;                                                    (33)
,
получим следующее выражение для температуры:
(34)
Используя соотношения (10) и (24), выражение (34) преобразуем к виду:
(35)
Осуществив обратные преобразования, найдем решение рассматриваемой нами задачи:
(36)
В выражении (36) комплекс имеет размерность температуры и может характеризовать температуру tд в месте действия теплового потока, т.е. мы можем принять:
,                                                                                      (37)
тогда выражение (36) можно представить в виде:
(38)
Первый член выражения (38) будет определяться значениями n=0 и mh=0 в соответствии с выражениями (9) и (23), при которых отношения:
(39)
и
(40)
представляют собой неопределенности вида 0/0. Эти неопределенности  можно раскрыть с помощью правила Лопиталя, взяв производные от числителя и знаменателя по соответствующему параметру. Для первого отношения будем иметь:
,  (41)
где m‘=1, а значение найдем из представления этой функции  в виде ряда:
,                                        (42)
где
Второе отношение можно представить в виде:
,                                       (43)
где

Тогда первый член определится выражением:
(44)
Последующие члены двойного ряда в выражении (38) будут значительно меньше первого члена, являясь к тому же знакопеременными. Можно также задаться таким временем t, при котором температура выравнится во всем объеме тела и будет равна tд. Тогда с достаточной степенью точности можно будет считать, что t/tд » t1/tд = 1. Используя выражение (44), найдем время установления температуры и, следовательно, давления в объеме бака:
(45)
Значения времени установления давления в зависимости от отношений R1/R2 при а=Vд=1500 м/с, R1 = 1×10-2 м и R1/L = R1/R2, рас читанные по формуле (45), представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Таким образом, мы рассмотрели физическую сущность закона Паскаля, установили, что его действие связано с переходным процессом во времени, когда давление последовательно передается от одной частицы жидкости к другой, и только по истечении некоторого момента времени давление принимает установившееся значение. Кроме того, нам стало ясно, что для поддержания давления в жидкости необходимо непрерывное поступление энергии, в частности гравитационной энергии Земли.