§8. Движение уравновешенного волчка вокруг неподвижной точки после удара

На рисунке 1 показан уравновешенный волчок, состоящий из двух одинаковых конусов, центр масс которого S совпадает с точкой опоры 0. Волчок вращается вокруг своей оси симметрии, но так как он находится в безразличном равновесии, его ось вращения может занимать в пространстве любое положение. Если по такому вращающемуся с большой скоростью волчку стукнуть в каком-либо направлении, сообщив ему скорость VА , он начнет прецессировать в пространстве, т.е. точки, лежащие на его оси начнут перемещаться в пространстве по круговым траекториям. Характер этих траекторий следует определить. Экспериментально эта задача исследована в книге Р. В. Поля [5, с. 107-111], описана она и других работах, например, в [6, с. 292], однако физическая сущность этого явления не имеет достаточного обоснования. Постараемся разобраться с этим.
После удара по волчку в объеме волчка появится дополнительное поле скоростей, показанное на рис. 1, которое будет взаимодействовать с полем скоростей от собственного вращения волчка, причем проекции скоростей этого дополнительного поля на плоскости, перпендикулярные оси вращения волчка, во всех точках одной и той же плоскости будут одинаковыми. Т.е., по сути дела, для каждой элементарной массы dm ее движение можно рассматривать как поступательное с некоторой постоянной скоростью Vl (см. рис. 2):
,                                                                                           (1)
где- угловая скорость волчка после удара в направлении, перпендикулярном оси Х, определяемая соотношением (см. рис. 1):
(2)
Волчок и систему координат X, Y, Z при этом в пространстве располагаем произвольно, так как волчок находится в безразличном равновесии.
При ударе по волчку на выделенную элементарную массу dm будет действовать сила dF1, определяемая выражением:
,                                                                                     (3)
где
;                                                            (4)
Момент этой силы относительно оси Y будет равен:
(5)
Интегрируя это выражение, получим общий момент для всего конуса:
(6)
К этому инерционному моменту добавится еще момент от сил инерции, возникающих при повороте элементарного диска dm радиуса r вокруг оси , проходящей через его центр масс Sdm и параллельной оси Х, что связано с поворотом волчка в целом вокруг оси Х. Мы уже рассматривали подобную задачу, поэтому сразу напишем значение момента для всего конуса:
(7)
Суммарный же момент определится выражением:
,    (8)
где момент инерции конуса относительно оси Х:
(9)
Аналогичным способом найдем силу dF2:
,                                                                                  (10)
где скорость V1 находится с помощью дифференциального уравнения:
,                                                           (11)
где , так как ось волчка перпендикулярна одновременно к осям Х,Y (см. рис. 2).
Отсюда получаем:
;                                                                                     (12)
;                                                                       (13)
Так как
,                                                                                     (14)
общий момент для конуса будет равен:

(15)
Сюда же добавится момент за счет поворота всех элементарных дисков:
(16)
Поэтому суммарный момент М2 будет равен:
(17)
Произведя ряд последующих расчетов по определению моментов М3, М4 и т. д. и просуммировав их, получим результирующие инерционные моменты, действующие на каждый из конусов волчка:
(18)
(19)
где - момент инерционных сил относительно оси X, а - тоже самое относительно оси Y.
Напомним, что здесь - начальная угловая скорость, возникшая за счет удара.
Чтобы было понятнее направление действия моментов, представим моменты в виде пары сил, приложенных в центрах масс конусов (см. рис. 3) в начальный момент движения. Момент направлен против удара, момент направлен по часовой стрелке, если смотреть с конца оси Y.
Под действием данных моментов волчок начнет совершать какое-то движение. Чтобы было легче представить ха-рактер этого движения, расположим оси X и Y в вертикальной плоскости (см. рис. 4). На рис. 4 направление удара характеризуется скоростью . Тогда эта задача будет похожа на уже рассмотренную нами задачу прецессионного движения волчка вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести. Поэтому дифференциальные уравнения движения волчка мы можем записать в виде:
;                                           (20)
,                                      (21)
где .
Здесь мы рассматриваем движение только одного конуса, так как движение обоих конусов будет симметричным. Решая дифференциальные уравнения с начальными условиями: , , , , получим:
;                                                                            (22)
;                                                                            (23)
;                                                                (24)
(25)
Характер движения волчка легче будет представить, если мы найдем линейные перемещения какой-либо точки, лежащей на оси вращения волчка. В качестве такой точки возьмем его центр масс. Тогда получим:
;                                               (26)
,                                                         (27)
где перемещение будет происходить в начальный момент движения вверх, параллельно оси Х, а перемещение - вправо, параллельно оси У, т.е. по направлению удара (см. рис. 4). Полученные нами уравнения траектории точки представляют собой уравнение окружности, радиус которой определяется выражением:
,                                                                                      (28)
а центр А смещен от центра масс на такую же величину. Положение этой окружности показано на рис. 3 и 4. Эта окружность будет лежать на сфере радиуса . Из приведенного решения следует, что центр масс волчка будет двигаться по окружности, вращаясь в туже сторону, что и волчок, и с той же угловой скоростью . Однако, анализ показывает, что центр масс волчка не может вращаться вокруг точки А с такой же угловой скоростью, как и волчок. Рассмотрим этот вопрос подробнее. На рис 5 в соответствии с рис. 4 показано движение центра масс волчка- точки - вокруг точки А и вращение самого волчка вокруг точки . Если скорости вращения будут одинаковыми, то угол поворота тела вокруг своей оси (точка ) будет в точности равен углу поворота его центра масс вокруг точки А, т.е. точка В тогда будет находиться на одном и том же радиусе - векторе АВ. Следовательно, тело по отношению к этому радиусу-вектору вращаться не будет, значит, не будет и вращаться по отношению к линейной скорости. В результате должно прекратиться взаимодействие прямолинейного и вращательного движений, ввиду отсутствия последнего и, следовательно, должны исчезнуть инерционные силы, причем это произойдет практически мгновенно после удара, как только обозначится вращение вокруг точки А.
Таким образом, волчок по отношению к точи А так двигаться не может. Чтобы происходило вращение и не исчезали силы инерции, должна иметь место относительная скорость вращения тела по отношению к окружной скорости:
(29)
Чтобы тело двигалось по окружности под действием сил инерции, они должны изменяться с такой же частотой, что и скорость , т.е. должно выполняться условие:
,                                                                     (30)
откуда следует:
(31)
В результате центр масс волчка будет двигаться по окружности радиуса:
(32)
Выявленное нами обстоятельство приводит к тому, что во всех формулах, где фигурирует угловая скорость , ее необходимо заменить относительной угловой скоростью . И это относится не только к данной задаче, но и ко всем задачам, рассмотренным выше в других параграфах.
Таким образом, любая точка, лежащая на оси вращения волчка, будет описывать окружность с радиусом:
,                                                                (33)
где l - расстояние от выбранной точки до начала координат, в результате чего образуется конус вращения, показанный на рис. 3 и 4, расположенный по касательной к направлению удара.
Исследуем характер движения волчка подробнее в соответствии с анализом, приведенным в работе [5]. Для этого изобразим на плоскости X-Y траекторию движения центра масс волчка (см. рис. 6), который вращается вокруг неподвижной оси (точка А), называемой осью суммарного импульса, т.е. момента импульса волчка, сложенного с моментом импульса от удара.
Так как волчок совершает сложное движение, при котором его центр масс вращается вокруг точки А с угловой скоростью , а сам волчок вращается вокруг точки с угловой скоростью на рисунке 6 показаны картины распределения линейных скоростей в теле волчка для этих движений, с помощью которых может быть найден мгновенный центр скоростей волчка в выбранном положении. Для этого приравняем линейные скорости в точке , характеризующей положение мгновенного центра скоростей и определяемой координатами и :
,                                                                                                              (34)
где
;                                                                                           (35)
(36)
Принимая во внимание соотношение , получим:
,
откуда следует:
;                                                                                                (37)
а так как сумма этих радиусов равна , то
;                                                                                            (38)
(39)
Теперь можно найти скорость вращения волчка вокруг мгновенного центра скоростей:
(40)
В свою очередь мгновенный центр скоростей вращается вокруг точки А с угловой скоростью .
И наконец, найдем угол при вершине конуса нутации (см. рис. 4):
(41)
откуда
,                                                                             (42)
т.е. зависит от соотношения угловых скоростей от удара и вращения волчка.
При движении конуса со временем, как показали эксперименты [5], угол нутации будет уменьшаться. Это явление может быть объяснено наличием трения в месте опоры волчка. Этот вопрос мы не рассматриваем.

 

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"
  • Сколько человек посетили музей ржд.

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации