§6. Поле кинетической энергии. Силы инерции.

Как было показано в предыдущем параграфе изменение кинетической энергии тел при их взаимодействии является мерой этого взаимодействия. Изменение кинетической энергии тел, отнесенное к перемещению их в пространстве, в пределе, когда это перемещение будет равно нулю, определяет силу, с которой тела действуют друг на друга в данном положении.
Изменение кинетической энергии связано с изменением скорости движения тел при их перемещении в пространстве, если же скорость не будет изменяться, то не будет изменения кинетической энергии и, следовательно, никакого взаимодействия. Такие условия взаимодействия имеют место на уровне отдельных дискретных тел. Но имеют место случаи, когда скорость изменяется в объеме отдельного дискретного тела или сплошной среды, как, например, происходит при вращении твердого тела или движении вязкой жидкости по трубе. На рис.1 представлены картины поля скоростей для этих случаев движения. Различные частички твердого и жидкого тел будут иметь разную кинетическую энергию в зависимости от их пространственного положения в объеме тела. И если считать эти частички дискретными, то соседние частички, соприкасающиеся и взаимодействующие друг с другом, будут тоже иметь разную энергию, так как движутся с разными скоростями, хотя эта разница и может быть незначительной. Несомненно, что здесь существует пространственное изменение кинетической энергии в радиальном направлении, хотя частички твердого тела и жидкости не перемещаются в пространстве в этом направлении. В твердом теле они жестко сцеплены друг с другом, в жидкости они движутся вдоль трубы, скользя друг по другу. Но если есть пространственное изменение кинетической энергии при взаимодействии частичек тел, то должна возникнуть и сила взаимодействия между ними, обусловленная этим изменением.
Рассмотрим этот вопрос подробнее на примере вращающегося диска (рис.2). При вращении диска в момент его разгона движение будет передаваться от внутренних частиц, лежащих около его оси, к внешним, причем окружная скорость внешних частиц, а значит, и их кинетическая энергия, будут больше. Следовательно, энергия будет передаваться от внутренних частиц к внешним. Каким же образом будет это происходить? Каков будет механизм передачи энергии?
Если бы частица переместилась на место частицы , то при равенстве их масс ее энергия увеличилась бы на величину dE, равную:
(1)
При этом, как следует из сущности самой задачи, размеры самой частицы ввиду постоянства ее массы должны изменяться, уменьшаясь в радиальном и увеличиваясь в касательном направлениях . Таким образом, у частицы увеличилась бы не только кинетическая, но и потенциальная энергия за счет ее деформации.
Поскольку при перемещении частицы ее кинетическая энергия увеличивается должна быть совершена работа некоторой силы dF, направленной во внешнюю сторону, равная изменению кинетической энергии частицы. Так как перемещение центра масс частицы s равно dr, получим следующее соотношение:
,                                                                        (2)
откуда следует:
(3)
Используя выражение (1), найдем силу, действующую на элементарную частицу:
(4)
Так как эта сила направлена во внешнюю сторону, она будет центробежной. Однако, при вращении диска его частицы не перемещаются в радиальном направлении, за исключением, конечно, перемещения, обусловленного их деформацией. Тогда силы dF, может, тоже не должно быть? Но если бы ее не было, то и частицы тела не оставались бы в деформированном состоянии. Поэтому сила dF должна реально существовать. Она будет направлена во внешнюю сторону и вместе с центростремительной силой, искривляющей траекторию частиц, будет вызывать деформацию частиц и поддерживать их в этом состоянии.
Для выяснения природы этой силы рассмотрим, что происходит с частицами диска при его вращении. Все частицы диска совершают вращательное движение, благодаря действию центростремительной силы, обусловленной взаимодействием частиц друг с другом (рис.3). Величину этой силы можно найти с помощью центростремительного ускорения по формуле:
(5)
Само же центростремительное ускорение находится по изменению окружной скорости в радиальном направлении при движении частицы относительно неподвижной системы координат x-y, по отношению к которой и рассматривается вращение диска. Для этого берется предел отношения :
,                                               (6)
где изменение скорости находится из треугольника скоростей (рис.3,б), образованного скоростями V в положениях частицы A и , а .
Однако, центростремительную силу можно найти, как было показано выше, и по изменению кинетической энергии частицы при ее перемещении в пространстве в соответствии с формулой:

Но о каком же изменении энергии частицы можно говорить, если величина ее скорости при равномерном вращательном движении все время остается одной и той же?
Действительно, величина скорости V не изменяется, но зато меняется ее направление, на что, очевидно, требуются дополнительные затраты энергии , вызывающие соответствующее изменение скорости , которое в пределе будет иметь радиальное направление:
,                                                             (7)
где - изменение кинетической энергии частицы с массой .
Перемещение частицы в радиальном направлении может быть найдено с помощью рисунка 3,а:
(8)
Тогда сила , действующая на элементарную частицу, будет равна:
(9)
Разложив в ряд:
,                                                           (10)
выражение (9) преобразуем к виду:
,                 (11)
так как .
Как видим, центростремительная сила может быть найдена и таким способом.
Центростремительная сила по отношению к частице является активной внешней силой, искривляющей ее движение, и направлена к центру диска. Физической природой этой силы, как уже отмечалось, является межмолекулярное взаимодействие между частицами.
Центростремительная сила будет препятствовать частицам тела двигаться прямолинейно по направлению скорости, имеющейся у них в каждый момент движения, то есть по инерции. Поэтому частицы будут деформироваться, так как изменение их движения будет передаваться с конечной скоростью от одного участка частицы к другому ее участку. На рис.4 показана частица, расположенная на внешней стороне диска, размеры которой определяются следующими параметрами: расстоянием до центра вращения r, длиной , центральным углом , толщиной диска h. Масса частицы определится выражением:
,                                      (12)
где - плотность материала диска.
На всю частицу в целом будет действовать центростремительная сила, равная:
,
на отдельные же ее части будут действовать другие центробежные силы и тем меньшие, чем дальше они расположены от оси вращения, так как при этом уменьшается масса части частицы, траектория которой искривляется центростремительной силой (на рисунке 4 эта часть частицы показана радиальной штриховкой). Для наиболее удаленной точки частицы ее масса и, следовательно, действующая на нее сила будут равны нулю. На рис.4 показана эпюра центростремительных сил по длине рассматриваемой частицы, которая изменяется от максимального значения до нуля.
В соответствии с такой эпюрой центростремительных сил наибольшая деформация будет иметь место для внутренних слоев частицы, то есть слоев, расположенных ближе к центру вращения. Если выделить небольшой слой внутри частицы длиной dx, то на его поверхности будут действовать разные центростремительные силы и , причем будет больше, чем . В результате этого выделенный элемент с массой dm будет испытывать деформации растяжения, поэтому в нем возникнут упругие внутренние силы и , которые будут противодействовать растягивающим силам и будут направлены внутрь частицы, причем будет больше . Величина этих сил может быть найдена из соотношений:
;                                                                   (13)
,                                                                             (14)
где и – массы части частицы, определяемые координатами x и x+dx.
Разность сил и определит результирующую силу, действующую на выделенный элемент частицы:
,                                             (15)
которая представляет собой упругую силу деформации и направлена во внешнюю сторону, то есть от оси вращения.
Так как разность масс и определяется выражением:
,                      (16)
формула (15) с учетом выражения (12) преобразуется к виду:
(17)
Если просуммировать эти силы для всех элементов частицы, получим полную результирующую силу для всей частицы в целом, приложенную к её внутренней поверхности:
(18)
Как видим, эта упругая сила получилась равной центростремительной силе, она противодействует ей, но не уравновешивает действие центростремительной силы на частицу, так как частица, несмотря на наличие этой силы, движется по окружности с ускорением. Это говорит о том, что данная упругая сила будет реактивной силой, так как она возникает как реакция на действие центростремительной силы.
Таким образом, мы получили очень важный результат: на частицу вращающегося тела кроме центростремительной силы реально действуют упругие силы, направленные во внешнюю сторону, то есть центробежные силы, причем, если центростремительная сила еще может считаться приложенной к концу частицы, то центробежная сила, несомненно, действует по всему объему частицы, увеличиваясь по направлению к точке приложения центростремительной силы. Действие этих сил аналогично действию упругих сил в деформированной пружине: если пружина растянута – сила действует внутрь, если сжата – во внешнюю сторону. Несмотря на то, что упругие силы частицы обусловлены ее внутренними деформациями, они оказывают внешнее воздействие по отношению к соседним частицам.
При вращательном движении тела деформации его частиц будут происходить не только в радиальном, но и в касательном направлении.
Характер деформации частицы при вращательном движении тела показан на рисунке 5, где штриховкой обозначено новое положение частицы. При деформации частицы дуги и увеличиваются до размеров и , а ее радиальная толщина до , в результате чего объем частицы увеличивается и она запасает какое-то количество потенциальной энергии. Благодаря деформации в частице возникают упругие силы и , действующие в радиальном направлении. Эти силы обусловлены растяжением частицы в касательном направлении. Силы и не равны друг другу, так как деформации (удлинения) дуг и будут различными. Удлинение дуги и дуги за счет деформации будут соответственно равны:
;         (19)
(20)
Относительные удлинения дуг определятся выражениями:
;                                                      (21)
(22)
Так как в результате объемной деформации частицы , то относительная деформация будет больше относительной деформации . В связи с этим упругая сила будет больше силы , а их результирующая будет направлена в сторону силы , то есть во внешнюю сторону. Таким образом, при вращении тела за счет деформации частиц в радиальном и касательном направлениях на них будут действовать упругие силы, величина которых зависит от потенциальной энергии, запасенной при деформации, а результирующая сила направлена во внешнюю сторону, то есть является центробежной. Величина этой силы должна соответствовать выражению (4), так как обе рассматриваемые силы должны быть идентичными. Данное положение о наличии центробежной силы полностью соответствует предыдущему заключению, сделанному нами из других исходных принципов, а именно из приращения кинетической энергии. Поэтому можно утверждать, что приращение кинетической энергии частицы связано с увеличением ее потенциальной энергии, причем, на сколько кинетическая энергия частицы увеличится, точно на столько же увеличивается и ее потенциальная энергия.
Таким образом, существует прямая связь между величинами кинетической и потенциальной энергий, а это значит, что упругие силы деформаций могут быть найдены по зависимости, характеризующей изменение кинетической энергии, через производную по пространственной координате в соответствии с выражением (3).
Так как кинетическая энергия частицы во вращающемся теле зависит от положения этой частицы, то есть от радиуса r, то зависимость будет характеризовать распределение кинетической энергии во вращающемся теле по его объему в функции радиуса r и по аналогии с полем скоростей это распределение можно назвать полем кинетической энергии.
Поле кинетической энергии является не совсем обычным полем. Принято считать, что какое-либо поле характеризуется значением некоторой величины, заданной в виде функциональной зависимости в каждой точке пространства. Так, в каждой точке поля скоростей имеется свое значение скорости, в каждой точке температурного поля – свое значение температуры и т. п. Таким образом, эти физические поля являются точечными, то есть непрерывными. Если мы попытаемся просуммировать значения величины, характеризующей поле, по некоторому  объему или поверхности, то мы получим бесконечность, так как число точек в любом поле бесконечно, а значение поля в каждой точке конечно.
Поле кинетической энергии должно быть таким, чтобы оно допускало возможность суммирования кинетической энергии по объему тела, а это возможно только при дискретном виде поля, когда число его элементарных частей (элементов) конечно. Тогда поле кинетической энергии можно представить в виде мозаики, состоящей из совокупности одинаковых элементов, роль которых играет элементарная масса , обладающих каким-то значением энергии :
,                                                                     (23)
где V – значение скорости движения центра элементарной массы. Здесь мы берем конечное значение элементарной массы , в отличие от бесконечно малого значения dm, которое, как мы знаем, является символом нуля, так как неясно, может ли масса принимать нулевое значение.
Очевидно, что величина энергии будет зависеть от величины элементарной массы при одном и том же значении скорости, то есть поле будет выглядеть по-разному, если брать разные значения (см. рис.6). На рис.6 показана часть какого-то тела, движущегося с постоянной скоростью V, только в первом случае она разбита на четыре части, а во втором – на шестнадцать. Значение кинетической энергии каждой части характеризуются вертикальными отрезками, которые будут разными по величине, так как общая кинетическая энергия тела в обоих случаях будет одна и та же. Наглядно поле кинетической энергии можно представить как бы состоящим из совокупности кочек, на которых что-то растет, причем чем больше кочка, тем больше будет на ней растение. Тогда такое поле лучше было бы назвать не полем, а болотом.
Таким образом, получается, что с уменьшением поле кинетической энергии будет как бы вырождаться, постепенно приближаясь к нулевым значениям кинетической энергии, а при бесконечном числе элементарных масс оно как бы исчезает, так как величина элементарной массы и соответственно значение ее кинетической энергии становятся равными нулю.
Ясно, что с таким полем иметь дело не представляется возможным. Поэтому поле кинетической энергии должно быть дискретным. Тем не менее с этим полем можно производить те же самые операции, что и для сплошного поля.
Для примера рассмотрим поле кинетической энергии во вращающемся диске (рис.7). Разобьем сектор, определяемый углом , на одинаковые по объему элементарные массы , так как только в этом случае можно будет сравнивать их кинетические энергии. При этом очевидно, что размеры этих масс в радиальном направлении будут уменьшаться по мере удаления от центра диска. Поскольку окружная скорость изменяется по линейному закону , кинетическая энергия элементарных масс будет изменяться по параболическому закону. Следовательно, это поле будет неоднородным.
Для определения полной кинетической энергии диска воспользуемся выражением (23) в дифференциальной форме:
,                                                                                  (24)
где элементарная масса dm определяется выражением:
(25)
Возьмем интеграл от выражения (24) по всему объему диска:
,                 (26)
где - масса диска, - момент инерции диска относительно оси вращения, R – радиус диска, - плотность материала диска.
Как видим, результат получился верный. Это можно объяснить тем, что в пределе при интегрировании не только элементарные массы становятся равными нулю, а их число соответственно становится равным бесконечности, но принимает нулевое значение и само поле кинетической энергии. Поэтому бесконечная сумма нулевых значений кинетической энергии и дает конечный результат (этот вопрос мы подробно обсуждали при рассмотрении сущности дифференциального и интегрального исчисления).
Поле кинетической энергии является скалярным полем, характеризуемым тем, что каждому элементарному участку пространства соответствует определенное значение кинетической энергии. Особенностью такого поля является то, что производная от него по пространственной координате будет вектором. Для вращающегося диска производная от поля кинетической энергии по радиусу r будет иметь вид:
(27)
Полученное выражение в точности соответствует известному выражению для центростремительной и центробежной сил. Таким образом, производная от поля кинетической энергии по пространственной координате представляет собой силу, действующую на элементарную частицу материального объекта, то есть:
(28)
Поскольку производную по радиусу можно брать в любой точке тела, силы, ею определяемые, являются внутренними силами. Но куда направлены эти силы – к центру диска или во внешнюю сторону, то есть будут ли они центростремительными или центробежными?
Мы уже показали, что центростремительная сила обусловлена изменением скорости любой частицы тела в радиальном направлении и соответствующим изменением кинетической энергии этой частицы при ее перемещении в пространстве. Поле же кинетической энергии, хотя и вызвано вращением диска и перемещением всех его частиц в пространстве, по отношению к диску будет неподвижным, то есть квазистационарным, оно будет зависеть только от координаты r, связанной с самим диском. По отношению к диску поле кинетической энергии будет как бы потенциальным полем, обусловленным деформацией его частиц, а выше мы уже показали, что упругие силы деформации во вращающемся диске направлены во внешнюю сторону. Следовательно, производная от поля кинетической энергии по радиусу r представляет собой центробежную силу. Но что же представляет собой эта несомненно реальная сила, можно ли назвать ее силой инерции?
В §4 мы уже встречались с такими силами, возникающими при ускоренном движении тел. Эти силы оказывают сопротивление внешнему воздействию, они, по сути дела, являются причиной инертности тел. Для вращающегося диска эта инертность обусловлена стремлением его частиц двигаться по инерции, то есть по направлению скорости в каждый момент их движения. Такие силы, несомненно, можно назвать вместе с И.Ньютоном силами инерции и считать, что единственной причиной существования этих сил будут упругие деформации тел.
Однако, существуют и другие мнения. Так, в работе С.Э.Хайкина [37, с.154] утверждается, что существует два вида сил инерции: первый, когда ускоряемое тело действует на ускоряющее, и второй – это сила, действующая непосредственно на само ускоренно движущееся тело.
Первый вид сил инерции, по утверждению С.Э.Хайкина, видит, якобы, только неподвижный наблюдатель, находящийся вне вращающегося диска. Эти силы, по его мнению, можно назвать ньютоновыми центробежными силами.
Что же касается подвижного наблюдателя, покоящегося во вращающейся системе отсчета, связанной с диском, то для него существует уже две центробежные силы – первая та же, что и для неподвижного наблюдателя, а вторая – действующая на само тело (частицу), которая и является настоящей силой инерции. В связи с этим можно заметить, что, на наш взгляд, это весьма странные утверждения, истоки которых лежат в воззрениях Маха и говорят о непонимании сущности сил инерции.
В §4 мы уже говорили, что такое толкование физической сущности сил инерции неправомерно, так как этих сил вообще нет и они не могут оказывать никакого влияния на движение тел. Мы считаем, что если уж вводить в рассмотрение такие фиктивные силы, то и называть их надо соответственно – фиктивными или квазисилами. Причиной такого положения является разделение систем отсчета  на инерциальные и неинерциальные, а также необходимость объяснить реальные действия сил инерции. Примеры такого действия сил инерции рассмотрены в §4.
Кроме того С.Э.Хайкин считает, что центробежная сила не может быть настоящей силой инерции и потому, что ее природа ничем не отличается от природы центростремительной силы, так как она тоже возникает за счет деформации частиц [37, с.166-167]. Это, действительно, так, и та и другая силы являются упругими силами. Но между ними есть и разница, которая заключается в способе их действия. Центростремительная сила является внешней активной силой по отношению к рассматриваемой частице тела, искривляет ее траекторию и, как было показано выше, связана с затратами энергии.
Центробежная же сила распределена по всему объему частицы и является, по сути дела, реакцией на внешнее воздействие, то есть на действие центростремительной силы, поэтому она и должна быть силой инерции. Если бы не было центростремительной силы, то не было бы и центробежной силы.
Центростремительная сила связана с изменением кинетической энергии частицы при ее действительном перемещении в пространстве относительно неподвижной системы координат.
Центробежную силу инерции можно считать свойством поля кинетической энергии внутри объема тела, которое по отношению к диску является стационарным полем, не меняющимся во времени при постоянном значении угловой скорости вращения диска и зависящим только от координаты r.
Так как поле кинетической энергии связано с вращением диска, оно является следствием этого вращения, можно даже сказать, что оно является реакцией тела на его вращение, вызванное внешними причинами, а деформации частиц и упругие силы инерции будут характеризовать эту реакцию.
Справедливости ради следует отметить, что в примере с вращением диска нет достаточно четкого различия между центростремительными и центробежными силами, так как и те и другие направлены хотя и в разные стороны, но по одному и тому же радиусу r, вызываются одними и теми же деформациями частиц тела. Может быть, поэтому и было так трудно понять сущность сил инерции.
Для лучшего уяснения разницы между внешними активными силами, вызывающими ускоренные движения, и силами инерции, являющимися реакцией на эти воздействия, рассмотрим ламинарное движение вязкой жидкости в трубе постоянного сечения (рис.8).
За счет сопротивления движению со стороны стенок трубы скорость движения вязкой жидкости будет меньше, чем при отсутствии трения между частицами жидкости и жидкостью и трубой, то есть для идеальной жидкости. Если для идеальной жидкости скорость ее движения будет одна и та же по сечению трубы, то для вязкой жидкости скорость будет зависеть от координаты r, характеризующей положение частицы. Эту зависимость для цилиндрической трубы принято представлять выражением [38, с.82]:
,                                                                           (29)
где - максимальное значение скорости на оси трубы, R – радиус трубы.
В связи с наличием неоднородного поля скоростей в потоке жидкости появляется и неоднородное поле кинетической энергии, обусловленное этим полем скоростей. Можно было бы предположить, как и для вращающегося диска, что градиент этого поля, то есть производная от кинетической энергии по координате r, определит силу инерции, действующую на частицу жидкости в выбранном положении. Но мы установили, что силы инерции обусловлены деформациями частиц тел или среды, тогда как поле кинетической энергии в потоке жидкости напрямую с этими деформациями не связано, так как потенциальная энергия деформации определяется потерей кинетической энергии.
Величина потенциальной энергии частиц в любом сечении потока жидкости определится изменением кинетической энергии в этом сечении:

,                                                                           (30)
где - кинетическая энергия среды при отсутствии сопротивления, - кинетическая энергия среды при наличии сопротивления.
Выражение (30) можно преобразовать к следующему виду:
(31)
Теперь силу, действующую на частицу жидкости, можно определить как производную от потенциальной энергии по координате r, взятую со знаком минус:
(32)
При взятии этой производной учитывается, что производная от постоянной величины равна нулю.
Как следует из полученного выражения и в этом случае, сила инерции в радиальном направлении может быть найдена как производная  от поля кинетической энергии по пространственной координате.
Рассмотрим, в чем будет заключаться физическая сущность этих сил, каким деформациям частиц жидкости они будут соответствовать.
При движении потока жидкости в осевом направлении он встретит сопротивление со стороны стенок трубы и затормозится по всему объему, что приведет к уменьшению его кинетической энергии и к появлению потенциальной энергии деформации, которая определит статическое давление в объеме движущейся среды. Кроме того, торможение потока будет не одинаковым по радиусу его поперечного сечения, что приведет к неоднородной деформации его частиц (см. рис.8). Большая деформация сжатия у частиц будет со стороны стенок трубы, так как эта сторона сильнее тормозится, меньшая – со стороны ее осевой линии. Поэтому в радиальном направлении упругие силы частицы и не будут равны, причем . Результирующая упругая сила частицы dF будет равна разности этих сил и направлена к центру поперечного сечения трубы, то есть во внутреннюю сторону.
Как видим, и в этом случае мы имеем дело с упругими силами деформации. Под действием этих сил поток жидкости будет сжиматься в радиальном направлении, в результате чего будут иметь место многие гидродинамические эффекты, до сих пор не имеющие удовлетворительного объяснения. Вопрос об этих эффектах будет рассмотрен ниже. Сейчас же обратим внимание на следующий интересный факт, вытекающий из рассмотренного примера: на поток жидкости, движущийся в осевом направлении, действуют силы в поперечном направлении при отсутствии всякого движения частиц в этом направлении и, следовательно, при отсутствии соответствующего ускорения. Значит, второй закон Ньютона не всегда может быть использован для определения действующих на тела сил, то есть второй закон Ньютона, по сути дела, не является универсальным физическим законом. В таком случае, его следует считать частным случаем более общего закона, выражающего силу через производную от кинетической энергии по пространственной координате, как при действительном перемещении тела в пространстве, так и для поля кинетической энергии.
Обратим внимание еще на один важный момент. Мы установили, что сила инерции является реактивной силой, силой противодействия со стороны тела внешнему воздействию, приложенному к телу и стремящемуся изменить состояние покоя или движения тела. В данном случае внешними возмущающими силами для частиц потока являются движущие силы, вызывающие движение потока жидкости, и силы трения, тормозящие его. Эти силы  вызывают объемные деформации частиц жидкости, в результате чего в них и возникают противодействующие силы, которые несомненно могут считаться силами инерции, как силы реакции на внешнее воздействие.
Для полноты картины следует отметить, что кроме изложенных точек зрения на сущность сил инерции существуют еще две точки зрения. Автор одной из них [39] утверждает, что силы инерции реальны, в чем мы солидарны с ним. К сожалению, его аргументация не достаточно убедительна.
Автор второй точки зрения [40] утверждает, что сил инерции нет вообще, ни в какой системе отсчета, а деформации вращающихся тел и даже их разрушение объясняются тем, что величина центростремительной силы (силы сцепления между частицами тела) недостаточна для удержания частицы на данной траектории при данной величине окружной скорости. Тем более, что движение частиц после разрушения тела происходит по касательной к окружности вращения, а не в радиальном направлении, чего можно было бы ожидать, если бы центробежная сила инерции действительно существовала.
По этому поводу можно сказать следующее. Да, действительно, отрывающиеся частицы вращающегося тела разлетаются по касательной к траектории движения. Но так происходит не потому, что на них не действуют центробежные силы инерции, когда они вращаются вместе с диском, как единое целое, а потому, что при нарушении их связи с диском исчезает центростремительная сила, а вместе с ней и центробежная, как реакция на центростремительную силу. А дальше уже вступает в действие закон инерции, в соответствии с которым и будут двигаться частицы.
Правда, здесь может возникнуть вопрос: мгновенно ли исчезнет центробежная сила инерции при исчезновении центростремительной силы? Поскольку центробежная сила инерции является упругой силой деформации частицы, то ее действие, прекратится только тогда, когда исчезнет деформация частицы, то есть когда частица вернется к нормальному состоянию, а это, очевидно, произойдет не сразу, а за какой-то промежуток времени. Значит, неуравновешенная центробежная сила будет действовать на освободившуюся частицу в радиальном направлении, сообщая ей некоторое ускорение и соответствующую ему скорость. Наличие скорости в радиальном направлении изменит траекторию частицы: она будет уже двигаться не по касательной к окружности в точке отрыва, а под некоторым углом. Сделаем приближенный расчет этого угла, считая, что деформация частицы в радиальном направлении равна , скорость исчезновения деформации - (скорость звука в материале частицы), масса частицы , упругая сила деформации - (максимальное значение) (см. рис.4). Так как упругая сила деформации после отрыва частицы будет непрерывно уменьшаться до нулевого значения, при расчете ускорения частицы возьмем ее среднее значение, равное ее половине:
(33)
Скорость частицы в радиальном направлении определится известным выражением:
,                                                                                      (34)
где время исчезновения деформации будет равно:
(35)
В соответствии с выражениями (33) – (35) получим следующее выражение для радиальной скорости частицы:
(36)
Так как упругая сила деформации равна центробежной силе инерции , то скорость будет равна:
,                                                        (37)
где - скорость частицы в касательном направлении.
Выразим деформацию через относительную деформацию :
(38)
Тогда получим:
(39)
Выражение (39) преобразуем путем умножения и деления на r, в результате чего будем иметь:
(40)
Отношение скоростей и определит тангенс угла наклона траектории частицы по отношению к касательному направлению:
(41)
Выражение (41) можно преобразовать, выразив относительную деформацию через напряжение для вращающихся дисков (см. учебник по сопротивлению материалов):
,                                          (42)
где E- модуль упругости первого рода, - коэффициент Пуассона, R- максимальный радиус диска, r – текущий радиус, - плотность материала.
Представив разность квадратов как произведение суммы величин на их разность выражение (42) преобразуем к виду:
(43)
Подставим это значение в выражение (41):
(44)
Умножив и поделив это выражение на R и заменив r на R, получим расчетное выражение для угла :
(45)
Расчеты показывают, что величина угла будет небольшой при широком изменении параметров. Так, например, при и для стального диска с и , при тангенс угла будет равен . Но тем не менее такое изменение траектории оторвавшейся частицы должно существовать и может быть найдено экспериментально.
Автор надеется, что убедил читателя в реальности сил инерции. Теперь, в связи со всем вышеизложенным, можно дать следующее определение физической сущности этой силы:
–  Сила инерции представляет собой внутреннюю реактивную силу, возникающую при деформации материальных объектов как реакция на изменение характера движения или состояния объекта под действием возмущающей силы. Величина силы инерции определяется скоростью изменения поля кинетической энергии внутри материальных объектов, то есть производной от кинетической энергии по пространственной координате.
Если у читателя из всего изложенного в §5 и §6 может сложиться впечатление, что связь между кинетической энергией и силой до сих пор была неизвестна, то это не так. Еще ирландский ученый Гамильтон (1805-1865) в 1834 году вывел дифференциальные уравнения движения голономной механической системы в канонических переменных, которыми являются s обобщенных координат и s обобщенных импульсов , где s – число степеней свободы, и носящие теперь его имя:
;                                                                                        (46)
,                                                                                     (47)
где H – функция Гамильтона, которая для системы со связями, явно не зависящими от времени , движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, имеет вид:
,                                                                       (48)
где E – кинетическая энергия системы, П – ее потенциальная энергия, то есть функция Гамильтона равна полной механической энергии системы.
Как следует из приведенных пояснений, уравнения Гамильтона относятся не к сплошным средам и даже не к отдельным телам, а к системам материальных объектов, представляемых материальными точками. Поэтому ни сам автор этих уравнений, ни другие ученые не смогли увидеть полевую сущность кинетической энергии применительно к твердым телам и сплошным средам. Кроме того, отрицательным моментом для такого понимания явилось объединение кинетической и потенциальной энергии, т.е., по сути дела, кинетическая энергия рассматривалась как некая разновидность потенциальной энергии, на что указывает знак минус, стоящий в выражении (47). Для подтверждения этой мысли приведем пример из книги [41, с.159-161], в котором рассматриваются свойства кинетической энергии во вращательном движении. Сначала эта энергия выражается следующим образом:
,
где Т – период вращения, m – масса вращающегося тела.
Далее авторы пишут: “При такой замене переменной мы получаем выражение, в котором кинетическая энергия вращения зависит от радиуса. Представьте в качестве примера, что вы находитесь на карусели. Независимо от того, где вы сидите, период вращения Т один и тот же, однако кинетическая энергия, которой вы обладаете, пропорциональна квадрату вашего расстояния от оси вращения: или . Обратите внимание, что все величины, относящиеся к движению, выпали. Выражение для кинетической энергии вращения принимает форму потенциальной энергии, зависящей от положения r. Здесь, как и для других видов потенциальной энергии, необходимо определить нулевую точку, а также знак энергии – положительна она или отрицательна. Точка нулевой энергии определяется здесь просто: это точка, для которой . Для решения вопроса о том, какой знак, положительный или отрицательный, имеет энергия при , нужно выяснить, кто должен затратить работу, чтобы вернуть тело в точку нулевой энергии. Если система оснащена автоматическим устройством, возвращающим предмет в точку с нулевой энергией, тогда - величина положительная (то есть здесь мы имеем полную аналогию со случаем натянутой пружины). Если для возвращения тела в положение нулевой энергии работу должен затратить какой-либо внешний агент, то величина должна быть отрицательной. Опыт показывает, что именно так обстоит дело в действительности. На карусели человек должен затратить работу, чтобы дойти от периферии к центру. Следовательно, энергия отрицательна, подобно энергии гравитации:

Если не считать отрицательного знака, то математическое выражение для кинетической энергии вращения имеет тот же вид, что и выражение для потенциальной энергии пружины:

С потенциальной энергией пружины связана восстанавливающая сила . С помощью таких же алгебраических преобразований найдем силу, связанную с энергией вращения. Поскольку
,
имеем

Мы видим отсюда, что изменение положения r ведет к изменению энергии Е. Следовательно, должна существовать сила, связанная с вращательным движением; она пропорциональна радиусу r и направлена по радиусу от центра. Это так называемая центробежная сила, действующая на тело, совершающее вращательное движение.
Когда говорят о радиальной силе, связанной с вращательным движением, используют два термина. Мы уже говорили о центробежной силе, направленной от центра. При других обстоятельствах удобно говорить о центростремительной силе, которая имеет ту же величину, но направлена по радиусу к центру окружности. Как могут существовать обе эти силы, которые действуют на вращающееся тело и направлены одна внутрь, другая наружу?
Однако, здесь нет никакого парадокса: все зависит от того, в какой системе отсчета рассматривается сила. Если посмотреть сверху на автомобиль, который делает поворот, то сразу видно, что здесь должна существовать сила, направленная к центру (центростремительная сила), ибо без нее автомобиль не удержался бы на дороге. С другой стороны, водитель, который находится в системе координат, связанной с вращающимся телом, ощущает центробежную силу, стремящуюся выбросить его из машины. Здесь нет никакого противоречия, поскольку наблюдения ведутся из двух различных систем. Бессмысленно считать, например, что центробежная сила является реакцией на центростремительную силу”.
Мы привели такую длинную цитату еще и для того, чтобы показать, как близко были авторы этой книги к понятию поля кинетической энергии, тем более, что и силу они определяли как производную по радиусу от кинетической энергии. Кроме того цитата является ярким примером того, как трудно было понять сущность центробежной силы инерции и ее неразрывную связь с центростремительной силой.
Можно привести еще один пример, когда сила определялась через производную по пространственной координате от кинетической энергии [34, с.153-155]. Используя постоянство полной энергии системы , где К­ кинетическая энергия, а U – потенциальная энергия, авторы находят производную:
,
которая равна нулю в силу постоянства суммарной энергии Е. Сила берется со знаком минус, так как это есть производная от потенциальной энергии. Что касается производной от кинетической энергии, то авторы доказывают, что она равна произведению массы тела на ускорение:

и тем самым приходит ко второму закону Ньютона:

В качестве комментария можно сказать, что в приведенных выражениях авторы не увидели физической сущности силы.
Ярким примером выражения связи между кинетической энергией и силой является теорема об изменении кинетической энергии. Эта теорема выводится во всех учебниках по механике из второго закона Ньютона умножением его правой и левой частей на элементарное перемещение материальной точки ds:
(49)
Так как , левая часть выражения (49) преобразуется к виду:
,                                                                       (50)
в результате чего получаем:
,                                                                 (51)
где dA – элементарная работа внешней силы F.
