§8. Интегральные и дифференциальные вариационные принципы механики

Интегральные принципы занимают особое положение в механике, претендуя на всеобщую универсальность в описании движения материальных объектов, так как из них могут быть получены все законы механики (эти принципы получили название вариационных, почему они так называются, будет ясно из дальнейшего изложения). Так, по отношению к принципу наименьшего действия Гамильтона А. Зоммерфельд (1868-1951) утверждает, что в нем заключена вся механика [14, с.259]. А современные нам ученые идут еще дальше, расширяя область применения интегральных вариационных принципов не только на все физические науки, такие, как электромагнетизм, термодинамика, теория относительности, квантовая механика и др., но и на теорию управления (кибернетику), биологию, экономику, социологию и т. д. То есть действительно получается, что принцип Гамильтона в его модифицированной форме оказывается универсальным научным принципом. Некоторые ученые даже возводят вариационные принципы чуть ли не во всеобщий философский принцип [19, с.29]: “Вариационные принципы в физике обнаруживают поразительное богатство философского содержания. С их помощью в рамках общей теории относительности выражается в специальной форме даже такая основополагающая идея всего материализма, как мысль, что материя существует и что она есть причина самой себя”.
Это очень серьезное утверждение, которое, конечно, вызывает закономерное сомнение. Ряд современных учебников по механике написан с позиций главенства интегральных вариационных принципов [8, 20].
В связи с изложенным возникает необходимость разобраться с действительной сущностью этих принципов и их местом и ролью в механике и в науке вообще. Для этого рассмотрим кратко историю их возникновения и развития.
Впервые интегральный принцип применительно к оптическим явлениям был введен Ферма (1601-1665) в 1662 году. Он назывался принципом кратчайшего времени и математически был представлен в виде интеграла:
,                                                                                                     (1)
где V – скорость распространения света, ds – элемент пути, А и В – начальная и конечная точки движения луча света.
Применительно к механическим явлениям Лейбницем (1646-1716) в 1669 году был сформулирован принцип, получивший в дальнейшем название принципа наименьшего действия, который, однако, не был опубликован. Лейбниц утверждал, что при движении тела действие должно быть минимальным или максимальным. Под действием Лейбниц понимал произведение массы тела, его скорости и длины пройденного пути. Действие могло быть также представлено как произведение живой силы, то есть кинетической энергии, на время. В современной трактовке действие представляется в виде интеграла [14, с.286]:
,                                                                                      (2)
где S – действие, Т – кинетическая энергия, и - начальное и конечное значения времени.
Почти через сто лет в 1747 году похожий принцип был опубликован президентом Берлинской академии наук Мопертюи (1698-1759). Он утверждал, что действие, которое может быть представлено в виде:
,                                                                                      (3)
при движении тел должно быть минимальным, то есть из всех возможных движений природа выбирает то, при котором цель движения достигается с наименьшей затратой действия. В соответствии с такой формулировкой принцип получил название принципа наименьшего действия. Следует отметить, что выражение (3) после преобразований может быть представлено в форме выражения (2).
Из формулировки принципа, данной Мопертюи, вытекает телеологический характер принципа наименьшего действия. “Телеологический” значит “целесообразный” или “целенаправленный”. Кроме того, сам автор придал принципу и теологическую окраску, так как утверждал, что вся природа, созданная столь целесообразно, доказывает “мудрость и существование творца”. Эти утверждения Мопертюи вызвали одну из самых оживленных дискуссий в XVIII столетии. На стороне Мопертюи выступил Эйлер (1707-1783), который на основании этого принципа разработал вариационное исчисление. Мы не будем подробно рассматривать принцип наименьшего действия Мопертюи, хотя он и считал свой принцип наиболее общим из всех законов природы. В настоящее время такую всеобщность признают, как уже отмечалось, за принципом наименьшего действия Гамильтона (1805-1865). Но прежде, чем рассматривать принцип Гамильтона, отметим, какие следствия вытекают из принципа Мопертюи [14, с.290].

 

  1. При свободном движении при выполнении закона сохранения энергии следует:

,                                                                              (4)
то есть получается, принцип кратчайшего времени Ферма. Здесь символ означает вариацию, то есть отклонение или изменение некоторой величины.

  1. Для свободной материальной точки вместо T=const можно взять V=const, тогда получится:

(5)
В этом состоит принцип кратчайшего пути.
Принцип Гамильтона имеет следующую форму:
,                                                                         (6)
где Т - кинетическая энергия тела, U - его потенциальная энергия. Эта форма справедлива для консервативных систем. Разность энергий называется функцией Лагранжа L, в связи с чем принцип Гамильтона может быть представлен в виде:
(7)
Рассмотрим сущность принципа наименьшего действия Гамильтона на примере, проведенном в знаменитых лекциях по физике Р. Фейнмана [21, с.96-120]. В этом примере рассматривается движение подброшенного вверх тела, то есть движение тела в поле силы тяжести. На рис.1 использованы следующие обозначения: - истинный путь, который требуется определить; - один из пробных путей, отличающийся от истинного на небольшую величину ; т. А характеризует начало, а т. В конец движения; и - соответствующие точкам А и В моменты времени.
Так как действие по Гамильтону определяется выражением:
,                                                                          (8)
в принятых обозначениях оно будет иметь вид:
(9)
Задача заключается в определении истинного пути движения тела, для которого вариация действия S должна равняться нулю, то есть:
(10)
В данном случае является символом неполной (изохронной) вариации, в которой в отличие от полной вариации время не варьируется.
Р. Фейнман дает приращение аргументу :
,                                                                        (11)
в результате чего выражение (9) преобразуется к виду:
,                                              (12)
которое после возведения первого слагаемого в квадрат и разложения потенциальной энергии в ряд Тейлора примет вид:
(13)
Затем берется разность и S равная , в которой члены с и выше отбрасываются. В результате получается:

(14)
Чтобы избавиться от производной , производится интегрирование по частям. Тогда выражение (14) преобразуется к виду:
(15)
По условию задачи отклонения и должны равняться нулю, что приводит к упрощению выражения (15):
(16)
Так как по условию же задачи должно равняться нулю при любом значении , должно равняться нулю и следующее выражение:
,                                                                              (17)
откуда сразу же следует второй закон Ньютона:
,                                                                                                              (18)
где
(19)
Таким образом, заключает Р. Фейнман, мы показали (по крайней мере для консервативной системы), что принцип наименьшего действия приводит к правильному ответу: он утверждает, что пуль, обладающий минимумом действия, - это путь, удовлетворяющий закону Ньютона.

  1. Ну а теперь проанализируем приведенные выше рассуждения и выкладки:
  2. Отклонение является приращением аргумента , причем в качестве аргумента берется действительное перемещение тела, но не время. Это приращение можно обозначить через .
  3. Выражение , характеризуемое формулой (16), представляет собой приращение функции s. Это приращение может быть представлено через .
  4. Выражение (17) представляет собой, как это следует из выражения (16), отношение , которое будет справедливо для любого значения (в том числе и для ), так как в числителе и в знаменателе сокращается при переходе от формулы (16) к формуле (17), где представляет собой приращения подынтегральной функции в квадратных скобках. Это отношение в пределе представляет собой производную:

,                                                                                   (20)
значение которой по условию задачи равно нулю.
То, что приращение функции определяется интегралом по времени в пределах от до , не должно влиять на наши рассуждения, так как временной интервал по условию задачи не будет влиять на приращение функции .
Таким образом, суть всех математических операций, приведенных выше, свелась к взятию производной от выражения (8) по пространственной координате. И поскольку эта производная приравнивается к нулю, это дает возможность в соответствии с известными правилами найти значения аргумента, при которых функция s имеет экстремальные значения (максимум или минимум). Такими значениями аргумента x (перемещения тела) будут являться все его значения, удовлетворяющие второму закону Ньютона, как это следует из выражения (17).
В связи с приведенными замечаниями возникает вопрос, зачем нужно было вводить понятие движения s, затем его дифференцировать, чтобы в итоге получить производную от кинетической и потенциальной энергии тела по пространственной координате, тем более, что физический смысл этого понятия совершенно неясен? Это можно объяснить только тем, что творцам интегральных методов (Лейбниц, Мопертюи, Гамильтон, Лагранж и др.) не приходило в голову, что силу можно определить как производную от кинетической энергии тела по его перемещению. Введение же такого чисто формального понятия, как действие, давало какую-то опору в рассуждениях. Чтобы получить правильный результат, пришлось также принять допущение, что во всех положениях тела равняется нулю, хотя отклонения в траектории и допускались, то есть появлялось (зато потом оказывалось, что эти отклонения не играют никакой роли в выводе, то есть не влияют на величину производной). Пришлось также принять условие, что , иначе нельзя было бы сделать нужное преобразование. Во всех интегральных преобразованиях, из которых должен получиться второй закон Ньютона, учитывается как кинетическая, так и потенциальная энергия, опять из тех же соображений. Поэтому в итоге получается правильный результат.
В связи со всем изложенным можно утверждать, что принцип наименьшего действия Гамильтона является чисто математическим приемом по исследованию некоторой специально подобранной функции (в данном случае разности T-U).
Поскольку при использовании принципа наименьшего действия Гамильтона был допущен ряд совершенно неясных и даже туманных предположений, то нет ничего удивительного в том, что возникло мистическое толкование этого принципа. Так, например, А.Зоммерфельд дает такую характеристику принципов наименьшего действия [14, с.259]: “Принцип Гамильтона, так же как и остальные принципы наименьшего действия, кажущимся образом противоречат нашему представлению о причинности, поскольку, согласно этому принципу, протекание процесса во времени определяется не состоянием системы в настоящий момент, а выводится с учетом в равной мере прошедшего и будущего системы. Интегральные принципы являются, казалось бы, не каузальными, а телеологическими”.
И далее: [14, с.285}: “Телеологический” значит “целесообразный” или “целенаправленный”. “Из всех возможных движений природа выбирает то, при котором цель движения достигается с наименьшей затратой действия” – такова возможная формулировка принципа наименьшего действия, хотя и весьма неопределенная, но вполне соответствующая по своему смыслу идее ученого, открывшего этот принцип” (здесь Зоммерфельд говорит о Мопертюи).
Р. Фейнман утверждает даже следующее по отношению к микрочастицам [21, с.111]: “…наш принцип наименьшего действия сформулирован не полностью. Он состоит не в том, что частица избирает путь наименьшего действия, а в том что она «чует» все соседние пути и выбирает тот, вдоль которого действие минимально…”.
Как говорится, дальше уже некуда!
На несуразность принципа Гамильтона указывал еще Г. Герц (1857-1894) [22, с.38]: “…немыслимо, чтобы принцип Гамильтона или другой принцип аналогичного характера представлял собой фактически основной закон природы;…принцип Гамильтона, если его детально проанализировать, представляет собой чрезвычайно сложное высказывание. Он не только ставит происходящее в настоящий момент движение в зависимость от последствий, которые могут выявиться в будущем, предполагая существование у неживой природы намерений, но что еще хуже, он предполагает существование у природы бессмысленных намерений. Ибо интеграл, минимум которого требует принцип Гамильтона, не имеет простого физического значения; кроме того, представляется непонятной целью природы приведение математического выражения к минимуму или его вариации к нулю”.
Очень верные замечания!
Теперь покажем, как с помощью закона сохранения энергии в используемом примере, не прибегая к помощи принципа наименьшего действия, можно получить второй закон Ньютона.
При движении подброшенного тела вверх его кинетическая энергия будет уменьшаться, а потенциальная энергия соответственно возрастать, зависимость между которыми для любого момента времени можно представить в виде следующего равенства:
,                                                                           (21)
где - начальное значение кинетической энергии в момент бросания.
Выражение (21) может быть представлено в виде закона сохранения энергии, справедливого для любого момента движения:
(22)
В дифференциальной форме выражение (22) будет иметь вид:
(23)
Поделив каждый член этого выражения на dx, придем к следующему выражению:
,                                                                         (24)
где и - производные по x от кинетической и потенциальной энергий.
Производную от кинетической энергии можно представить в виде:
,               (25)
где - скорость движения тела, - его ускорение.
Производная от по x также представляет собой силу, взятую с отрицательным знаком:
(26)
В результате выражение (24) приведется к виду:
,                                                                                          (27)
представляющему собой второй закон Ньютона.
Как следует из выражения (22) функция представляет собой постоянную величину и, поэтому, не имеет ни максимума, ни минимума. Эта функция характеризует закон сохранения энергии.
Теперь посмотрим, что же представляет собой функция , используемая в принципе наименьшего действия Гамильтона. Если использовать выражение (21), то получим:
,                                                                                              (28)
что не представляет какого-либо физического смысла. Тогда для чего же в принципе наименьшего действия Гамильтона берется такая функция? Ответ окажется достаточно простым, если мы проанализируем выражение (17), которое является производной от некоторой функции s по перемещению x:
,                                                           (29)
где

Взяв интеграл от выражения (29), найдем функцию s:
(30)
Таким образом, в результате математических преобразований над действием , характеризуемым выражением (8), мы приходим к функции s, представляющей собой сумму кинетической и потенциальной энергии, правда, взятой со знаком минус, что, в принципе, не имеет никакого значения, так как эта сумма является постоянной величиной, а ее производная равна нулю.
Отсюда следует, что выбор подынтегральной функции в выражении (8) и все остальные условия, необходимые для преобразований, обусловлены необходимостью получения выражения (17), имеющего физический смысл закона сохранения энергии. Так стоило ли, как говорится, огород городить?
Физическая сущность других интегральных принципов механики хорошо изложена в книге А.Зоммерфельда. Так, принцип наименьшего действия Мопертюи (и Лейбница тоже) [14, с.287]:

или

трактуется следующим образом: “…мы сравниваем только траектории с такой же энергией, как энергия рассматриваемой траектории. Тем самым, разумеется, мы утверждаем, что рассматриваемый нами теперь принцип наименьшего действия справедлив только для движений, при которых выполняется закон сохранения энергии, то есть для случая, когда силы имеют потенциал”.
Там же [14, с.290]: “Если мы рассмотрим частный случай свободного движения, то для него из закона сохранения энергии …легко найти:

Мы пришли к принципу кратчайшего времени прихода, сформулированному Ферма и примененному им к преломлению света…
Для случая свободной материальной точки можно вместо взять и…написать:

В этом состоит принцип кратчайшего пути, который определяет траекторию свободной материальной точки на кривой поверхности…”.
Кроме интегральных существуют и дифференциальные вариационные принципы механики [14], [8]: Журдена, Гаусса и Герца. Все они могут быть получены из общего уравнения динамики и дают определенную характеристику движения тела, выделяют то или иное свойство этого движения.
Принцип Журдена характеризуется выражением [8, с.88-89]:
,                                                         (31)
где - вариация скорости, - ускорение.
Согласно этому принципу, среди сравниваемых кинематически возможных в данный момент времени движений действительное движение выделяется тем, что для него и только для него выполняется приведенное уравнение.
Принцип наименьшего принуждения Гаусса заключается в условии [8, с.89-92]:
,                                                                                                 (32)
где величина
(33)
называется принуждением или мерой принуждения. Гаусс меру принуждения определял как “сумму произведений отклонения каждой точки от своего свободного движения на ее массу [14, с.293]. Суть же принципа можно сформулировать следующим образом [8, с.90]: “…среди сравниваемых кинематически возможных движений…действительное движение выделяется тем, что для него принуждение z минимально”.
Принцип Гаусса можно считать не чисто дифференциальным, так как выражение (33) получено путем интегрирования по ускорению W уравнения:
,                                                        (34)
которое, в свою очередь, получено из общего уравнения динамики.
Принцип Гаусса имеет также и физическое истолкование. Первое [8, с.92]: “Несвободная система совершает движение, наиболее близкое к свободному”. И второе [14, с.293-294]: “…для действительного движения реакции связей минимальны”, что следует из представления z в следующем виде:
,                                                                                    (35)
где Rv – реакция связей
Принцип “прямейшего пути” Герца формулируется следующим образом [22, с.138]: “Всякая свободная система пребывает в состоянии покоя или равномерного движения по прямейшему пути”. Математически он выражается в условии:
,                                                                                               (36)
где
,                                                                           (37)
а представляет собой кривизну траектории, описываемой системой.
Этот способ выражения, как отмечает А.Зоммерфельд [14, с.297], весьма напоминает формулировку первой аксиомы Ньютона. Сам же Герц считал свой принцип основным законом механики [22, с.44]: “Этот основной закон является в нашей картине не только первым опытным принципом собственно механики, но также и ее последним принципом. Из него и допущенной гипотезы скрытых масс и закономерных связей мы чисто дедуктивно выводим основное содержание механики”.
И еще [22, с.30]: “С установлением этого нового закона достигается создание необходимых основ механики. Все, что мы можем только добавить к этому закону, - это математические выводы и некоторые упрощения или вспомогательные обозначения, которые, возможно, являются целесообразными, но не обязательными. К этим последним относится и понятие силы, которое в самих основах не фигурировало. Введение понятия силы целесообразно, когда мы рассматриваем не только такие массы, которые связаны с постоянными количествами энергии, но также и такие, которые отдают энергию другим массам или заимствуют ее у них. Однако, введение силы производится не на основе новых опытных данных, а с помощью определения, которое может быть сформулировано по-разному. В соответствии с этим и свойства определенных таким образом сил должны устанавливаться не из опыта, а могут быть введены из определения и из основного закона…”.
Исходя изо всего сказанного выше можно еще раз отметить, что каждый из вариационных принципов и все они вместе не являются основными законами механики. Каждый из этих принципов отражает то или иное свойство, связанное с движением материального объекта, дает ту или иную характеристику этому движению. Одни из этих свойств являются чисто кинематическими (принципы Герца и Ферма), другие динамическими (принцип Гаусса и Мопертюи), третьи же вводят новые понятия, смысл которых совершенно не понятен (принцип Гамильтона).
Все эти принципы могут быть использованы для исследования свойств движения, но все они, по сути дела, при решении задач сводятся ко второму закону Ньютона. В основе этих принципов, как показано в работах [8] и [14] лежит общее уравнение динамики. Тем не менее эти принципы помогают лучше понять механические законы движения тел. В этом и заключается их основное достоинство.
Подводя итоги рассмотрения сущности вариационных принципов механики, необходимо отметить следующие моменты:

  1. Развитие механики сопровождают поиском новых законов, их свойств, возможностей, обоснованием старых законов. Сюда входят интегральные и дифференциальные принципы. Многие из них претендовали на роль единственного фундаментального закона механики.
  2. Несомненно, что основной из этих принципов – принцип наименьшего действия “подгонялся” под второй закон Ньютона и обосновывался, исходя из этого, как некоторая вариация, которая почему-то всегда равна нулю, а не самом деле находилась такая функция, минимум которой определялся вторым законом Ньютона. Однако, как нами было показано, эта функция в результате математических операций преобразуется в другую функцию, которая не имеет ни максимума, ни минимума, поскольку является постоянной величиной и представляет собой закон сохранения энергии.
  3. Вызывает сомнение расширительное толкование принципа наименьшего действия, то есть использование его в экономике, социологии, биологии, науковедении и т. д. Если в физических областях, таких, как термодинамика, электромагнетизм, квантовая механика, его физическую сущность еще можно понять, то в других – невозможно. Или этот принцип надо назвать по-другому.
  4. Поскольку расширительное толкование существует, то возникает мысль об абстрактности этого принципа как чисто математического способа обработки любой информации с целью получения оптимальных результатов. В этом убеждает и сама сущность использования этого принципа.
  5. Такое толкование принципа наименьшего действия стала возможным только потому, что законы механики не имеют должного обоснования и объяснения их сущности.
  6. Были как противники (Мах, Зоммерфельд, Герц), так и сторонники этого принципа (Планк, М.Борн, Клаузиус, Гельмгольц и др.).
  7. Конкурирование между законом сохранения энергии и принципом наименьшего действия, как претендентов на роль основного закона механики.
  8. Достижения этого принципа и его модификации применительно к тому или иному разделу физики заставили перейти к статистическим методам объяснения законов природы. Сам же принцип Гамильтона, введенный для механического движения, придавал некую правдоподобность всем способам его использования. Но такое использование принципа Гамильтона, по сути дела, было попыткой поднять его до уровня единого универсального закона природы.
  9. Нечто подобное происходило и происходит с другими физическими понятиями. Например, очень расширительно толкуется понятие движения.
  10. Вариационные принципы в механике справедливы потому, что в их основе лежит закон сохранения энергии, а не наоборот.
  11. Вариационные принципы стали широко применяться и получили значительный вес, когда ученые стали отходить от материалистических принципов в объяснении законов природы (СТО, ОТО, квантовая механика, единые теории). Но это все проистекает от нашего незнания сущности законов природы и горячего желания как-то объяснить создаваемые теории.

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации