§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.17

Многие математики выступили с ответом на критику Беркли, но существенных результатов в обосновании анализа добился только Л. Эйлер (1707-1783). Для характеристики его взглядов приводим выдержку из книги М. Клайна “Математика. Утрата определенности” [16, с.172]: “В своем сочинении “Основы дифференциального исчисления”…Эйлер привел следующее рассуждение:
Каждая величина, несомненно, может уменьшаться настолько, что исчезнет полностью и растает. Но бесконечно малая величина есть не что иное, как исчезающая величина, и поэтому сама равна нулю. Это полностью согласуется также с определением бесконечно малых величин, по которому эти величины должны быть меньше любого заданного числа. Ясно, что такая величина не может не быть нулем, ибо если бы она была отлична от нуля, то вопреки предположению не могла бы быть меньше самой себя.
Такие бесконечно малые как dx (обозначение Лейбница), равны нулю, следовательно, равны нулю и т.д., утверждал Эйлер, потому что последние принято считать бесконечно малыми более высокого порядка, чем dx. Производная (в обозначениях Лейбница), бывшая для Лейбница отношением бесконечно малых, понимаемых в его смысле, для Эйлера, по существу, обращалась в неопределенность . Эйлер утверждал, что может принимать много значений, так как при любом числе n, и, разделив равенство на 0, мы получим . Какое именно значение принимает для вполне определенной функции, можно установить с помощью обычного метода вычисления производной. Эйлер демонстрирует это на примере функции . Придадим переменной x приращение . Пока , по предположению, не равно нулю… следовательно:

Там, где Лейбниц считал приращение бесконечно малым, но не равным нулю, Эйлер положил равным нулю, после чего отношение , то есть , оказалось равным 2x.
Эйлер подчеркивал, что эти дифференциалы (предельные значения и ) – абсолютные нули и из них нельзя извлечь ничего, кроме их отношения, которое и было вычислено в заключение и оказалось конечной величиной” .
Таким образом, с наших позиций, Эйлер рассуждал вполне логично и правильно. По существу он привел позицию Лейбница к ее логическому завершению, заявив, что дифференциалы есть нули. Но он был не совсем прав, когда утверждал, что имеет смысл только отношение дифференциалов. Мы уже отмечали, что с дифференциалами можно выполнять алгебраические операции как с обычными выражениями.
Но Л. Эйлера, к сожалению, тоже не поняли современники. И не только они. Вполне современный нам математик М. Клайн дальше пишет: “Разумеется, предложенное Эйлером обоснование метода нахождения производной было ничуть не более здравым, чем обоснования, предлагавшиеся Ньютоном и Лейбницем” [16, с.173].
Вот так!
Были еще интересные попытки обоснования анализа. Так Джон Ланден, английский математик-самоучка, в своем “Анализе остатков” в 1764 году [19, с.169] в ответ на критику Беркли полностью избегал бесконечно малых при взятии производной. Так, например, производную от он находил, заменяя x на :
(65)
Затем, возвращая к x, получал точное значение производной - . Таким образом, как и прежде, производная находилась как отношение приращения функции к приращению аргумента. Следует отметить, что такой способ нахождения производной является вполне оригинальным и действительно позволяет обходиться без использования бесконечно малых величин, хотя, как и в других случаях, в левой части этого выражения в итоге получается отношение нулей.
Следующую серьезную попытку обоснования анализа предпринял Лагранж. Он считал, что полученные с помощью анализа правильные результаты объясняются наложением и взаимной компенсацией ошибок. Свои идеи Лагранж изложил в книге “Теория аналитических функций” (1797). Подзаголовок книги гласил: “Содержащая основные теоремы дифференциального исчисления, доказанные без использования бесконечно малых, исчезающих величин, пределов и флюксий, и сведенная к искусству алгебраического анализа конечных величин”. Цитируем далее по М. Клайну [16, с.173]: “Критикуя Ньютона, Лагранж, в частности, указывал, что рассматривая предел отношения дуги к хорде, тот считал хорду и дугу равными не до и не после, а в момент исчезновения. В этой связи Лагранж заметил:
Такой метод чрезвычайно неудобен тем, что величины приходится рассматривать в тот самый момент, когда они, так сказать, перестают быть величинами, ибо, хотя мы всегда хорошо представляем отношения двух величин, покуда они остаются конечными, их отношение не дает уму никакого ясного и точного представления, коль скоро обе величины исчезают одновременно.
Лагранж не был удовлетворен ни бесконечно малыми величинами Лейбница, ни абсолютными нулями Эйлера, так как оба этих понятия, “хотя и правильны в действительности, все же недостаточно ясны для того, чтобы служить основанием науки, надежность выводов которой зиждется на ее очевидности”.
Лагранж считал, что строгим обоснованием сущности анализа является разложение произвольной функции в бесконечный ряд по степеням , в котором коэффициенты при представляют собой производные и т.д. По этому поводу можно сказать, что метод Лагранжа является  не обоснованием анализа, а способом вычисления производных.
И, наконец, завершающее, как считалось долгое время, обоснование анализа с помощью понятия предела дал Коши в его “Курсе анализа” (1821) и в его “Резюме лекций, прочитанных в Королевской политехнической школе” (1823), причем понятие предела было даламберовым. Бесконечно малое число он определяет как переменную величину, предел которой есть нуль, а величины и - как бесконечно малые количества.