Физический смысл выражения (51) трактуется следующим образом: приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно элементарной работе приложенных к точке сил на этом перемещении.
Однако, смысл выражения (51) можно трактовать и по другому: работа приложенных к материальной точке сил равна изменению ее кинетической энергии, то есть это выражение можно использовать для определения физической сущности понятия работы.
И это же выражение можно использовать для характеристики физической сущности силы, представив его в виде:
,                                                                                             (52)
откуда следует: скорость изменения кинетической энергии материальной точки по пространственной координате при ее перемещении в пространстве равна действующей на материальную точку силе.
Выражения (51) и (52) в математическом смысле обратимы, то есть их можно использовать и для определения кинетической энергии, если известны действующие силы и перемещения тел, то есть известны работы сил, и для определения сил, если известен закон изменения кинетической энергии (или скорости) в функции положения тела при его перемещении в пространстве.
Если же изменение скорости и энергии происходит при отсутствии относительного перемещения в пространстве в выбранном направлении, то есть когда мы – будем иметь дело с полем кинетической энергии, тогда для определения возникающей при этом силы может быть использовано только выражение (52).
И наконец, приведем цитату из книги [42, с.179-182], из которой, можно сказать, напрямую вытекает понятие поля кинетической энергии: “В области механики Лаплас придерживался традиций Лагранжа или школы кинетической энергии, хотя этого термина тогда еще не существовало: употребляли термин “живая сила”. Как показано выше, понятие о силе как векторе можно совершенно естественно получить из представления о силе как производной по времени от количества движения. В случае прямолинейного движения точки силу, действующую на нее, можно определить тоже при помощи производной:
,
но приведенная формула применима только к прямолинейному движению.
В криволинейном движении точки теорему кинетической энергии выразили в виде:
,
где X, Y, Z – суть составляющие силы по координатным осям.
Если стоящее в правой части выражение элементарной работы представляет полный дифференциал некоторой функции U от координат точки (Лагранж обозначил ее П, не давая ей никакого названия), то уравнение кинетической энергии допускает интеграл:

Если ввести обозначения для кинетической энергии и , то получим закон сохранения механической энергии:
,
откуда .
Функцию U Гамильтон назвал силовой. Так как
,
то имеем нечто, аналогичное производной по времени от количества движения, но только в том случае, если силовая функция существует, что бывает не для всех сил. Очень существенно, что силовая функция имеется для наиболее важных сил, в том числе для всемирного тяготения, при исследовании которого она и была введена. Но ее появление было очень существенным шагом в развитии механики. До сих пор в механике рассматривались материальные точки или твердые тела, имеющие определенный (конечный) объем и величину. Силовую функцию можно рассматривать как характеризующую поле – пространство, каждой точке которого соответствует определенное число, которое получим, если подставим значения координат этой точки в выражении .
Таким образом, получается так называемое скалярное поле. Можно пойти дальше и каждой точке отнести определенный вектор: тогда получим векторное поле, в частности силовое поле. При существовании силовой функции каждой точке соответствует сила, определяемая выражением:

Можно образовать эту силу…обобщив понятие производной….
Эта производная имеет вид:

и носит название градиента скалярной функции U.
Так как проекции действующей силы на координатные оси соответственно равны:


то сила получается как градиент от силовой функции U”.
Из приведенной цитаты следует, что силовая функция является аналогом поля кинетической энергии, за исключением того момента, что она не может характеризоваться каким-либо числом в любой точке пространства. Выше нами было показано, что поле кинетической энергии вырождается в нуль при его точечном значении. Кроме того, автор указанной цитаты под полем понимает неограниченное пространство, тогда как оно может существовать и в ограниченном объеме.
Из приведенных в цитате формул также следует, что силы, действующие в каждой точке поля силовой функции, могут быть найдены по отдельности для любого выбранного направления X, Y или Z, результирующая же сила определится градиентом этого поля.
Следует заметить, что идеи, изложенные в этой цитате, не получили дальнейшего развития, возможно, потому, что силовая функция была введена формально, не было установлено прямое соответствие между этой функцией и кинетической энергией, чему, наверное, помешало наличие постоянной интегрирования С в приведенных выше формулах.
С помощью постоянной С устанавливается связь между кинетической и потенциальной энергиями в виде соотношения:
,                                                                                 (53)
где U является непосредственно кинетической энергией тела при , то есть .
Однако, постоянная интегрирования С не всегда равняется нулю, она может быть и отрицательной величиной, а это значит, что не вся кинетическая энергия движения тела связана с его потенциальной энергией деформации. Примеры этого будут рассмотрены ниже.
Рассмотрим соотношения между кинетической и потенциальной энергиями при различных случаях движения и взаимодействия материальных объектов.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, как мы установили, потенциальная энергия деформации частиц равна кинетической энергии их движения, поэтому в соответствии с выражением (53) их сумма и постоянная С будут равны нулю, причем при исчезновении кинетической энергии исчезнет и потенциальная энергия деформации частиц.
При свободном падении твердого тела в поле тяготения (рис.9) его потенциальная энергия непрерывно переходит в кинетическую, которая достигает наибольшего значения в момент соприкосновения тела с Землей. Но что же здесь понимается под потенциальной энергией? Очевидно, что это не потенциальная энергия деформации самого тела, которая, кстати, отсутствует при свободном падении, так как тело при этом не деформируется. Это объясняется тем, что силы тяготения действуют не на все тело в целом, а на элементарные частицы, из которых оно состоит, то есть на ядра атомов и электроны, отсюда и появляется ощущение невесомости. Этот вопрос будет нами подробно рассмотрен в главе V.
Под потенциальной энергией здесь понимается работа, которую совершит сила тяжести при перемещении тела из одной точки в другую. Соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при падении тела до высоты x будет определяться выражением:
,                                                                                 (54)
где и - кинетическая и потенциальная энергия в положении x, - потенциальная энергия в первом положении.
Из выражения (54) следует:
,                                                                       (55)
то есть закон сохранения полной механической энергии, где С зависит от выбранной точки отсчета.
При рассматриваемом движении тела этот закон устанавливает связь между энергиями, которые, по сути дела, относятся к различным материальным объектам: кинетическая энергия относится к падающему телу, потенциальная энергия которого определяется свойствами внешнего по отношению к нему силового поля, то есть свойствами окружающей среды. Величину потенциальной энергии тела в любом его положении можно также определить как работу, которую следует затратить при подъеме тела в данное положение.
Таким образом, потенциальная энергия тела в данном случае является потенциальной энергией силового поля, то есть поля силы тяжести. Работа, затраченная этим полем на движение тела, что рассматривается как разность потенциальных энергий, и определяет его кинетическую энергию. То же самое происходит и при движении тела под действием любой внешней по отношению к нему силы, только тогда мы говорим о теореме изменения кинетической энергии, связывающей энергию движения тела и работу силы. Хотя, в принципе, можно было бы говорить о потенциальной энергии энергоносителя, но никак не тела, которое приводится в движение. Уменьшение потенциальной энергии энергоносителя точно соответствует увеличению кинетической энергии тела. Так что закон сохранения энергии характеризует соотношение энергий взаимодействующих материальных объектов, а не одного отдельно взятого тела.
Из рассмотрения двух примеров следует, что связь между кинетической и потенциальной энергиями в обоих случаях будет различна, это объясняется тем, что в первом случае энергии относятся к самому телу, движение которого рассматривается, причем потенциальная энергия обусловлена деформациями его частиц и равна по величине кинетической энергии, во втором случае деформация тела вообще не учитывается, а потенциальная энергия обуславливается силовыми свойствами среды, вызывающими движение тела, причем изменение  энергии одного материального объекта (среды) приведет к такому же изменению энергии другого материального объекта (тела). Ниже нами будет показано, что потенциальная энергия является проявлением кинетической энергии микрочастиц, то есть кинетической энергии на микроуровне.
Равенство кинетической и потенциальной энергий является свойством поля кинетической энергии, которое позволяет по кинетической энергии определять силы, обусловленные деформациями частиц, которые, как мы установили, являются силами инерции. В последующих параграфах будет рассмотрено много примеров на использование полей кинетических энергий и влияния сил инерции на движение материальных объектов.
Таким образом, связь между кинетической энергией и силой была известна давно. Однако, никто не усмотрел в этом ее основную суть – возможность для определения физической сущности силы, силу предпочитали определять через импульс mV. Это обстоятельство можно объяснить только консервативностью мышления ученых, а также представлением о твердых телах, как о совокупности дискретных материальных точек, а не сплошных средах, механика которых развивалась по своим законам.
Выражение сил через энергию, а не через импульс – это не просто замена одного математического выражения другим выражением, это принципиально другой подход к решению проблемы о физической сущности сил, основанный на понимании того, что реальное движение материи может происходить  только в пространстве, но не во времени и что не всегда силе сопутствует изменение импульса во времени, как это, например, имеет место при движении жидкости  в трубе. Так, при наличии трения между вязкой жидкостью и стенками трубы импульс частиц жидкости mV будет изменяться по радиусу трубы, но это изменение будет пространственное, а не временное. Кроме того, выражение силы через кинетическую, а также через потенциальную энергии дает возможность с единых позиций определять как активные, внешние силы, так и силы инерции, то есть, по сути дела, все существующие в природе силы.
Проведенный анализ показал, что понятие поля кинетической энергии не использовалось в механике как для жидких и газообразных сред, так и для твердых тел. Введение этого понятия позволило с новых позиций взглянуть на сущность силы инерции и на сущность силы вообще, позволило объяснить многие гироскопические, гидродинамические и другие явления, рассмотренные нами в последующих главах, позволило с механических позиций объяснить физическую сущность электрических, магнитных, ядерных взаимодействий, понять природу тяготения.
Выше мы показали, что поле кинетической энергии имеет дискретный характер, что, однако, никак не влияет на возможность его использования, так как при взятии производной от кинетической энергии для определения силы, действующей на частицы тела, их массы следует считать дискретным. В то же время существует поле, связанное с полем кинетической энергии, которое является непрерывным или точечным, то есть в каждой точке в объеме тела будет соответствовать свое числовое значение поля, не равное нулю.
Для того, чтобы перейти от дискретного к непрерывному полю, возьмем отношение энергии элементарной массы к ее объему , в результате чего получим выражение:
,                                                                                    (56)
которое представляет собой плотность кинетической энергии в данном объеме тела. Выражение (56) тоже будет характеризовать поле, но уже сплошное (или точечное) поле плотности кинетической энергии, в каждой точке которого будет свое значение плотности энергии в соответствии с выражением (56).
По аналогии с плотностью материала плотность энергии можно обозначить через .Тогда выражение (56) можно представить в виде:
(57)
С выражением (57) можно проводить те же математические операции, что и с полем кинетической энергии. Тогда производная от по радиусу r будет иметь вид:
(58)
Сравнивая это выражение с выражением (56), найдем, что это будет отношение силы, действующей на элементарную частицу к объему частицы:
,                                                                                     (59)
представляющее собой распределение плотности силы по объему частицы, то есть .
Очевидно, что, используя понятия плотности кинетической энергии и плотности силы, можно найти количество энергии в элементарном объеме и величину силы, действующей на частицу, умножив плотности на этот объем.
Однако, в практических расчетах удобнее иметь дело с полем кинетической энергии, так как, по нашему мнению, физический смысл поля кинетической энергии лучше воспринимаем.

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"
  • ролики ere

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации