§6. Аксиомы статики и динамики.

Для того, чтобы иметь возможность исследовать движение и состояние равновесия материальных объектов к трем рассмотренным нами законам Ньютона добавляют еще специальные аксиомы. К основным аксиомам относятся следующие аксиомы статики и динамики [11, с.10-15, 239]:

 

  1. о равенстве системы двух сил;
  2. о добавлении системы сил, эквивалентной нулю;
  3. о сложении сил по правилу параллелограмма;
  4. аксиома связей;
  5. аксиома затвердевания;
  6. о независимом действии сил (закон суперпозиции сил).

Мы рассмотрим только часть упомянутых здесь наиболее важных аксиом.
Рассмотрим сперва равновесие твердого тела, находящегося под действием двух сил и (рис.1). Так как при действии на тело любой силы к нему подводится энергия, то в случае его равновесия подводимые энергии и будут компенсировать друг друга, так как они не должны изменять его состояния покоя или движения.
Таким образом, должно выполняться соотношение:
(1)
Так как равновесие тела под действием двух сил не должно нарушаться в любой момент их действия, выражение (1) можно представить в дифференциальной форме:
(2)
Поскольку все твердые тела не являются абсолютно жесткими, то под действием сил (при подводе к ним энергии) они будут деформироваться. Для нашего примера величина деформации в направлении совместного действия сил в виду ее малости будет равна:
,                                                                                          (3)
где l- размер тела до действия сил, - размер деформированного тела.
Эта деформация будет характеризовать пространственное перемещение каждой из сил в их относительном движении, то есть перемещения сил за счет деформации тела будут одинаковыми. На это обстоятельство следует обратить внимание, так как в дальнейшем мы будем неоднократно им пользоваться. Таким образом, при взаимодействиях тел и при силовых воздействиях на них следует рассматривать не абсолютные, а относительные перемещения сил, соответствующие абсолютным деформациям тел, так как эти деформации определяются именно совместным действием сил.
Чтобы от соотношения энергий в форме (2) перейти к действующим силам, надо поделить левую и правую части этого выражения на величину деформации ds:
,                                                                                      (4)
откуда следует:
(5)
Учитывая противоположные направления подводимых к телу энергий, выражение (5) можно представить в векторной форме:
(6)
Таким образом, мы доказали одну из аксиом статики о равенстве системы двух сил.
Если выражение (5) умножить на ds, мы придем к условию равновесия тела в виде:
,                                                                                     (7)
что аналогично выражению (2).
Если же подводимые энергии не будут равны друг другу, относительные перемещения все равно будут одинаковы для обеих сил. Тогда разность подводимых энергий:
(8)
определит результирующую силу, действующую на тело:
,                                                                                     (9)
которая и определит характер его движения.
С помощью закона сохранения энергии можно доказать третий закон Ньютона. Рассмотрим это доказательство на примере взаимодействия двух тел при их столкновении (рис.2). При столкновении двух тел за счет их деформации и возникают упругие силы и , с которыми тела действуют друг на друга. При этом тела обмениваются кинетической энергией так, что сколько энергии одно из тел потеряет, столько же энергии другое тело приобретет, то есть будет иметь место соотношение:
,                                                                                     (10)
справедливое для любого момента взаимодействия. Дальнейшие преобразования этого выражения будут аналогичны преобразованиям, рассмотренным в предыдущем примере. Только следует иметь в виду, что величина относительного перемещения сил и должна быть равна сумме деформаций тел, то есть:

(11)
В результате получим:
(12)
или в векторной форме:
,
то есть при взаимодействии двух тел они действуют друг на друга с силами, равными по величине, но противоположными по направлению.
Очевидно, такое доказательство не должно вызывать удивления, так как сам закон сохранения энергии получен с использованием предложения о равенстве действия и противодействия.
Рассмотрим теперь равновесие тела, находящегося под действием трех сил (рис.3). В этом случае к данному телу в направлениях указанного действия сил будут подводиться энергии , и . Так как под действием трех сил тело должно находиться в равновесии, суммы составляющих энергий по осям координат должны равняться нулю:
;                                                                              (13)
(14)
Составляющие энергий по осям координат в соответствии с полученными выше результатами (см. глава I, §5, формула (41)) определяются выражениями:
;                                                                       (15)
;                                                                      (16)
;                                                                      (17)
;                                                                        (18)
;                                                                      (19)
(20)
Умножим и поделим дифференциал каждой энергии на величину деформации тела в направлении действия соответствующей силы. Тогда выражения (15) – (20) примут вид:

(21)
(22)
где , и - деформации тела за счет совместного действия сил в направлениях действия первой, второй и третьей сил.
Полученные выражения могут быть представлены в виде:
;    (23)
(24)
Так как (см. рис.3):
;                                     (25)
;                                 (26)
,                                  (27)
где , , , , и - проекции деформации тела на оси координат, выражения (23) и (24) преобразуем к виду:
;      (28)
(29)
При условии равновесия тела деформации по осям координат в относительном перемещении сил должны быть одними и теми же, то есть должны выполняться соотношения:
(30)
поэтому выражения (28) и (29) после сокращения на деформации и примут вид:
;                                  (31)
(32)
Выражения (31) и (32) представим в виде:
;                                                                                              (33)
,                                                                                              (34)
где
(35)
Правые части в выражениях (33) и (34) можно рассматривать как равнодействующие сил, представленных в левых частях, то есть:
;                                                                         (36)
(37)
Результирующую равнодействующую силу можно определить с помощью теоремы Пифагора (см. рис.4):
(38)
Результирующую силу можно также найти из параллелограмма, построенного на силах и по известной формуле:
(39)
Как видим, результат в обоих случаях получается один и тот же.
Таким образом, мы доказали, что сложение действующих на тело сил можно производить по правилу параллелограмма. Это правило до сих пор рассматривалось как аксиома, то есть как положение, не имеющее доказательства.
В случае равновесия тела под действием трех приложенных сил , и сила должна быть равна равнодействующей силе по величине и противоположна ей по направлению. В соответствии с векторным сложением сил выражения (31) и (32) можно заменить одним уравнением в векторной форме:
(40)
Рассмотрим теперь движение тела под действием нескольких подведенных к нему неуравновешенных энергий (рис.5). Данная задача решается так же, как и предыдущая, то есть сперва находится результирующая сила с помощью разложения энергий по осям координат. Она будет удовлетворять векторному уравнению:
,                                                                      (41)
где вектора , и последовательно прибавляются друг к другу. Модуль результирующей силы определяется выражением:

Угол, под которым результирующая сила расположена по отношению к оси x, может быть найден из отношения:
,                                                                                (42)
где
(43)
Выражение (41) представляет собой закон суперпозиции сил, который, таким образом, тоже является доказанным.

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"
  • Вагонка штиль в саратове сравнить цены или купить вагонка штиль саратов купить.

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации