§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.17

Идеи Коши широко используются в современной математике. Однако, как уже отмечалось, не все ученые удовлетворены таким объяснением сущности математического анализа, что и привело к появлению уже упоминавшегося выше нестандартного анализа.
Приведем цитату из книги В.А.Успенского “Что такое нестандартный анализ?” [14, с.108]: “В статье А.Робинсона “Нестандартный анализ” были намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения (например, к аналитической механике). В этой статье Робинсон, в частности, писал: “Наша главная цель – показать, что эти модели дают естественный подход к старой почтенной проблеме построения исчисления, включающего бесконечно большие и бесконечно малые количества. Как хорошо известно, использование бесконечно малых, настойчиво защищаемое Лейбницем и без колебаний принимаемое Эйлером, было дезавуировано с появлением методов Коши, поставивших математический анализ на твердую основу”.
Далее В. А. Успенский замечает, что “до 1961 года понятие бесконечно малой постоянной величины, бесконечно малого числа третировалось в лучшем случае как нестрогое, а в худшем – бессмысленное. Робинсон впервые обнаружил, что этому понятию можно придать точный математический смысл”.
Таким образом, на сцене вновь появляется бесконечно малая величина в своем первозданном виде, то есть как неделимая, но уже только в другом обличье – как нестандартное бесконечно малое число, о котором мы уже говорили.
В кратком историческом экскурсе мы показали, что многие ученые стояли на правильных позициях в попытках обоснования анализа, причем ближе всех к разгадке его сущности находились Ньютон, Лейбниц и Эйлер. Но они не смогли убедительно завершить это обоснование. Что же помешало им и другим ученым сделать это? Теперь мы можем ответить на этот вопрос.
Из всего изложенного выше видно, что камнем преткновения, затрудняющим понимание сущности операций дифференцирования и интегрирования, является понятие бесконечно малой величины. Об это понятие спотыкаются все доказательства. При дифференцировании функций всегда берется отношение , где и , в сущности являются или действительными перемещениями объектов в пространстве или квазиперемещениями их моделей (точек). Это отношение для действительных перемещений мы считаем скоростью движения рассматриваемого материального объекта, так как за мы обычно принимаем время. Об этом говорил и Ньютон, имея ввиду начальные и конечные отношения. Но если будет не временем, а каким-то другим движением, то отношение все равно будет являться скоростью по ее принятому определению, только это будет средняя скорость. При попытке определить мгновенную скорость, то есть скорость в каком-то положении, или в какой-то момент времени, или при каком-то конкретном значении аргумента x мы приходим к смущающему нас результату: эта скорость будет определяться отношением нулей, так как величины и исчезают. Но тогда откуда же взяться скорости, если она определяется их отношением? Вот здесь следует задуматься над сущностью скорости. Что же это такое? И правильное ли определение мы ей даем? С одной стороны у нас, вроде, нет другого способа определения скорости как только через отношение и , с другой стороны это все-таки не мгновенная скорость в выбранном нами положении, а средняя скорость на интервале движения . Далее, если мы примем значения и равными нулю, движение от этого не остановится, то есть в рассматриваемое мгновение движения скорость имеет вполне определенное значение. А как тогда ее найти? Или какое ей дать определение? Очевидно, что отношение перемещений уже не годится. Тогда что же остается? Остается только, очевидно, взять отношение скоростей исследуемого и эталонного движений, как это делал и Ньютон, беря отношение флюксий и . Но скорость эталонного движения нам  не  известна  и  мы  никогда ее не узнаем. Поэтому скорость исследуемого движения будет условно выражаться в единицах скорости эталонного движения, а это отношение в случае движения никогда не будет равно отношению нулей. Но можно ли тогда скорость выражать отношением перемещений? Очевидно, можно, так как перемещения должны быть пропорциональны скорости. Поскольку скорость движения в общем случае является переменной величиной, то есть изменяется от одного мгновения (положения) к другому, то и отношение перемещений будет выражать среднюю скорость.
Попутно здесь возникает еще один вопрос: можно ли говорить о скорости эталонного движения, если мы ее не знаем? Но ведь эталонное движение существует и для него надо ввести какое-то понятие, аналогичное скорости. Мы предлагаем вместо скорости в этом случае говорить об интенсивности движения, которая подразумевает определенную быстроту этого движения, но отсутствие ее точного значения, что мы привыкли рассматривать как скорость. Значит, эталонное движение будет обладать определенной интенсивностью движения. То же самое можно сказать и о любом другом движении. И тогда мгновенную скорость можно точно определить как отношение интенсивностей рассматриваемых движений в данное мгновение движения или в данном положении движущегося объекта. Из этого определения вытекает важное следствие: интенсивность движения является более общим понятием, чем понятие скорости. В философском смысле это даже будет одним из основных свойств движущейся материи.
Таким образом, ничего страшного в том, что и могут принимать нулевые значения, нет. Нет также необходимости считать их бесконечно малыми величинами. Просто при дифференцировании мы задаем движение, принимая произвольные значения и находя соответствующие значения , а затем берем их отношение. Вот здесь появляется второй камень преткновения: что делать с правой частью отношения ? Если мы просто найдем разность , а затем примем равным нулю, то и будет равно нулю. Очевидно, эту разность надо преобразовать, то есть поделить на , получив при этом новую функцию, выражающую среднюю скорость движения. Это может быть сделано, например, путем разложения в ряд по степеням и затем последующего его деления на . И только после этого величину можно считать равной нулю. Не понимая этого, некоторые математики просто пытались избавиться от величин и .