§4 О системах отсчета и сущности сил инерции.

Движение любого тела можно определить по отношению к другим телам. Тело, по отношению к которому рассматривается движение и с которым жестко связывается система координат, называется системой отсчета.
Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой справедлив закон инерции: тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно. Такое тело называется свободным, а его движение – свободным движением или движением по инерции. Система же отсчета называется инерциальной.
Всякая система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, будет также инерциальной системой отсчета.
Ясно, что понятие инерциальной системы отсчета является научной абстракцией, поскольку все реальные тела движутся с тем или иным ускорением. Поэтому любая реальная система отсчета может рассматриваться как инерциальная лишь с определенной степенью приближения.
Инерциальные системы отсчета характеризуются тем, что в них справедлив принцип относительности Галилея. Этот принцип постулирует независимость законов механики от выбора инерциальной системы отсчета, то есть их независимость от скорости движения выбранной системы, при этом предполагается, что пространство абсолютно, а время не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Другими словами, можно сказать, что уравнения механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея, которые при движении тел вдоль оси x могут быть выражены соотношениями:
,      (1)
где x и t относятся к одной инерциальной системе отсчета, и - к другой, движущейся по отношению к первой со скоростью V.
Надо сказать, что под инвариантностью законов механики в первую очередь понимается сохранение вида второго закона Ньютона:
,                                                                                                              (2)
не зависящего от скорости движения системы отсчета, в которой этот закон используется. Следует отметить, что здесь F – это активная сила, вызывающая движение тела с ускорением a. Так, например, Галилей утверждал, что нет никакого различия в движениях предметов на суше и на корабле, плывущем с постоянной скоростью относительно берегов.
RIS-1-04-001В системе же отсчета, движущейся по отношению к инерциальной системе с ускорением, закон инерции выполняться не будет, поэтому такая система называется неинерциальной. В этой же системе не будет выполняться и второй закон Ньютона,  в том виде, в каком он представлен в формуле (2). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ускоренное движение тележки с подвешенным на ней грузом (рис.1) [31, с.361-368]. Когда тележка неподвижна, груз (шарик) будет занимать вертикальное положение под действием силы тяжести. Если же привести тележку в ускоренное движение с ускорением a, то груз отклонится от вертикали на некоторый угол φ в сторону, противоположную движению и во все время такого движения будет находиться в этом положении.
Если находиться в системе отсчета, не связанной с тележкой, то есть в неподвижной системе отсчета, то данное явление можно объяснить с помощью закона инерции (первого закона Ньютона). Действительно, в момент начала движения груз будет стремиться сохранить состояние покоя по отношению к внешней системе отсчета, в результате чего нить отклонится от вертикали на угол φ, величина которого будет зависеть от величины ускорения тележки a. Благодаря этому отклонению появляется угол между натяжением нити T и весом груза G, векторная сумма которых и определит движущую силу F, заставляющую грузик двигаться ускоренно. Таким образом, в неподвижной системе отсчета второй закон Ньютона выполняется, поэтому такую систему можно считать инерциальной.
RIS-1-04-002Если же мы будем находиться в системе отсчета, связанной с тележкой (рис.2) и, значит, движущейся вместе с ней ускоренно, то при условии, что мы не будем знать об этом движении, считается, что у нас возникнет проблема в объяснении поведения грузика (предположим, что мы не почувствовали толчка в момент начала движения). Утверждается, что единственным правдоподобным объяснением поведения грузика в этом случае будет введение дополнительной силы F, которая уравновесила бы результирующую силу от T и G, что заставило бы грузик находиться в одном и том же положении, то есть под углом φ по отношению к вертикали. Но поскольку такой силы в реальности нет и ввели мы ее, можно сказать, условно (как это известно наблюдателю в неподвижной системе отсчета), то эта сила будет явно фиктивной. Если же учесть, что она направлена против ускорения, то здесь играет роль инертность тела (грузика), и поэтому такую фиктивную силу следует назвать силой инерции.
То же самое будет происходить с грузиком и во вращающейся системе отсчета (рис.3). Внешний наблюдатель отклонение грузика объяснит наличием результирующей силы от веса G и натяжения нити T, а наблюдатель, находящийся на вращающемся диске, - наличием фиктивной силы инерции.
RIS-1-04-003По поводу приведенных рассуждений можно заметить следующее. Утверждая, что сила инерции фиктивна, сторонники такой трактовки забывают, что для движущегося наблюдателя эта сила будет казаться вполне реальной: чтобы вернуть грузик в первоначальное положение ему надо приложить к грузику какую-то силу и затратить определенную работу. А силе, надо думать, может противодействовать только сила, и одним законом инерции здесь, очевидно, не обойтись. Это обстоятельство должно заставить нас задуматься о физической сущности сил инерции и усомниться в их фиктивности.
Еще более сложная картина будет иметь место, если тело будет совершать движение во вращающейся системе отсчета. В этом случае абсолютное ускорение любой точки тела, то есть ускорение по отношению к неподвижной системе координат, определяется выражением:
,                                                                         (3)
где - абсолютное ускорение, - переносное ускорение, то есть ускорение подвижной системы координат по отношению к неподвижной системе, - относительное ускорение, то есть ускорение точки по отношению к подвижной системе координат, - кориолисово ускорение. Конкретный пример на определение абсолютного ускорения в сложном движении тела мы рассмотрим ниже.
Если каждый член уравнения (3) умножить на массу материальной точки m, то получим следующее выражение:
,                                                          (4)
Это выражение в соответствии со вторым законом Ньютона можно приравнять силе F, которая вызывает движение рассматриваемой материальной точки, то есть:
(5)
Используя выражение (5), из соотношения (4) можно найти вектор :
(6)
Выражение (6) может быть использовано для определения ускорения в относительном движении материальной точки, то есть по отношению к подвижной, движущейся ускоренно, системе координат. Чтобы привести это выражение к форме второго закона Ньютона, производятся следующие преобразования: произведения и объявляются силами инерции, в результате чего получается:
(7)
Из полученного выражения следует, что, если даже на материальную точку не будет действовать какая-либо внешняя сила F, она все равно будет двигаться под действием сил инерции, то есть под действием сил, считающихся фиктивными.
Чтобы оправдать необходимость введения сил инерции и как-то объяснить их сущность, предлагают, следуя Маху, считать их воздействием “сферы небесных тел” на данную материальную точку, то есть влиянием масс всех существующих галактик, так как других видимых причин, вызывающих появление этих сил, якобы нет. Отметим, что это утверждение основано на понимании силы как меры взаимодействия материальных объектов, обусловленной их реальным взаимодействием. Для силы же инерции, действующей на какое-то тело, такого реального материального объекта нет, то есть считается, что она не вызывается реальным взаимодействием объектов.
Применительно к выражению (6) смысл этого утверждения заключается в том, что появление переносного и кориолисового ускорения вызвано не действием каких-то внешних сил, обусловленных взаимодействием рассматриваемого тела с другими телами, а в том, что они просто кинематически обусловлены движением самой неинерциальной системы отсчета. Насколько такое утверждение достоверно мы рассмотрим ниже.
Для выяснения физической сущности сил инерции рассмотрим различные случаи движения систем отсчета.
Сначала рассмотрим систему отсчета, связанную с космическим кораблем, движущимся с постоянным ускорением. Какое бы положение по отношению к любому внешнему наблюдателю этот корабль не занимал, для экипажа корабля верхом всегда будет его носовая часть, а низом – его днище, так как все находящееся в корабле будет прижиматься к той его стороне, где расположены двигатели. Поэтому корабль на рис.4 расположен в вертикальном положении.
Предположим, что человек в корабле не знает законов механики и не знает даже, что корабль движется. В силу своей любознательности, а также и необходимости он начнет их “открывать” с помощью различных экспериментов.
RIS-1-04-004Во-первых, он сразу установит, что на корабле существует сила тяжести, которая прижимает его и все незакрепленные предметы к полу корабля и заставляет все свободные тела падать вниз с ускорением a. Величина этого ускорения может быть легко найдена экспериментально (часы на корабле, конечно, должны быть, а если их нет, то их можно изобрести). Затем он установит, что сила тяжести (вес) и ускорение свободного падения связаны соотношением:
(8)
Во-вторых, он обнаружит, что закон инерции выполняться не будет, так как ни одно из свободных тел внутри корабля не будет находиться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. Но если он проведет опыты с шариками, какие проводил Галилей, то сможет прийти к заключению, что такой закон должен существовать, но только вне корабля. Действительно, вполне очевидно, что шарик, расположенный на горизонтальной поверхности при отсутствии трения и без внешнего воздействия должен двигаться по инерции бесконечно долго.
В-третьих, космонавт “откроет” и второй закон Ньютона, так как движение всех тел будет определяться их весом и внешней силой, которая будет на них действовать.
Таким образом, космонавты могут открыть все законы механики, вот только объяснение этих законов с нашей точки зрения будет неверным, ведь мы знаем, что силы тяжести на корабле нет, ну, может быть, за исключением небольшого взаимного притяжения тел и корабля.
Тогда по какой же причине появится вес? Если посмотреть на движение свободного тела, не связанного с кораблем (рис.4), то будет ясно, что не тело будет падать вниз с ускорением a, а сам корабль будет его догонять с таким ускорением. Значит, на свободное тело не будет действовать никакая внешняя по отношению к нему сила. Поэтому не будет и силы тяжести. Правда, эту силу можно ввести условно для математического описания движения, но на самом деле это будет фиктивная сила. Возникает вопрос, будет ли эта сила отличаться от сил, действующих на грузик в рассмотренных выше примерах, и можно ли назвать эту силу силой инерции? Ответ на этот вопрос мы получим ниже.
С другой стороны, если посмотреть на тело, подвешенное на пружине, то будет ясно, что на пружину действует реальная сила, так как пружина будет растянута. По этой силе можно даже найти ускорение силы тяжести (или свободного падения), которое по величине будет равно ускорению корабля:
,                                                                                            (9)
где величина массы тела может быть выражена через любую эталонную массу.
Таким образом, мы нашли ускорения движения неинерциальной системы отсчета, не обращаясь к другим системам, внешним по отношению к данной системе.
Отсюда можно сделать вывод, что ускорение является абсолютным понятием, не зависящим от наличия абсолютной (неподвижной) системы отсчета, то есть, можно сказать, что наличие ускорения является показателем абсолютности движения корабля, независимо от выбранной системы отсчета (инерциальной или неинерциальной).
Очевидно, что сила, действующая на пружину со стороны тела, не может быть фиктивной силой. Но что же это будет за сила и можно ли назвать ее силой инерции?
RIS-1-04-005Если считать, что силы инерции это фиктивные силы, то нельзя. Но очевидно также, что это и не сила тяготения. Для решения этого вопроса рассмотрим движение грузика, подвешенного на пружине. Для этого нам надо выйти из корабля и посмотреть на него из какой-либо инерциальной системы отсчета. Тогда мы увидим, что корабль движется в пространстве с ускорением, а, значит, с таким же ускорением движется все находящееся внутри него и связанное с ним, исключая свободные тела. Тогда тело, подвешенное на пружине, будет двигаться ускоренно вместе с точкой его подвеса, так как пружина будет тянуть его. Посмотрим, что при этом будет происходить с телом. Представим его в виде цилиндрического стержня длиной (рис.5). Предположим, что тело сначала было неподвижно, то есть не было прикреплено к пружине. После прикрепления его к пружине, точка крепления сразу же начнет двигаться с ускорением. Движение на остальные точки тела будет передаваться последовательно от одной точки к другой точке с какой-то конечной скоростью. Очевидно, это будет скорость распространения деформации в рассматриваемом теле, так как тело будет подвергаться деформации растяжения.
Примем, что скорость распространения деформации будет , тогда точки на нижнем конце стержня начнут двигаться через интервал времени :
(10)
Максимальная величина деформации может быть найдена по закону равноускоренного движения за время :
,                                                                            (11)
то есть на такую величину переместятся верхние точки тела, когда нижние точки только начнут двигаться.
По величине деформации и жесткости стержня k можно найти упругую силу, возникающую в стержне. Однако, при этом нужно иметь в виду, что деформации в различных сечениях стержня будут неодинаковыми: в верхних они будут больше, в нижних – меньше. Очевидно, зависимость величины деформации от положения сечения будет при постоянном сечении стержня изменяться по линейному закону, так как верхним сечениям придется тащить за собой большую массу и, в соответствии со вторым законом Ньютона, на них будет действовать большая сила, то есть при одном и том же ускорении сила будет пропорциональна движущейся под ее воздействием массе.
Ниже будет показано, что максимальное значение упругой силы будет определяться выражением:
,                                                                                    (12)
так как коэффициент жесткости определяется при двухсторонней деформации стержня под действием двух равных, но противоположно направленных сил, величина которых будет в два раза меньше максимальной силы при ускоренном движении, или, другими словами, можно сказать, что при одной и той же величине деформации двусторонние силы должны быть в два раза меньше максимальной силы, возникающей при ускоренном движении.
Величину максимальной упругой силы можно выразить через ускорение, подставив в выражение (12) значение из формулы (11) и имея в виду, что жесткость k может быть выражена через геометрические и физические параметры стержня:
,                                                                                          (13)
где E – модуль упругости первого рода материала стержня, s – площадь его поперечного сечения, - первоначальная длина стержня.
Тогда получим:
(14)
Однако, в этом выражении нам не известна скорость распространения деформации . Для определения этой скорости выражение (14) представим в другом виде, имея в виду, что упругая сила является силой сопротивления, так как она направлена внутрь тела, и должна равняться движущей силе:
,                                                                     (15)
откуда получим:
,                                              (16)
где r – плотность материала стержня. Аналогичное выражение получается и в случае ударных деформаций тел. [32, с.312-314].
Таким образом, получается, что упругая сила деформации стержня выполняет роль силы тяжести в космическом корабле, приложена она, как мы установили, к пружине и поэтому растягивает ее. Однако, очевидно, нельзя утверждать, что эта сила будет чисто внешней по отношению к стержню, так как каждый его элемент, где бы он ни находился, подвергается деформации растяжения. Докажем, что максимальная упругая сила является результирующей силой от всех элементарных упругих сил, действующих в объеме стержня. Для этого выделим элементарный участок стержня . В нем будут действовать элементарные упругие силы, направленные внутрь:
;                                                                   (17)

,                                                       (18)
из которых первая сила будет больше и по отношению ко всему стержню в целом она будет играть роль силы сопротивления.
Разность этих сил будет равна:
(19)
Интегрируя данное выражение по всей длине стержня, получим максимальную результирующую упругую силу, направленную против движения:
(20)
Значит, упругая сила стержня является не только внешней силой по отношению к пружине, но и внутренней по отношению к самому стержню. По сути дела, сам стержень является своего рода пружиной, растягивающейся при ускоренном движении.
Рассмотренный нами пример будет аналогичен примеру с поведением подвешенного груза на ускоренно движущейся тележке. Но там-то для объяснения отклонения груза от вертикального положения использовалось понятие силы инерции, причем фиктивной, не существующей силы. Здесь же мы установили, что это вполне реальная сила упругости, обусловленная деформацией тел. Кстати, те же самые результаты мы получили бы, если бы рассматривали движение тела, расположенного на чаше пружинных весов, работающих на сжатие, только тело в этом случае подвергалось бы деформациям сжатия.
Из примера с космическим кораблем можно сделать два вывода.
RIS-1-04-0061. Если тело не связано с кораблем, то есть оно является свободным и на него не действуют никакие силы, то оно не движется по отношению к неподвижной (абсолютной) системе координат и движется ускоренно по отношению к кораблю, благодаря его ускоренному движению. Описание движения тела может быть чисто кинематическим (по отношению к кораблю) и динамическим, то есть под действием некоторой силы F, которой на самом деле не существует. То же самое можно сказать в отношении тел, находящихся вне корабля, если на них не действуют никакие силы. Если же силы действуют, то надо или сочетать кинематический и динамический способы, или использовать только динамический, введя результирующую силу, равную геометрической сумме реальной и фиктивной сил.
Для примера рассмотрим движение тела, на которое действует сила F вдоль оси x, в неинерциальной системе координат (рис.6). Система отсчета движется с ускорением вдоль оси x. Уравнение движения для тела можно записать в виде:
,                                                                                        (21)
где
(22)
Тогда будем иметь:
,                                                                       (23)
откуда получим:
(24)
или
(25)
где - фиктивная сила.
Выражение (24) характеризует смешанный способ исследования (кинематический и динамический), выражение (25) – чисто динамический, причем силу мы называем фиктивной силой, а не силой инерции.
2. Если тело связано с кораблем, на него действует реальная движущая сила, которая будет его деформировать и приведет к появлению тоже реальных упругих сил, направленных против движения. Вот эти реальные упругие силы в опыте с тележкой и с диском и назывались силами инерции.
Вполне очевидно, что называть и фиктивную и реальную силы одним и тем же термином – силой инерции – нельзя. Если обратиться к смыслу слова “инерция”, то под ним всегда понимали реальное сопротивление, которое материальные тела оказывали при попытках изменения их состояния покоя или движения. Ньютон четко говорил об этом. Слово “инерция” тесно связано со словом “инертность”. Если же на тело не действует никакой внешней силы, то о какой же инертности тела или силе инерции можно говорить? В этом случае, следует, очевидно, так и говорить, что на тело действует фиктивная сила, которую мы используем для упрощения описания движения тела. А все упрощение заключается в том, что уравнение движения тела будет записываться в форме второго закона Ньютона. И вот только из-за этого происходит путаница с таким важным понятием как сила инерции, что не давало возможности  понять ее истинный смысл.
Следует также обратить внимание на следующее обстоятельство: если есть ускоренное движение, должна быть и реальная сила, вызывающая это движение. Но в случае с космическим кораблем или с какой-нибудь другой неинерциальной системой отсчета, эта реальная сила будет приложена не к свободным телам, а к самой системе отсчета и к телам, жестко с ней связанным. Сила же инерции будет противодействовать движущей силе. Очевидно, чтобы узнать, что как движется, необходимо всесторонне рассматривать условия движения тел и систем отсчета. Кроме того при действии реальных сил все тела будут деформироваться, в них будут возникать упругие силы, противодействующие движению. Поэтому наличие деформаций тел может служить основным признаком наличия и активных внешних сил и соответствующих им сил инерции.
RIS-1-04-007Таким образом, под действием движущей силы со стороны двигателей весь космический корабль и все связанные с ним тела будут деформироваться. При центральном действии внешних сил они будут полностью уравновешиваться силами инерции.
Рассмотрим случай нецентрального действия внешней силы на тело, связанное с кораблем (рис.7). При указанном расположении тела на поверхности корабля ускоренное движение будет передаваться от нижних слоев тела к его верхним слоям, причем запаздывание движения будет происходить как по высоте тела l, так и по его ширине h. Характер деформации тела представлен на рисунке. Наибольшей деформации будут подвергаться прилежащие к кораблю слои тела, а также задние по отношению к направлению движения, наименьшей – передние и самые удаленные, так как нижним и задним слоям приходится двигать остальные слои. В результате этого на тело будет действовать максимальная сила инерции в его основании. Результирующая сила от всех инерционных сил, действующих в объеме тела, будет приложена в его центре масс S и будет равна произведению массы тела на ускорение его движения. Для доказательства этого утверждения рассмотрим эпюры упругих сил деформации, представленные на рис.8,а и б. При деформации тела по длине l средняя сила, равная половине максимальной силы в основании стержня, будет расположена на половине его длины. RIS-1-04-008При деформации тела вдоль ширины h средняя сила будет расположена на половине h и будет направлена горизонтально влево, то есть так же, как и упругая сила по длине стержня. Сумма этих сил будет равна максимальной силе и равна произведению массы тела на его ускорение.
Результирующая сила инерции, приложенная в центре масс тела, будет стремится опрокинуть тело или сдвинуть его с места, что и может произойти, если тело не будет жестко закреплено на корпусе ракеты.
Таким образом, при нецентральном действии внешней силы сила инерции всегда будет приложена в центре масс тела. Это обстоятельство скоро будет нами использовано.
Рассмотрим, как будет происходить движение тел во вращающейся, то есть неинерциальной системе отсчета, с учетом действующих на них сил инерции. В качестве примера возьмем горизонтально расположенный диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, на поверхности которого находится небольшой шарик. Между шариком и диском существует сцепление, обусловленное силами трения (рис.9).
Предположим, что мы положили шарик на вращающийся диск в какую-то точку на его поверхности, не совпадающую с центром диска.
В первый момент начала движения шарика на него будут действовать две силы, обусловленные сцеплением между шариком и диском: сила в касательном направлении, направленная в сторону вращения диска, и сила , направленная к центру диска. Эти силы приведут шарик во вращательное движение относительно неподвижной системы координат, центр которой RIS-1-04-009совпадает с центром диска. Благодаря действию реальной центростремительной силы , которую можно рассматривать как переносную, на шарик будет действовать центробежная сила инерции , приложенная  в  его центре масс и направленная по радиусу во внешнюю сторону, которая и приведет шарик в движение относительно диска, заставив его перекатываться по поверхности диска в направлении своего действия. Величина этой силы определится выражением:
,                                                                              (26)
где , m – масса шарика, - угловая скорость вращения диска, r – расстояние от шарика до центра вращения диска.
Вращающий момент от этой силы относительно точки касания шарика с диском (точка А) (см. рис.9,б) будет равен:
,                                                                                              (27)
где R – радиус шарика. Этот момент и заставит шарик катиться по поверхности диска во внешнюю сторону в радиальном направлении.
Радиальное движение шарика, в свою очередь, приведет к появлению кориолисова ускорения, которое также обусловлено наличием сцепления между диском и шариком, то есть действием вполне реальных сил (более подробно этот вопрос будет рассмотрен в третьей главе). В результате возникнет кориолисова сила инерции, которая заставит шарик перекатываться по поверхности диска в касательном направлении против вращения диска со скоростью . Величина кориолисовой силы инерции определятся выражением:
,                                                                                   (28)
где - скорость движения шарика в радиальном направлении.
Вращающий момент от этой силы, действующий на шарик, будет равен:
(29)
Движение шарика под действием кориолисовой силы инерции в касательном направлении приведет к изменению как центробежной, так и самой кориолисовой сил инерции, поскольку появится дополнительная угловая скорость , равная:
,                                                                                     (30)
в результате чего угловая скорость, осуществляющая перенос шарика в пространстве (по отношению к неподвижной системе отсчета), примет новое значение:
(31)
Изменившиеся силы инерции можно найти двумя способами. Первый способ заключается в замене в формулах (26) – (29) угловой скорости на угловую скорость :
;                                                                 (32)
(33)
Второй способ заключается в добавлении к существующим дополнительных сил инерции, обусловленных относительным движением шарика по поверхности диска. Этот способ вытекает непосредственно из первого, для чего следует только преобразовать выражения (32) и (33) следующим образом:
(34)
(35)
Из выражений (34) и (35) следует, что при наличии относительного движения, к существующим силам инерции следует добавить центробежную силу инерции:
,                                                                               (36)
кориолисову силу инерции, обусловленную поворотом вектора скорости в переносном движении:
(37)
и кориолисову силу инерции, обусловленную поворотом вектора скорости в относительном движении:
(38)
Сила инерции направлена по радиусу от центра диска, сила инерции - по радиусу к центру диска, сила инерции - перпендикулярно к радиусу r по вращению диска.
Дополнительным силам инерции будут соответствовать следующие моменты от этих сил:
;                                                                      (39)
;                                                                 (40)
(41)
В результате движение шарика по поверхности диска в радиальном и касательном направлениях будет описываться следующими уравнениями (моменты от сил трения считаем равными нулю):
;                                      (42)
,                                                                              (43)
где , - угловые скорости вращения шарика в радиальном и касательном направлениях, - момент инерции шарика относительно точки касания с диском (положительные направления движения шарика в радиальном и касательном направлениях соответствуют движению от центра диска и против его вращения).
Структура этих уравнений вполне соответствует выражению (7), так как рассматриваются силы, соответствующие переносному, относительным и кориолисовым ускорениям. Разница будет только в том, что все рассматриваемые здесь силы являются реальными, так как они обусловлены действием вращающейся системы отсчета на связанное с ней тело (шарик). Никакой другой внешней силы на шарик не действует, но тем не менее он будет совершать сложное движение по поверхности диска под действием одних сил инерции в соответствии с уравнениями (42) и (43).
Подставляя значения моментов, , и в уравнения (42) и (43), преобразуем их к следующему виду:
;                                                   (44)
,                       (45)
где .
Решение данной системы уравнений начнем с выражения (44), представив его в виде:
(46)
где
(47)
Сокращая левую и правую части этого выражения на , преобразуем его к виду:
(48)
Для решения этого нелинейного уравнения второго порядка сделаем подстановку [33, с.608]:

(49)
в результате чего получим линейное уравнение относительно :
(50)
Решением этого уравнения будет выражение [33, с.37]:
,                                                          (51)
откуда в соответствии с выражением (49) будем иметь:
(52)
Для контроля проверим полученный результат, подставив его в уравнение (48). Для этого сперва найдем вторую производную , взяв производную от :
(53)
Затем получим:
(54)
Таким образом, решение (52) удовлетворяет уравнению (48).
Для дальнейшего решения задачи преобразуем выражение (52):
, (55)
где , , откуда найдем скорость :
(56)
Из выражения (56) найдем производную :
(57)
которую подставим в выражение (45):
(58)
Подставив в эту формулу значение из выражения (56), получим:
(59)
Выражение (59) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, решить которое можно только численным интегрированием. Для упрощения расчетов представим это уравнение  в следующем виде:
(60)
или в безразмерной форме:
,                                         (61)
где , .

Таблица 1

1,001

0,0316

31,6227

0,1426 рад
8,2°

5,1851

0,0234 рад
1,3°

1,002

0,0447

22,3602

3,6799

1,003

0,0547

18,2650

3,0241

1,004

0,0632

15,8254

2,6362

1,005

0,0706

14,1614

2,3734

1,006

0,0773

12,9337

0,2014 рад
11,5°

2,1808

0,0334 рад
1,9°

1,007

0,0835

11,9799

2,0321

1,008

0,0892

11,2114

1,9130

1,009

0,0946

10,5752

1,8151

1,010

0,0996

10,0372

1,7328

1,020

0,1403

7,1263

0,4549 рад
26,1°

1,2974

0,0813 рад
4,7°

1,030

0,1711

5,8440

1,1194

1,040

0,1968

5,0824

1,0202

1,050

0,2191

4,5642

0,9568

1,060

0,2391

4,1827

0,6459 рад
37°

0,9126

0,1250 рад
7,2°

1,070

0,2573

3,8868

0,8807

1,080

0,2741

3,6487

0,8563

1,090

0,2897

3,4518

0,8370

1,100

0,3044

3,2853

0,8216

1,200

0,4200

2,3811

1,4937 рад
85,6°

0,7482

0,4139 рад
23,7°

1,300

0,5073

1,9713

0,7149

1,400

0,5826

1,7165

0,6862

1,500

0,6520

1,5337

0,6577

1,600

0,7185

1,3918

2,1159 рад
121,2°

0,6291

0,7077 рад
40,6°

1,700

0,7835

1,2763

0,6007

1,800

0,8480

1,1792

0,5730

1,900

0,9125

1,0959

0,5463

2,000

0,9772

1,0233

0,5208

2,100

1,0424

0,9593

2,5570 рад
146,5°

0,4968

0,9401 рад
53,9°

2,200

1,1082

0,9023

0,4741

2,300

1,1747

0,8513

0,4527

2,400

1,2418

0,8053

0,4327

2,500

1,3096

0,7636

0,4140

2,600

1,3781

0,7256

2,8959 рад
165,9°

0,3964

1,1268 рад
64,6°

2,700

1,4473

0,6909

0,3800

2,800

1,5172

0,6591

0,3646

2,900

1,5877

0,6299

0,3503

3,000

1,6588

0,6028

0,3368

В таблице 1 представлены результаты расчетов с использованием численных методов уравнения (61). Во втором столбце даны значения в зависимости от параметра . Поскольку нас интересует траектория движения шарика в абсолютном и относительном движениях, нам необходимо найти соответствующие углы поворота в функции параметра x. Для определения этих углов используем сперва найденную нами скорость в радиальном направлении . Из этого соотношения получаем:
(62)
Преобразуем это выражение следующим образом:
,                                                                            (63)
где - угол поворота диска в переносном движении. Интегрируя это выражение, получаем:
(64)
Подынтегральная функция в выражении (64) при x=1 равна бесконечности, что затрудняет определение интеграла при использовании численных методов интегрирования. Поэтому преобразуем этот интеграл, введя новую переменную , где должно быть значительно меньше единицы. Тогда получим два интеграла с соответствующими границами интегрирования:
(65)
Зависимость найдем из выражения (61), подставив в него :
(66)
Так как ; ; выражение (66) преобразуется к виду:
(67)
В этом выражении второй член в правой части будет значительно больше двух других, так как , поэтому с достаточной степенью точности его можно заменить выражением:
(68)
Решаем это уравнение методом разделения переменных:
(69)
Подставив это выражение в первый интеграл (65), найдем угол поворота диска при небольшом начальном перемещении шарика:
(70)
В таблице 1 в четвертом столбце даны результаты интегрирования функции , приведенной в третьем столбце, для отдельных интервалов движения, начиная от его начального момента при , то есть с учетом выражения (70) при .
Для определения углового перемещения шарика в относительном движении используем выражение (56) для относительной скорости в касательном направлении. Поделив это выражение на r, найдем угловую скорость в относительном движении:
(71)
Угловое перемещение в относительном движении может быть найдено с помощью интеграла:
(72)
Преобразуем подынтегральное выражение, имея в виду, что :
(73)
Тогда выражение (72) примет вид:
(74)
Подынтегральная функция в выражении (74) при равна бесконечности. Поэтому опять сделаем замену переменной , где . Тогда, имея в виду, что , , выражение (74) преобразуем к виду:
(75)
Результаты численного интегрирования выражения (75) приведены в шестом столбце таблицы 1, причем значения угла поворота в относительном движении отсчитываются от момента начала движения для ряда последовательных положений шарика.
По результатам расчетов на рисунке 10 показаны траектории шарика в относительном движении (кривая 1) и в абсолютном движении, то есть по отношению к неподвижному наблюдателю, (кривая 2), причем .
Рассмотренные нами примеры на движение тел в неинерциальных системах отсчета показывают, что могут быть два способа исследования этого движения – с учетом реальных сил инерции, обусловленных действием самой системы отсчета на движущиеся по отношению к ней тела, и с учетом фиктивных сил, когда тело не взаимодействует с этой системой отсчета. Эти силы не следует называть силами инерции, так как тела при этом не деформируются. Однако, в обоих случаях для исследования движения используется второй закон Ньютона в виде или в RIS-1-04-010виде его модификации для вращательного движения . Правда, во втором случае можно вообще обойтись без фиктивных сил, используя чисто кинематические соотношения в относительном движении тела и системы отсчета.
Если же на тело будет действовать какая-либо внешняя сила, тело будет деформироваться, в результате чего появится сила инерции, противодействующая внешней силе и равная ей по величине.
Тогда встает вопрос об универсальности второго закона Ньютона. Рассмотренные примеры показали, что этот закон будет справедлив в любой системе отсчета – инерциальной и неинерциальной при учете всех действующих на тело сил, в число которых должны входить и силы инерции, если они только не уравновешиваются самой внешней силой, что имеет место при ее центральном действии, то есть когда линия действия силы проходит через центр масс тела.
Из примеров также следует, что действующие на тело силы определяют не относительное, а его абсолютное ускорение, то есть сила и ускорение абсолютны и не зависят от системы отсчета.
Таким образом, универсальность второго закона Ньютона следует понимать не только в форме его записи, когда наряду с активными внешними силами следует учитывать и силы инерции, но и в смысле его абсолютности. Ниже будет рассмотрено много примеров применения этого закона для исследования движения тел с учетом действия сил инерции.
Если при рассмотрении движения тел надо учитывать и силы инерции, то возникает вопрос о смысле деления систем отсчета на инерциальные и неинерциальные. Конечно, во времена Галилея такой смысл был, так как тогда не подозревали о существовании переносных и кориолисовых ускорений, не умели рассчитывать сложных движений тел, а самое главное – не знали что такое сила инерции. Последняя причина является определяющей и для нашего времени, хотя все знают, что инерциальных систем в чистом виде не бывает, что, считая систему инерциальной, мы допускаем определенные погрешности, связанные с выбором той или иной системы отсчета. Так, например, если инерциальную систему отсчета связать с Землей, то не будут учтены движения тел, обусловленные вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца, вращением Солнца вокруг центра нашей галактики и движением вместе с другими галактиками и т.д. Если же инерциальную систему отсчета связать с Солнцем, то эффекты, связанные с вращением Земли, будут учтены. И конечно, во всех случаях следует учитывать величину допускаемой погрешности при выборе той или иной системы отсчета.
Если вернуться к примеру с шариком, вращающимся вместе с диском, то, находясь в системе отсчета, связанной с самим диском, вообще будет невозможно понять поведение шарика, почему без каких-либо видимых причин шарик движется по кривой траектории. Если же наблюдатель сам начнет двигаться по диску, то он реально ощутит на себе действие какой-то неведомой силы. Поэтому для объяснения движения шарика ему придется вводить особую силу, закручивающую движение шарика по спирали.
Внешний же наблюдатель, зная о реальности сил инерции, легко объяснит причины движения шарика и рассчитает траекторию его движения, используя второй закон Ньютона.
Таким образом, если считать, что принцип относительности Галилея заключается в неизменности законов природы, под которыми в первую очередь понимается второй закон Ньютона, то мы доказали, что этот закон будет выполняться в любых системах отсчета, если только учитывать и силы инерции, то есть с этой точки зрения разницы между инерциальными и неинерциальными системами отсчета нет.
Однако, кроме второго закона Ньютона, есть еще и первый закон – закон инерции, который утверждает, что при отсутствии действия внешних сил тело будет двигаться прямолинейно с постоянной скоростью или находиться в состоянии покоя. Вполне очевидно, что этот закон выполняется в инерциальных системах отсчета и не выполняется в неинерциальных системах. Выходит, что разница между инерциальными и неинерциальными системами отсчета все-таки существует. Однако, как мы сейчас покажем, закон инерции можно понимать и в другом смысле. Вернемся снова к шарику, движущемуся по диску под действием сил инерции. На рис.10 показаны две траектории его движения в абсолютном и относительном движениях. И в одном и в другом случаях эти траектории являются кривыми линиями. Давайте посмотрим, как будут направлены скорости движения шарика в каком-нибудь одном его положении по отношению к этим траекториям. На рис.10 взято положение шарика в точке В, соответствующее координате . Поскольку шарик один и занимает выбранное нами положение в точке В, находящейся на траектории в абсолютном движении, то траектория в относительном движении займет положение, показанное пунктирной линией, так как траектория в относительном движении находится на поверхности диска и вращается вместе с ним. Эту траекторию можно представить как след от шарика на поверхности диска, то есть вполне видимую кривую. Траекторию же в абсолютном движении можно получить фотографируя отдельные положения шарика с помощью стробоскопа.
Скорость шарика в относительном движении будет складываться из скорости в радиальном направлении и в касательном направлении . Величина скорости в выбранном положении шарика равна 0,977 (см. таблицу 1), величину же скорости можно найти с помощью выражения (56):
(76)
При величина этой скорости будет равна 1,018 (см. таблицу 1). Отложив в каком-то масштабе эти скорости и сложив их, получим результирующую скорость в относительном движении , которая, как это хорошо видно, направлена по касательной к траектории в относительном движении в точке В.
Затем сложим скорости в переносном и относительном движениях. Скорость в переносном движении будет равна: . Результирующая скорость в абсолютном движении будет, как это видно из рис.10, направлена по касательной уже к траектории в абсолютном движении.
Таким образом, в каждый момент движения шарика его результирующая скорость будет направлена по касательной к его траектории как в абсолютном, так и в относительном движениях. А это значит, что в каждый момент своего движения шарик будет стремиться двигаться по направлению имеющейся у него в данном положении скорости, и только воздействие сил препятствует такому движению.
Если на шарик подействовать какой-то внешней силой F, он будет стремится сохранить характер своего движения в данном положении, в этом проявится его инертность или инерция (ниже будет показано, что эти понятия имеют разный смысл), которая приведет к его деформации и появлению силы инерции в направлении действия силы F (этот эффект для чисто вращательного движения будет рассмотрен ниже).
Если же в какой-то момент времени устранить связь шарика с диском, то он начнет двигаться в соответствии с имеющейся у него на данный момент скоростью, то есть в соответствии с мгновенной скоростью, имеющейся у него в выбранной системе отсчета.
Для доказательства этого утверждения вернемся к рис.10. С точки зрения неподвижного наблюдателя скорость шарика в точке В при его отрыве от поверхности диска изменяться не будет, и он продолжит движение по направлению абсолютной скорости . Это несомненно. Эта же скорость должна быть у шарика, если рассматривать его движение в системе отсчета, связанной с вращающимся диском. Но при этом наблюдатель, находящийся на поверхности диска, будет удаляться от шарика с линейной скоростью , поскольку шарик уже не будет участвовать в переносном движении вместе с диском. Тогда суммарная скорость шарика для подвижного наблюдателя будет равна (см. рис.10,б):
,                                                                         (77)
что точно соответствует значению скорости в относительном движении шарика на момент его отрыва от диска. Значит, и в подвижной системе отсчета будет казаться, что движение шарика происходит по инерции, то есть в направлении имеющейся у него скорости.
Таким образом, под законом инерции можно понимать стремление тела двигаться в каждый момент его движения по направлению имеющейся у него на данный момент скорости. Закон инерции в таком понимании можно считать дифференциальным законом, то есть законом справедливым для мгновенного положения тела, для любого момента его движения, в отличие от ныне принятого закона инерции Ньютона, который можно назвать интегральным, то есть справедливым для конечных интервалов времени или движения.
Очевидно, что закон инерции в дифференциальной форме является более широким понятием, чем закон инерции в интегральной форме, который поэтому можно рассматривать как частный случай закона инерции в дифференциальной форме.
Если пользоваться законом инерции в такой формулировке и считать силы инерции реальными силами, то можно обойтись без разделения систем отсчета на инерциальные и неинерциальные, так как в любой системе отсчета будут справедливы все законы механики. Однако, тем не менее, при любом исследовании движения тел встает проблема выбора системы отсчета, по отношению к которой это движение следует рассматривать. Поскольку движение тел зависит от действующих на них сил, в том числе и от сил инерции, выбор системы отсчета должен зависеть от соотношения этих сил. При малых величинах сил инерции в качестве систем отсчета можно брать тела, по отношению к которым это движение непосредственно происходит. Так, если бы диск вращался с небольшой скоростью, силы инерции были бы малы и не смогли бы преодолеть сил трения. Тогда движение шарика зависело бы только от действующих на него внешних сил.
Таким образом, поскольку силы инерции являются реальными силами, возникает вопрос о их наличии в выбранной системе отсчета. Этот вопрос не так прост, как может показаться на первый взгляд. Кажется несомненным, что силы инерции должны существовать во всех ускоренных движениях систем отсчета, в том числе и во вращательных движениях.
Что такое вращение знает каждый – это когда все точки тела движутся по окружностям относительно общей оси. Вращательное движение происходит под действием центростремительных сил, вызывающих появление центростремительных ускорений и центробежных сил инерции, что приводит к деформации вращающихся тел. Наличие этих факторов является главным признаком вращательного движения. Однако, не всегда видимое вращение будет являться действительным вращением. В качестве примера рассмотрим круглую платформу, ось вращения которой совпадает с осью вращения Земли (рис.11). Когда платформа не движется относительно Земли, скорости и ускорения ее точек будут определяться скоростью вращения Земли вокруг своей оси. Если же привести платформу в движение относительно Земли с такой же угловой скоростью, что и скорость вращения Земли, но противоположно направленной, то есть сообщить ей угловую скорость , то мы, находясь рядом на поверхности Земли, увидим вращение платформы в этом направлении. Однако, будут ли в этом случае точки платформы иметь центростремительное ускорение и будут ли на них действовать силы инерции? Если выйти за пределы Земли и посмотреть из космоса на эту платформу, то мы увидим, что вращается Земля, а не платформа. Платформа будет только поворачиваться относительно звезд, совершая один оборот за год, обусловленный вращением Земли вокруг Солнца. Если не принимать во внимание это вращение, то точки платформы не будут иметь нормального ускорения, направленного к ее оси и на них не будут действовать центробежные силы инерции, а сама платформа не будет деформироваться. Таким образом, получается, что относительное вращение еще не является признаком действительного вращения. Очевидно, самым простым способом узнать, будет ли какое-то вращательное движение реальным, это отнести его к звездам, которые, явно, не принимают участия в рассматриваемом нами вращательном движении. Этот способ можно назвать кинематическим. Что же касается определения наличия вращения по радиальным деформациям тел, то есть динамическим способом, то этот способ гораздо сложнее, хотя по фигуре Земли можно, конечно, догадаться о ее вращении вокруг своей оси.
Вполне очевидно, что действительное вращательное движение является абсолютным, что возникающие при этом деформации тел являются следствием именно данного вращения, как об этом говорил И. Ньютон, а не относительным вращением всей Вселенной вокруг этого тела, так как при вращении тела нет никакой силовой связи между данным телом и удаленными галактиками (если не считать сил тяготения, которые, конечно, таких деформаций вызвать не могут).
Будет очень поучительно вспомнить, как объяснял И.Ньютон абсолютность вращения на примере опыта с вращающимся “ведром” [34, с.111]: “Проявления, которыми различаются абсолютное и относительное движения, состоят в силах стремления удалиться от оси вращательного движения, ибо в чисто относительном вращательном движении эти силы равны нулю; в истинном же и абсолютном они больше или меньше, сообразно количеству движения.
Если на длинной нити подвесить сосуд и, вращая его, закрутить нить, пока она не станет совсем жесткой, затем наполнить сосуд водой и, удержав сперва вместе с водой в покое, пустить, то под действием появляющейся силы сосуд начнет вращаться, и это вращение будет поддерживаться достаточно долго раскручиванием нити. Сперва поверхность воды будет оставаться плоской, как было до движения сосуда. Затем силой, постоянно действующей на воду, сосуд заставит и ее участвовать в своем вращении. По мере возрастания вращения вода будет постепенно отступать от середины сосуда и возвышаться по краям его, принимая впалую форму поверхности (я сам пробовал делать это)…
Вначале, когда относительное движение воды в сосуде было наибольшее, оно совершенно не вызывало стремления удалиться от оси – вода не стремилась к окружности и не повышалась у стенок сосуда, поверхность оставалась плоской и ее истинное вращательное движение еще не начиналось. Затем, когда относительное движение уменьшилось, повышение воды у стенок сосуда обнаруживало стремление удалиться от оси, и это стремление показывало постепенно возрастающее истинное вращательное движение, и когда оно стало наибольшим, вода установилась в покое относительно сосуда…
Распознание истинных движений отдельных тел и точное их разграничение от кажущихся весьма трудно, ибо части того неподвижного пространства, о котором говорилось и в котором совершаются истинные движения тел, не ощущаются нашими чувствами. Однако это дело не вполне безнадежно. Основания для суждений можно заимствовать частью из кажущихся движений, представляющих разности истинных, из сил, представляющих причины и проявления истинных движений. Так, если два шара, соединенные нитью на данном друг от друга расстоянии, будут обращаться около их общего центра масс, то по натяжению нити можно будет узнать стремление шаров к удалению от оси вращения и по нему вычислить их угловую скорость. Если затем на противоположные стороны шаров заставить так действовать равные силы, чтобы они или ускоряли или замедляли вращательное движение, то по увеличившемуся или по уменьшившемуся натяжению нити может быть обнаружено увеличение или уменьшение скорости движения, и таким образом можно будет найти те стороны шаров, к которым надо приложить силы, чтобы увеличение скорости движения стало наибольшим, то есть найти те стороны шаров, которые обращены по направлению движения или по направлению, ему обратному. Когда эти передние и задние стороны будут найдены, то и движение будет вполне определено.
Таким образом могло бы быть определено количество и направление кругового движения внутри огромного пустого пространства, где не существовало бы никаких внешних, доступных чувствам признаков, к которым можно было бы относить положения шаров…”.
Из приведенной цитаты вполне очевидно, что И.Ньютон совершенно верно понимал сущность вращательного движения, и его абсолютность, то есть возможность определить его независимо от какой-либо системы отсчета по деформациям вращающихся тел в случаях с шарами и по характеру движения воды во вращающемся сосуде. Ниже будет показано, что деформации тел и движение воды в сосуде вызываются силами инерции, обусловленными различием линейных скоростей соприкасающихся друг с другом частиц твердых тел и жидкостей.
Абсолютность вращательного движения будет также видна из следующего примера. Рассмотрим движение шарика, жестко закрепленного на опоре, движущейся в пространстве с постоянной скоростью относительно диска, вращающегося с угловой скоростью относительно неподвижной системы отсчета (рис.12,а). Шарик и диск между собой никак не связаны, поэтому влиять на движение друг друга не могут. В начальный момент движения положение шарика совпадало с центром диска. Траектория движения шарика в относительном движении представляет собой спираль Архимеда (рис.12,б). В полярной системе координат она описывается уравнением:
,                                                                                                (78)
где r – радиус-вектор, - угол поворота, .
Это уравнение может быть получено достаточно просто из кинематических соотношений. Для этого задаемся временем движения и находим угол поворота диска , имея в виду, что :
,                                                                            (79)
откуда и получается выражение (78):

Поскольку угловая скорость и абсолютная скорость шарика постоянны по величине, ускорений во вращательном и прямолинейном движении не будет, то есть не будет и . Однако, в касательном направлении ускорение должно быть, и это, очевидно, будет кориолисово ускорение, так как вектор скорости поворачивается  в относительном движении. Величина этого ускорения определится выражением:
,                                                                              (80)
где равна по величине , но противоположна по направлению. Кориолисово ускорение перпендикулярно к соответствующему радиусу-вектору и совпадает с направлением относительного движения (см. рис.12,б). Наличие ускорения в касательном направлении приведет к появлению углового ускорения шарика в относительном движении, чего, конечно, быть не может. Таким образом, возник парадокс: с одной стороны никаких ускорений в относительном движении быть не должно, так как их нет в абсолютном движении, с другой стороны, если пользоваться формальными признаками, в относительном движении должно быть кориолисово ускорение. Очевидно, в данной ситуации можно сделать единственно правильный вывод: кориолисова ускорения быть не должно. Тогда как же быть с известным признаком существования кориолисова ускорения: оно возникает при наличии переносного вращательного и относительного поступательного движений? Очевидно, этот признак здесь не работает. Но вот почему? И ответ опять прост: этого ускорения не будет потому, что нет действительного абсолютного переносного вращательного движения шарика, так как вектор скорости не поворачивается в абсолютном пространстве, то есть по отношению к звездам.
Этот пример, на наш взгляд, ярко подчеркивает абсолютность действительного вращательного движения. Поэтому во всех случаях существования вращательного движения следует разбираться с его сущностью: абсолютно оно или относительно.

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации