§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.11

Индекс материала
§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления.
ч.1
ч.2
ч.3
ч.4
ч.5
ч.6
ч.7
ч.8
ч.9
ч.10
ч.11
ч.12
ч.13
ч.15
ч.16
ч.17
ч.17
ч.18
ч.20
ч.21
ч.22
ч.23
ч.24
ч.26
ч.27
ч.28
ч.29
Все страницы

Таким образом, получается, что суммируются силы, а получается работа, суммируются скорости – получается перемещение, то есть параметр, по которому производится суммирование, вносит свою размерность в результат суммирования. Теперь мы подошли к моменту, когда можно дать окончательный ответ на вопрос: что же такое интегрирование, какое определение можно дать этой математической операции?
В связи с вышеизложенным следует дать такое самое общее определение операции интегрирования, справедливое как для определенного, так и для неопределенного интегралов: интегрирование – это нахождение некоторой величины по известной скорости ее изменения. Поэтому выражения для интегрирования лучше представить в таком виде:
(42)
или в символической форме:
,                                                     (43)
где - искомая величина (функция), скорость изменения которой нам известна.
Если скорость изменения будет действительной скоростью при движении объекта в пространстве, то интегральная функция будет характеризовать его действительное перемещение.
Если будет мгновенным воздействием на объект со стороны другого объекта, то есть действующей на него силой F, то интеграл по перемещению дает изменение кинетической энергии объекта или работу силы F, интеграл же по времени даст изменение качества движения. Значит, сила F будет представлять собой скорость изменения кинетической энергии при перемещении объекта в пространстве или количества движения во времени. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже.
В этом заключается физическая сущность интегрирования. Математически же интегрирование – это суммирование некоторой функции по параметру x, геометрически – это нахождение площади фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и пределами интегрирования.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим несколько примеров.
Пример первый. Возьмем цилиндр с радиусом R и высотой H (рис.5). Объем этого цилиндра равен:
(44)
napravlenie-dvigeniyНам надо узнать, как изменяется объем цилиндра с изменением радиуса r, то есть скорость изменения объема по координате r. Для этого мы должны выразить объем через текущую координату и взять по ней производную:
;                       (45)

(46)
Отсюда следует, что скорость изменения объема цилиндра по координате r определяется цилиндрической поверхностью радиуса r и высотой H (заштрихованная поверхность на рис.5). На первый взгляд мы получили странный результат: скоростью является поверхность. Однако, мы уже показали, что скорости могут быть как действительными, так и квазискоростями (в квазидвижениях). Здесь мы имеем дело с квазискоростью, она показывает изменение объема тела с изменением его радиуса. По этой скорости можно найти объем цилиндра, для чего надо задать движение цилиндрической поверхности в направлении радиуса, начиная с его нулевого значения. Вполне очевидно, что эта поверхность “опишет” весь объем  цилиндра. Можно также сказать, что бесконечная сумма мгновенных поверхностей при суммировании их по координате r даст нам объем цилиндра. Этот же объем мы можем легко найти с помощью интегрирования элементарного объема:

(47)
по координате r в пределах от 0 до R:
(48)
Как видим, эта операция легко производится в символических обозначениях, так как мы знаем связь между скоростью изменения подынтегральной функции и самой интегральной функцией , то есть имеем таблицу интегралов.
Пример второй. Для этого же цилиндра можно установить связь между его объемом и скоростью изменения объема по координате z (см. рис.6). Для этого возьмем производную по z от текущего значения объема:
,                                        (49)
в результате получим:
(50)
ris-1-02-006Получается, что скорость изменения объема по z определяется площадью круга радиуса R. Перемещение этого круга вдоль оси z опишет весь объем цилиндра.
При интегрировании мы берем элементарный объем:
,                                                                                    (51)
по которому и находим весь объем цилиндра:
(52)
Пример третий.  Найдем выражение, характеризующее скорость изменения площади круга по его радиусу r:ris-1-02-007
;                                                               (53)
(54)
Получается, что такой скоростью является окружность радиуса r. При заданном движении она опишет площадь круга.
Пример четвертый. Для прямой, расположенной под углом к оси абсцисс , скорость изменения ее длины будет равна:
,                                                                                               (55)
то есть прямая будет очерчена точкой, движущейся с этой скоростью (рис.7).
Пример пятый. При скорость изменения функции равна нулю, то есть никакого движения по оси y не происходит, но зато существует движение аргумента (эталонное) вдоль оси x. Это значит, что изменение аргумента x не влияет на величину y, так как между ними не установлена функциональная зависимость (рис.8).
Из приведенных примеров следует, что объем получается при движении некоторой поверхности, поверхность – при движении линии, линия – при движении точки.
ris-1-02-008Таким образом, мы рассмотрели физическую сущность операций дифференцирования и интегрирования функций, устанавливающих связь между переменными величинами, и пришли к выводу, что после соответствующих преобразований приращение аргумента , принимаемое сначала за некоторую небольшую конечную величину (но не бесконечно малую), должно затем приниматься равным нулю. В принципе в настоящее время дифференцирование и интегрирование практически так и осуществляется. Проблема заключается только в объяснении смысла этих операций.
Операции дифференцирования и интегрирования практически в современном виде известны более трехсот лет, и за это время математики не смогли понять их действительной сущности, хотя среди них были такие выдающиеся личности, как И. Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Иоганн и Даниил Бернулли, Лагранж. В чем же причина этого? Может, рассмотрение истории развития и обоснования математического анализа даст ответ на этот вопрос, поможет выявить причины, мешающие его пониманию.



Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации