§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.16

Для обоснования сущности математического анализа Лейбниц ввел понятие дифференциала, наглядное представление о котором дано на рисунке 9. Лейбниц использовал характеристический треугольник PQR, в котором P и Q бесконечно близкие точки на кривой. Тогда dx – разность их абсцисс, а dy – разность их ординат. Кроме того, касательная к кривой в точке Т совпадает с дугой PQ. Следовательно, отношение задает угол наклона касательной. Лейбниц считал, что треугольник PQR подобен треугольнику STU, а стороны dx и dy – бесконечно малы. Поэтому отношение бесконечно малых , представляющее собой производную, он выражал через отношение конечных величин: TU/SU. Под бесконечно малыми он сперва понимал величины, отличные от нуля, но меньше любого заданного числа, то есть, по сути дела, постоянные величины, которыми можно пренебречь по сравнению с другими величинами. Однако, такое объяснение не удовлетворило Лейбница, поэтому он сформулировал принцип непрерывности [16, с.163]: “Если переменная на всех промежуточных этапах обладает некоторым свойством, то и ее предел будет обладать тем же свойством”. Этот принцип он использовал для доказательства того, что свойства характеристического треугольника не изменяются, то есть отношение дифференциалов будет одним и тем же, когда все стороны становятся равными нулю. Лейбниц делал вывод, что бесконечно малая – это не простой и абсолютный нуль, а нуль относительный, то есть исчезающая величина, которая, однако, сохраняет свойства той величины, которая собственно, исчезает. Так, в 1713 году Лейбниц писал в одном из своих писем [21, с.63]: “Бесконечно малую мы понимаем не как простое и абсолютное ничто

, а как ничто, обращенное назад…, то есть как бесспорно исчезающее в ничто, сохраняя, однако, характер того, что исчезает”. Этот принцип и справедливые следствия из него тоже не были поняты современниками и последователями Лейбница. Математики считали этот принцип чисто философским и не доказуемым, может потому, что производная при этом выражалась отношением нулей.
Лейбниц широко использовал понятие интеграла как суммы элементарных прямоугольников, число которых стремится к бесконечности. Для этой бесконечной суммы бесконечно малых величин Лейбниц ввел обозначение:
,
которое получило название интеграла. Такое символическое обозначение интеграла позволило Лейбницу вычислять бесконечные суммы путем обращения операции дифференцирования.
Таким образом, Лейбниц дал свое обоснование дифференциальному и интегральному исчислению, которое можно назвать символическим или операторным, так как дифференциалы переменных являются символами нуля, как по воззрениям Лейбница, так и по нашему мнению. Символическая форма записи позволила в сравнительно простой форме установить связь между дифференциальными и интегральными операциями, позволила обращаться с дифференциалами как с обычными алгебраическими величинами.
Однако, дифференциалы у Лейбница играли двоякую роль: они были символами и бесконечно малых, но конечных величин, и символами нуля. Лейбниц был вынужден идти на такое раздвоение сущности бесконечно малой величины, так как для определения производной не всегда было возможно использовать операторный (символический) метод, то есть приходилось использовать и отношение приращения функции к приращению ее аргумента.
Все это не способствовало убедительности и строгости в обосновании анализа в глазах математиков. Неуверенность математиков XVII-XVIII веков в основах анализа, шатание и разброд среди них по этому вопросу ярко характеризуется критикой основ анализа со стороны епископа Беркли (1685-1753). В 1734 году Беркли опубликовал сочинение под названием “Аналитик, или Рассуждение, адресованное одному неверующему математику , в котором исследуется, являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчетливо познаваемыми и с большей очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры”. В нем Беркли сетовал на загадочность и непонятность того, чем занимаются математики, поскольку, по его мнению, они никак не обосновывали и не объясняли своих действий. В свете того, что нами уже сказано о сущности исчисления бесконечно малых, можно утверждать, что Беркли не понял, да, очевидно, и не мог понять рассуждений и доказательств Ньютона. Так, он обвиняет Ньютона в том, что тот отбрасывает члены, содержащие , считая их равными нулю. Поступая так, утверждает Беркли, Ньютон допустил вопиющее нарушение закона противоречия. Такого рода рассуждения в теологии были бы признаны неприемлемыми. Беркли также заявлял, что первые флюксии, по-видимому, выходят за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного. “А если непостижимы первые [флюксии], то что можно сказать о вторых, третьих и т.д.? Тот, кто сумеет постичь начало начал или конец концов… возможно, окажется достаточно проницательным, чтобы понять подобные вещи. Но, по моему глубокому убеждению, большинство людей не в состоянии понять их в каком бы то ни было смысле…” [16, с.171].
По поводу предложенного Ньютоном представления о производной как об отношении двух исчезающих малых величин и , Беркли выразился так: “Они не конечные величины, не величины бесконечно малые, не ничто. Как же не назвать их призраками покинувших нас величин?”.
Беркли критиковал и Лейбница: “Лейбниц и его последователи…без тени сомнения сначала предполагают и затем отвергают бесконечно малые величины, что не может не заметить любой мыслящий человек, наделенный ясным умом и здравостью суждений и не относящийся к такого рода вещам с предвзятой благосклонностью” [16, с.171].
Цитируем далее М.Клайна [16, с.171-172]: “Отношение дифференциалов, утверждал Беркли, геометрически должно означать тангенс угла наклона секущей, а не касательной. Эту ошибку математики совершают, пренебрегая высшими дифференциалами. Так, “благодаря двойной ошибке вы приходите хотя и не к науке, но все же к истине”, потому что одна ошибка компенсирует другую. Неудовольствие Беркли вызвал и второй дифференциал Лейбница - “разность величины dx, которая и сама едва различима”.
“Можно ли назвать действия современных математиков, - спрашивал Беркли, имея ввиду подход как Ньютона, так и Лейбница, - действиями людей науки, если они с гораздо большим рвением стремятся применить свои принципы, нежели понять их?” “Во всякой другой науке, - утверждал Беркли, - люди доказывают правильность заключений, исходя из принятых ими принципов, а не принципы, исходя из заключений”.