§7. Принцип возможных (виртуальных) перемещений. Общее уравнение динамики. Принцип Даламбера.

Принцип возможных (виртуальных) перемещений – один из основных принципов механики, выражающий общее условие равновесия механической системы. Этот принцип широко используется при статистических исследованиях материальных систем, причем действие наложенных на систему связей учитывается введением соответствующих реакций связей.
Существуют две различные формулировки принципа возможных перемещений. В одной формулировке утверждается, что для равновесия материальной системы необходимо, чтобы равнялась нулю сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к системе, на любом возможном перемещении. Так, например, в работе [12, с.319] принцип возможных перемещений формулируется следующим образом: “Необходимое и достаточное условие равновесия системы, подчиненной стационарным идеальным связям, заключается в равенстве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия”.
В другой формулировке, наоборот, говорится, что система должна находиться в равновесии, чтобы сумма элементарных работ всех сил равнялась нулю. Такое определение этого принципа дается, например, в работе [13, с.171]: “Виртуальная работа заданных сил, приложенных к системе с идеальными связями и находящейся в равновесии, равна нулю”.
Точно такое же определение принципа возможных перемещений дается и Заммерфельдом [14, с.74]: “…виртуальная работа взятых в отдельности внешних сил равна нулю, если система, к которой они приложены, находится в равновесии”.
Математически принцип возможных перемещений представляется в виде:
,                                                                                (1)
где - скалярное произведение вектора силы и вектора виртуального перемещения. .
Возможно, такое расхождение в формулировках принципа возможных перемещений не имеет принципиального значения, но для решения этого вопроса необходимо выяснить сущность самого принципа. Надо сказать, что существующие обоснования этого принципа явно не убедительны, об этом мы уже говорили в §5 главы I. Рассмотрим подробнее, что же вызывает сомнение в обосновании принципа возможных перемещений.
Во-первых, непонятна сущность самих возможных (или виртуальных) перемещений. С одной стороны под возможными или виртуальными перемещениями понимаются произвольные бесконечно малые перемещения точек системы, удовлетворяющие наложенным на нее связям при фиксированном моменте времени, то есть виртуальные перемещения рассматриваются, по сути дела, как реальные перемещения. С другой стороны при таком же понимании виртуальных перемещений в ряде работ утверждается, что виртуальные перемещения не предполагают наличия движения системы под действием приложенных сил, что, наоборот, это как бы мысленное перемещение точек системы из данного положения в любое ближайшее положение, которое возможно для системы по условиям связей, взятых в рассматриваемый момент времени. Такой взгляд на сущность виртуальных перемещений излагается в работах [13, с.165], [14, с.71].
Есть также мнение, что виртуальные перемещения – это возможные перемещения тел при “замороженных” связях, но это все же не действительные перемещения [8, с.29-30].
В связи с вышеизложенным возникает вопрос: если возможные перемещения реальны, то почему их называют виртуальными и отличают от реальных, если же это просто мысленные перемещения, то есть фикция, а не какие-то действительные перемещения системы в пространстве, то можно ли использовать такие перемещения в уравнениях, характеризующих состояние материальных систем?
В этом заключается одна из главных проблем в понимании сущности принципа возможных перемещений.
Во-вторых, при доказательстве принципа возможных перемещений часть возможных (виртуальных) движений исключается, как, якобы, ограниченных геометрическими связями. Например, рассматривается движение точки по какой-либо поверхности под действием внешних сил (рис.1) и утверждается, что работа реакции связи R будет равна нулю, так как перемещение точки может быть только под прямым углом к этой силе. Однако, при этом почему-то забывается, что раз введена реакция R, то связь уже отброшена и не может препятствовать движению точки в любом направлении (принцип освобождаемости).
В-третьих, при доказательстве этого принципа принимается, что система внешних сил, действующих на тело, должна быть уравновешена. Но если система сил уравновешена, то и само тело в статических условиях должно находиться в равновесии. Тогда все входящие в уравнение равновесия силы можно умножать только на одно и то же перемещение, в то время как каждая сила умножается только на свое виртуальное перемещение . Почему?
В-четвертых, почему берутся элементарные работы, то есть работы сил на бесконечно малых, а не конечных перемещениях?
В-пятых, почему сумма элементарных работ должна равняться нулю? Ведь мы сообщаем движение системе, а для этого надо совершить какую-то работу, если даже система и находится в равновесии. Если же перемещение будет только мысленным, то есть фиктивным, то о каких работах можно говорить? Использование работ должно отражать какие-то реальные явления, но какие?
В-шестых, при выводе принципа возможных перемещений связи считаются идеальными, а тела абсолютно жесткими, тогда как таких связей и тел в природе не существует.
В-седьмых, принцип возможных перемещений лежит в основе общего уравнения динамики, когда внешние силы не уравновешивают друг друга. Об этом исключительном случае при доказательстве общего уравнения динамики предпочитают умалчивать. Действительно, нельзя же считать логичным доказательство, когда наряду с реальными силами используются фиктивные силы инерции пусть и на основании принципа Даламбера, от этого они не становятся более реальными.
Как видим, непонятных и необъясненных вопросов набралось достаточно много, откуда следует, что принцип возможных перемещений не имеет строгого обоснования. Тем не менее этот принцип с успехом используется при решении различных задач механики, что дает основание предполагать его физическую достоверность, то есть правильное отражение им объективной реальности.
Теперь попытаемся выяснить физическую сущность принципа возможных перемещений. Все рассмотренные выше проблемы будут сняты, если в основу этого принципа положить закон сохранения энергии. Действительно, при действии на любое тело системы уравновешенных сил, в число которых будут входить и реакции связей, вся подводимая к телу энергия в статических условиях будет взаимно компенсироваться, то есть сумма положительных и отрицательных составляющих всех энергий по осям координат должна равняться нулю. Единственное условие, которое при этом должно выполняться, это отсутствие потерь энергии на структурные превращения и нагрев. Вполне очевидно, что вся подводимая энергия будет затрачиваться на деформацию тела, а энергия со стороны связей должна быть отрицательной. Эту энергию можно считать поглощенной. Подобные задачи мы уже рассматривали во втором параграфе.
В общем виде условие компенсации всех подводимых к телу энергий в дифференциальной форме будет иметь вид:
,                                                                 (2)
где - подводимая к телу энергия, - энергия, приобретенная телом за счет его деформации. Так как упругие силы, возникающие при деформации тела, в статических условиях будут уравновешивать внешние силы, включая и реакции связей, а также будут взаимно уравновешиваться, выражение (2) должно равняться нулю. Поэтому его можно представить в виде:
,                                                                                        (3)
где - подведенная к телу энергия.
Преобразуем выражение (3), умножив и поделив каждый его член на :
,                                                                             (4)
где перемещение характеризует деформацию тела в направлении подведения каждой энергии .
Так как производная представляет собой силу , выражение (4) преобразуется к виду:
,                                                                                (5)
где - скалярное произведение двух векторов, характеризующее величину подведенной к телу энергии в направлении , или, можно сказать, что это будет работа, произведенная силой на перемещении .
Выражение (5) в целом характеризует алгебраическую сумму работ всех сил, действующих на тело (систему), которая равна всей подведенной к телу энергии с учетом знака отдельных энергий, это выражение полностью эквивалентно выражению (3). Только здесь в отличие от выражения (1) вместо какого-то мистического виртуального перемещения берется вполне реальное перемещение , представляющее собой деформацию тела в выбранном направлении.
В этом и заключается доказательство принципа возможных перемещений в статических условиях и выявляется его физическая сущность. Так как энергия подводится к телу и им потребляется, то это возможно только для деформируемых, а не абсолютно жестких тел. Поскольку нами ставится условие отсутствия потерь энергии, то деформации тела должна лежать в пределах упругости. Кроме того, направление перемещений может выбираться произвольно в соответствии с поставленной задачей, но все они должны быть увязаны друг с другом (см. §2).
Еще раз напомним, что выражение (5) будет справедливо только в статических условиях, когда тела или материальные системы находятся в покое, то есть не движутся, или движутся с постоянной скоростью.
Следует также отметить, что структура выражения (5) позволяет рассматривать элементарное перемещение как реальное перемещение всего тела или системы тел как единого целого в пространстве, причем знак работы силы определится относительным направлением действия силы и перемещения . В связи с этим, при решении статических задач механики с помощью принципа возможных перемещений, перемещение , обусловленное деформацией тел, психологически удобнее представлять как реальное перемещение всего тела в пространстве, считая его абсолютно жестким. Такое допущение не приведет к каким-либо ошибкам.
В качестве примера использования принципа возможных перемещений рассмотрим равновесие рычага под действием сил и (рис.2). Для решения задачи повернем рычаг на элементарный угол (понимая при этом, что в случае его равновесия такого перемещения не будет, а будет только изгиб плеч рычага под действием приложенных сил). Тогда условия равновесия в соответствии с принципом возможных перемещений будут иметь вид:
;                                                                       (6)
;                                                                     (7)
,                                                                     (8)
где
(9)
Перемещения же и для левого и правого плеч рычага будут одинаковыми для сил и , и , так как это будет общая для них деформация.
Из уравнений (6) и (8) получим:
;                                                             (10)
;                                                                          (11)
,                                                                        (12)
откуда найдем:
;                                                      (13)
;                                                                               (14)
(15)
Выражение (13) представляет собой правило рычага, известное еще Архимеду. Использование принципа возможных перемещений для доказательства правила рычага имеется также в работе [14, с.75].
На этом же примере можно объяснить, откуда возникло понятие момента силы и равенство моментов сил в случае равновесия тела:
,                                                                                      (16)
где
(17)
Принцип возможных перемещений лежит в основе общего уравнения динамики, что значительно расширяет сферу его использования, перенося ее на тела и системы, движущиеся с ускорением, то есть находящиеся под действием неуравновешенных внешних сил. Для этого в уравнение (5) вводятся силы инерции в соответствии с принципом Даламбера:
,                                                                 (18)
где - силы инерции.
И хотя силы инерции считаются фиктивными, принцип возможных перемещений прекрасно работает и в этом случае. Чем же это можно объяснить? Можно сказать, что силы инерции являются реальными силами, как это было доказано нами выше. Но они представляют собой реакции тел на внешнее воздействие, и их величина при прямолинейном движении тел равна в точности алгебраической сумме внешних сил, действующих на ускоренно движущееся тело. Поэтому выражение в круглых скобках в формуле (18) будет равно нулю. И поскольку силы инерции могут быть выражены через массу и ускорение тела, введение сил инерции в принцип возможных перемещений позволяет найти неизвестное ускорение. Это будет, так сказать, формальное обоснование общего уравнения динамики. Теперь дадим его обоснование с более строгих физических позиций, исходя из энергетических соображений.
Если на тело действует неуравновешенная система внешних сил, оно под действием этих сил будет двигаться ускоренно, при этом подводимая к телу энергия будет затрачиваться не только на его статическую деформацию при разнонаправленных действиях сил, но и на его движение, то есть перемещение в пространстве. Поэтому соотношение между затратами и потреблением энергии в дифференциальной форме будет характеризоваться следующим выражением:
,                                                            (19)
где - полная затрата энергии внешними силами, - часть подведенной энергии, затраченная на статическую деформацию, - часть энергии, затраченная на движение тела.
Имея в виду, что:
;
; (20)
,
где - результирующая сила от действия всех внешних сил, ds – элементарное перемещение в пространстве твердого тела, движущегося как единое целое в направлении действия силы , выражение (19) можно представить в следующем виде:
(21)
В этом выражении первый член ничем не отличается от левой части выражения (5), характеризующего принцип возможных перемещений в статических условиях. Второй член в соответствии со вторым законом Ньютона может быть выражен через массу и ускорение тела. Тогда выражение (21) примет вид:
(22)
Это выражение называется общим уравнением динамики.
Как видим, вводить силу инерции в общее уравнение динамики вовсе необязательно. Если же их использовать, то, поскольку сила инерции равна по величине движущей силе, но противоположно ей направлена, выражение (21) преобразуется к виду:
(23)
И здесь силу инерции можно рассматривать как силу, уравновешивающую действие всех внешних сил, в отличие от движущей силы, которая является их результирующей. Поэтому сила инерции относится нами к телу в целом, а не к каждой действующей внешней силе по отдельности.
Поэтому при введении в общее уравнение динамики сил инерции можно сказать, что это уравнение относится к системе уравновешенных сил. Теперь можно дать ответ на вопрос, поставленный нами выше при обсуждении сущности принципа возможных перемещений: что должно лежать в его основе – равновесие тела или равновесие сил? Вполне очевидно, что при использовании этого принципа для ускоренно движущихся тел главным является условие равновесия системы сил, приложенных к телу, с обязательным использованием сил инерции. Само же условие равновесия системы сил, как было показано выше, является следствием закона сохранения энергии, так как вся подведенная к нему энергия им поглощается. Поэтому условие равновесия сил и самого тела в принципе можно и не принимать во внимание, то есть не включать его в формулировку принципа возможных перемещений. Сам же принцип возможных перемещений можно сформулировать следующим образом:
–  Из закона сохранения энергии следует, что алгебраическая сумма работ всех внешних сил, действующих на тело, находящееся в покое или совершающее движение, а также реакций связей и силы инерции на любых элементарных перемещениях равна нулю, то есть:
,
где - внешние силы, в число которых входят и реакции внешних связей, - сила инерции, выражаемая через массу тела и его ускорение, - элементарные перемещения точек приложения сил, выбираемые по условиям задачи, - элементарное перемещение тела как единого целого в пространстве.
Такая формулировка принципа возможных перемещений, по сути дела, не дает ничего нового для его практического использования. Однако, здесь есть одна тонкость, которую не могли заметить раньше, поскольку не понимали действительную сущность этого принципа. Дело в том, что общее уравнение динамики будет справедливо только при действии на тело сил, не изменяющихся во времени, то есть при движении тела с постоянным ускорением. Это обстоятельство следует учитывать для твердых деформируемых тел, движущихся с переменным ускорением.
Чтобы понять, в чем тут дело, рассмотрим подробнее, что происходит с подводимой к реальному телу энергией. В качестве такого тела возьмем упругий стержень постоянного поперечного сечения (рис.3). Начнем с простейшего случая, когда тело под действием приложенных сил не движется. Тогда, вполне очевидно, что вся подводимая к телу энергия будет взаимно компенсироваться, за счет чего в теле возникнут упругие силы , действующие в теле в обе стороны. Потенциальная энергия деформации будет во все время действия сил одной и той же. В данном случае мы будем иметь дело с обычным принципом возможных перемещений.
Если тело под действием приложенных сил будет двигаться с постоянной скоростью, что возможно при взаимном уравновешивании внешних сил, вся подводимая к телу энергия также будет взаимно компенсироваться и будет затрачиваться на поддержание деформации тела, потенциальная энергия которой будет также постоянна. Этот случай практически ничем не отличается от предыдущего с точки зрения использования принципа возможных перемещений.
Когда тело начинает двигаться с постоянным ускорением, все его части приходят в движение не сразу, а постепенно в связи с конечной скоростью передачи движения от одной его частицы к другой, которая определяется выражением (1.4.16):
,
где E- модуль упругости первого рода, - плотность материала, из которого сделано тело. Поэтому движение противоположного конца тела начнется только через некоторое время , которое определяется выражением (1.4.10):
,
где - начальная длина стержня.
По истечении этого времени все частички тела начнут двигаться с постоянным ускорением, а деформация тела и приобретенная им потенциальная энергия будут оставаться одними и теми же. Здесь мы будем иметь дело с принципом возможных перемещений в форме общего уравнения динамики.
И, наконец, возьмем последний случай, когда тело будет двигаться с переменным ускорением под действием переменных во времени сил. Рассмотрим для примера внешнюю силу, изменяющуюся по линейному закону в функции времени (рис.4). Будем считать, что энергия подводится к телу с левого конца (см. рис.3). Благодаря задержке передачи деформации (движения) во времени, движение правого конца тела начнется тогда, когда движущая сила будет больше первоначального значения , при котором начали двигаться частицы с левой стороны тела. Движение правого конца тела будет соответствовать первоначальному значению силы . Тогда получается, что часть подводящейся к телу энергии будет затрачиваться не на движение тела, а на его дополнительную деформацию. И так будет происходить во все время движения тела, пока на него действует переменная движущая сила, причем время задержки движения будет зависеть от размеров тела в направлении движения .
В соответствии со сказанным закон сохранения энергии в дифференциальной форме для этого случая должен иметь вид:
,                                   (24)
где - энергия, подводимая к телу, - энергия движения тела, - энергия, идущая на поддержание статической деформации, - энергия, затрачиваемая на дополнительную деформацию.
После деления и умножения каждой энергии на соответствующее значение ds выражение (24) преобразуется к виду:
,                         (25)
где - разность движущих сил, обусловленная временем передачи движения (см.рис.4) от одного конца тела до другого его конца по направлению движения.
Выражение (25) можно представить в другом виде, позволяющем лучше понять его физический смысл, для чего надо силу инерции заменить произведением массы тела на его ускорение. Тогда получим:
(26)
Из этого выражения следует, что величина движущей силы, сообщающей телу ускорение a, будет меньше результирующей силы от всех внешних сил, приложенных к телу, или, можно сказать, что величина ускорения, с которым буде двигаться  деформируемое тело, будет меньше, чем для недеформируемого тела при действии на них одних и тех же сил. И это все будет обусловлено дополнительным потреблением энергии на деформацию тела при действии на него переменных во времени сил. Ниже будет рассмотрено несколько примеров на применение этого уравнения.
Силу можно назвать дополнительной силой инерции, так как она является упругой силой, связанной с деформацией тела. Но эта сила инерции не связана с ускорением движения, так же, например, как упругие силы при двустороннем сжатии тела. Величина этой силы будет равна разности между движущей силой, определяемой ускорением удаленного конца тела, и результирующей силой, действующей на ведущий конец тела. Тогда выражения (25) и (26) могут быть представлены в виде:
;                                              (27)
(28)
Таким образом, мы получили более точное общее уравнение динамики в форме выражения (25), в котором учитывается изменение сил во времени. Это стало возможным потому, что мы рассматриваем тела не как абсолютно жесткие, а как деформируемые.
В соответствии с выражением (25) можно дать следующую формулировку принципа возможных перемещений:
–  Из закона сохранения энергии следует, что алгебраическая сумма работ всех внешних сил, действующих на тело, а также реакций связей, силы инерции и силы добавочной деформации, обусловленной конечной скоростью передачи движения в твердом теле и его размерами, на любых элементарных перемещениях равна нулю.
При этом надо иметь в виду следующие условия:

  • Рассматривается движение твердого деформируемого тела, а не материальной точки или системы материальных точек.
  • Деформация тела не должна выходить за пределы упругости, иначе часть энергии, подводимой к телу, будет затрачиваться на структурные преобразования и нагрев.
  • При исследовании статического равновесия тел должен использоваться только первый член выражения (25).
  • При исследовании движения тела с постоянным ускорением должны использоваться только два первых слагаемых выражения (25).
  • При исследовании движения тела с переменным ускорением уравнение (25) используется полностью.
  • Время передачи движения определяется по формуле , где - начальная длина тела в направлении его движения, - скорость распространения движения в твердом теле, Е – модуль упругости первого рода, - плотность материала тела.
  • Для прямолинейного движения тел всегда будет иметь место уравновешивание всех указанных сил, а для вращательного движения – уравновешивание моментов от всех этих сил, причем эти условия могут выполняться как по отдельности, так и в совокупности, то есть тело может одновременно совершать как прямолинейное движение вместе с центром масс, так и вращательное движение вокруг центра масс.

Теперь рассмотрим примеры на применение принципа возможных перемещений при движении тела с переменным ускорением и оценим, какое влияние на это движение окажет его дополнительная деформация.
Пример первый. На тело действует сила, изменяющаяся по линейному закону:
,                                                                                    (29)
где - время, k – коэффициент пропорциональности, - начальное значение силы.
При такой постановке задачи все элементарные перемещения ds в уравнении (25) будут одинаковы, поэтому они сокращаются. Сила инерции выражается через ускорение движения тела:
,                                                                                      (30)
а сила добавочной деформации определяется с помощью выражения (29) (см. рис.4):
(31)
Именно на эту величину будет меньше движущаяся сила, действующая на правый конец тела и сообщающая ему ускорение а. Работа силы будет затрачиваться на дополнительную деформацию тела.
В результате с помощью выражения (25) получим уравнение движения тела:
(32)
В качестве начальных при примем условия:
(33)
Интегрируя уравнение (32), получим:
(34)
Используя начальное условие , найдем постоянную интегрирования :
(35)
Тогда скорость движения тела при будет равна:
(36)
Перемещение тела найдем, проинтегрировав выражение (36):
(37)
Учитывая начальное условие , найдем постоянную интегрирования :
(38)
В результате перемещение s определится выражением:
(39)
При выражения (36) и (39) будут характеризовать скорость и перемещение абсолютно жесткого тела, когда будут отсутствовать затраты энергии на деформацию. Ясно, что в этом случае выражения для скоростей и перемещений будут приближенными, причем погрешность будет тем больше, чем больше будет время передачи движения от одного конца тела к другому.
Пример второй. Пусть на тело действует сила, изменяющаяся по гармоническому закону:
,                                                                                 (40)
где - ее амплитудное значение, - круговая частота ее изменения.
Уравнение движения с учетом деформации тела будет иметь вид:
(41)
Решением этого уравнения будут следующие выражения для скорости и перемещения тела:
;                                                       (42)
(43)
Таким образом, между точным и приближенным решениями будет разница, обусловленная сдвигом по фазе:
(44)
в сторону отставания.
Следует отметить, что в случае уменьшения внешней силы дополнительная энергия деформации будет препятствовать уменьшению ускорения, скорости и перемещения при движении тела.
Теперь следует отметить, что из принципа возможных перемещений в форме уравнения (23) вытекает принцип Даламбера. Действительно, так как сила инерции, как было показано выше, уравновешивает результирующую силу от всех внешних сил, действующих на тело, можно записать:
,                                                                            (45)
где , а сила инерции относится ко всему телу в целом.
В одной из современных формулировок принцип Даламбера имеет следующий вид [5, с.81]: “Если к каждой точке материальной системы, кроме равнодействующей заданных сил и реакций связей, приложить еще силу инерции этой точки, то уравнениям динамики можно придать форму уравнений статики”.
Интересно отметить, что сам Даламбер о силах инерции ничего не говорил. В “Физической энциклопедии” [15, с.555] так трактуется сущность принципа, разработанного Даламбером: “Даламбера принцип – один из основных принципов динамики, согласно которому приложенные к точкам материальной системы “задаваемые” (активные) силы могут быть разложены на “движущие” силы, то есть силы, сообщающие точкам системы ускорения, и на “потерянные” силы, которые уравновешиваются противодействиями (реакциями) связей.
Для свободной материальной точки задаваемая сила равна движущей силе , где m – масса точки, - полученное ею ускорение. Существенно новым в принципе Даламбера является указание на то, что для несвободной точки задаваемая сила не равна движущей и что для каждой i-й точки несвободной системы
,                                                                             (1)
где - потерянная сила. Так как потерянная сила уравновешивается реакцией связи , то или . Тогда уравнениям (1) можно придать вид
(2)
В дальнейшем (нач. 19 в) величину стали именовать силой инерции материальной точки и представлять уравнения (2) в виде
(3)
Равенства (3) приводят к другой формулировке принципа Даламбера: если к действующим на точки материальной системы заданным (активным) силам и реакциям связей присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней будут применимы все уравнения статики”.
Общее уравнение динамики считается результатом обобщения принципа возможных перемещений и принципа Даламбера и называется принципом Даламбера-Лагранжа [15, с.556]: “Даламбера-Лагранжа принцип – один из основных принципов механики, устанавливающий важное свойство движения механических систем с любыми идеальными связями и дающий общий метод решения задач динамики (и статики) для этих систем. Даламбера-Лагранжа принцип можно рассматривать как соответствующее обобщение Даламбера принципа и возможных перемещений принципа.
Математически Даламбера-Лагранжа принцип выражается равенством, которое называется также общим уравнением механики:
,                         (1)
где - векторы возможных перемещений точек системы, а и означают символически соответственно элементарные работы активных сил и сил инерции”.
Как видно из цитаты о принципе Даламбера в нем сперва речь шла о потерянных силах, а не о силах инерции. Чтобы лучше понять, в чем заключается сущность потерянных сил, рассмотрим пример из книги [5, с.77-79]: “Пусть М – любая точка несвободной материальной системы (рис.5); обозначим через равнодействующую всех заданных сил, приложенных к этой точке. Если бы точка была свободной, то под действием силы она получила бы ускорение , причем ; но так как эта точка связана с другими точками или телами, то ее фактическое ускорение отличается от ускорения свободного движения; силу , определяемую формулой , будем называть “двигательной силой” – это сила, которая необходима для сообщения точке М того ускорения , с которым она движется. Разложим заданную силу на две составляющие силы по закону параллелограмма, причем так, чтобы одной из них была сила - этим вполне определяется величина и направление второй составляющей , которую будем называть “потерянной силой”; смысл этого термина мы вскоре объясним. Таким образом, имеем:
(4.1)
Если бы потерянная сила равнялась нулю, то мы имели бы , откуда , то есть в этом случае точка двигалась бы точно так же, как если бы она была свободной. Следовательно, наличие потерянной силы (то есть несовпадение фактического ускорения точки с ее ускорением в свободном движении) объясняется наличием связей системы. Так как ускорение, с которым движется точка, сообщается ей двигательной силой, то потерянная сила не сообщает точке ускорения – но это возможно только в том случае, когда к нашей точке приложена еще некоторая дополнительная сила , обусловленная наличием связей и равная и противоположная потерянной силе , то есть мы должны иметь:

Таким образом, двигательная сила и потерянная сила играют различные роли: сила сообщает точке то фактическое ускорение, с которым точка движется; потерянная сила названа так потому, что она не нужна для сообщения точке ускорения – его, как было сказано, сообщает двигательная сила; роль потерянной силы иная – она раскрывается в формулировке принципа Даламбера, близкой к той, которая дана самим Даламбером: в каждой точке материальной системы геометрическая сумма потерянной силы и дополнительной силы , появляющейся в результате наличия связей, равна нулю:
(4.2)
Что же нового внес Даламбер своим принципом в динамику несвободных систем? Нетрудно видеть, что его формулировка – по крайней мере для тех простейших, физически реализуемых связей, которые он рассматривал, - эквивалентна принципу освобождаемости: для того, чтобы несвободная материальная система двигалась таким образом, что при ее движении выполнялись некоторые дополнительные ограничения, налагаемые ее связями, надо к каждой точке системы приложить, кроме заданных сил, некоторую дополнительную силу. С математической точки зрения из равенств (4.1) и (4.2) вытекает основное уравнение движения

точки несвободной материальной системы”.
Следует заметить, что принцип, введенный Даламбером, был назван “принципом потерянных сил” другими учеными. Сам же Даламбер говорил о потерянных движениях, так как он хотел построить механику без учета сил, считая, что в основе всех взаимодействий лежит движение материи [16, с.193]: “Он отрицательно относился к системе механики Ньютона, основанной на принципе ускоряющих сил. Даламбер говорил, что он “опирается только на расплывчатое и неясное положение, что действие пропорционально своей причине…”, он “в механике бесполезен, и потому он должен быть из нее исключен”. Понятие силы должно быть вообще исключено из механики, где следует основываться только на понятии движения. “Читатель не должен удивляться, - говорит Даламбер, - если я, исходя из этих соображений, так сказать, игнорирую “движущие причины” и рассматриваю исключительно движение, которое производится ими”.
Даламбер отмечает, что слово “сила” он будет употреблять исключительно для простого обозначения произведения массы на элемент ее скорости (то есть приращения скорости или дифференциала скорости); “под ускоряющей же силой мы будем понимать просто элемент скорости”.
Поэтому Даламбер не считал второй закон Ньютона основным законом механики. В основе механики, по его мнению, лежат три основных положения: закон инерции, закон сложения движений и принцип равновесия”.
В современной форме принцип Даламбера впервые приведен в курсе механики Делоне, вышедшем в 1856 году [5, с.81]. В нем вводится векторная величина:
,
которая названа силой инерции. В таком случае потерянная сила может быть найдена по формуле:
,
а равенство , выражающее принцип Даламбера, может быть записано в такой форме:
,
что и соответствует современной форме ее записи.
Принцип возможных перемещений впервые был сформулирован Иоганном Бернулли в 1717 году [16, с.196]: “Тело, на которое действуют любые силы, находится в равновесии, если сумма положительных энергий равна сумме отрицательных энергий. При этом под энергией понимается произведение силы на проекцию перемещения на направление силы. Это произведение имеет положительный знак, если направление проекции совпадает с направлением действия силы, и отрицательный знак, если они противоположны”.
Лагранж формулирует принцип возможных перемещений в виде принципа виртуальных скоростей [16, с.196]: “Если какая-либо система любого числа тел или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, к которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными”.
Этот принцип Лагранж записывает в виде математического выражения:
,
где P, Q, R, … - приложенные к механической системе силы, а dp, dq, dr, … - элементарные перемещения точек приложения сил.
Затем Лагранж составляет “общую формулу динамики”, приравнивая действие (работы) внешних сил и сил, им обратных, выражаемых через ускорения, возникающие под действием внешних сил [15, с.197]:

где P, Q, R, … - силы, отнесенные к единице массы, поэтому в правой части и появляется множитель .
Из приведенных цитат следует, что принцип Даламбера долгое время не связывался с силами инерции. Введение же сил инерции было формальным без достаточного осмысления сущности этой операции. Такое формальное введение сил инерции (кстати, а почему выражение назвали силой инерции?) дает основание утверждать, что этих сил нет вообще, что к телам они прикладываются условно, чтобы их, опять таки условно, уравновесить, что это сила, с которой ускоряемое тело действует на ускоряющее тело. Такая позиция в чистом виде излагается в работах [17, 18]. Другие позиции в отношении сил инерции были изложены выше.
Суть же принципа Даламбера, как это следует из выражения (21) (и о чем говорил Лагранж) достаточно проста: оба члена здесь представляют собой одну и ту же величину, а именно работу движущей силы, только представленной в разных формах. Так как перемещение ds для одной и той же силы будет одно и то же, то из выражения (21) получается математическое тождество:
,                                                                                         (46)
которое затем преобразовывается следующим образом:
;                                                                                 (47)
,                                                                                 (48)
где .
Еще раз напомним, что называть движущую силу, взятую со знаком минус, силой инерции вовсе не обязательно, хотя и можно. По крайней мере смысл принципа Даламбера был бы более очевидным и тогда с его помощью не объясняли бы физическую сущность сил инерции.
В связи с вышеизложенным принцип Даламбера можно было бы сформулировать следующим образом:
–   Силу, приводящую тело в движение, можно представить двумя способами: как результирующую всех сил, действующих на тело , включая и реакции связей, и через приобретаемое телом ускорение. Приравняв эти выражения движущей силы, можно найти неизвестные силы. При наличии вращательного движения необходимо учесть моменты сил.
Что касается принципа возможных перемещений, то, как это ни странно, самым правильным по смыслу было его первое определение, данное Иоганном Бернулли в 1717 году, поскольку в нем говорится о подведенных к телу энергиях с учетом их направления. Что касается формулировки Лагранжа, то, как видно из всего вышеизложенного, в дальнейшем она мало изменилась, а суть этого принципа еще более затуманилась.
Таким образом, силы инерции представляют собой силы, противодействующие движущим силам. И если при использовании принципа Даламбера они вводятся как бы условно, то это еще не значит, что их нет на самом деле. Не надо только забывать, что всякая движущая сила испытывает реальное сопротивление со стороны движущегося тела. В современных условиях о реальности сил инерции можно было бы догадаться, даже не зная их физической сущности, если вдуматься в сущность силового расчета механизмов, который проводится в теории механизмов и машин. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
При силовом расчете определяются реакции между звеньями в кинематических парах, то есть в местах их подвижного соединения. При этом используются силы инерции, которые определяются через известные ускорения точек звеньев. Использование сил инерции обосновывается принципом Даламбера, который в теории механизмов принято называть кинетостатическим методом. Необходимость применения принципа Даламбера объясняется просто: силы инерции необходимо прикладывать к звеньям механизма для того, чтобы перевести его в состояние равновесия, ведь только тогда можно использовать уравнения статики для определения неизвестных сил, то есть реакций в кинематических парах. Но поскольку силы инерции считаются фиктивными, да к тому же механизм движется, а вовсе не находится в равновесии, то в формулировке кинетостатического метода добавляют, что механизм как бы находится в равновесии. Это значит, что использование сил инерции при силовом расчете механизмов является искусственным приемом, вследствие чего можно высказать сомнение о правомерности их использования. Действительно, на каком основании можно использовать фиктивные силы для определения вполне реальных сил, действующих между звеньями механизма? Причем эти силы могут быть найдены экспериментально, поскольку современные методы измерения сил разработаны достаточно хорошо. Правда, на величину реакций в кинематических парах будут оказывать влияние и зазоры между звеньями в этих парах, и упругие свойства звеньев, и трение между ними. Но, тем не менее использование сил инерции дает достаточно хорошее совпадение рассчитанных сил с реальными силами, действующими в механизмах. На это обстоятельство почему-то не обращают внимания ни сторонники реальности сил инерции, ни их противники. Разберемся с этим вопросом на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис.6).
На рис.6 показаны кинематическая схема механизма, план скоростей и план ускорений. При построении планов скоростей и ускорений угловая скорость ведущего звена считается постоянной за все время его движения. Следует заметить, что скорости и ускорения различных точек звеньев механизма могут быть найдены потому, что механизм является совокупностью звеньев, или, как говорят, кинематической цепью вынужденного движения, а это значит, что движение ведущего звена заставляет двигаться вполне определенным образом все остальные звенья механизма. Таким образом, зная характер движения ведущего звена, мы сможем найти законы движения всех звеньев механизма. Метод построения планов скоростей и ускорений мы рассматривать не будем. Желающие могут ознакомиться с ним по любому учебнику по теории механизмов и машин или по теоретической механике.
На схеме механизма показаны ускорения центров масс второго и третьего звеньев и , перенесенные с плана ускорений, а также угловые ускорения самих звеньев и .
При силовом расчете необходимо учитывать все силы, действующие на звенья механизма. Мы здесь учтем только веса второго и третьего звеньев и , приложенных в их центрах масс и , и силу сопротивления , приложенную в точке С. Момент движущих сил нам не известен, его величину мы найдем из силового расчета.
При силовом расчете механизмов из них выделяются кинематические цепи, называемые группами Ассура, которые являются статически определимыми, то есть их использование позволяет найти неизвестные силы, действующие на звенья этих групп. Число звеньев, входящих в группу Ассура, должно быть обязательно четным. Для рассматриваемого механизма группа Ассура состоит из второго и третьего звеньев (рис.7).
Поскольку группа Ассура выделяется из механизма и связи между звеньями при это нарушаются в точках В и С, то для замены действия отброшенных звеньев (первого и четвертого) на данную группу Ассура вводятся соответствующие реакции: , величины и направления которых нам не известны.
Для определения неизвестных сил по принятой методике используются силы инерции, направленные против ускорений: , величины которых определяются по известным формулам:
(49)
где и - массы звеньев, и - моменты инерции звеньев относительно их центров масс. Линейные и угловые ускорения находятся с помощью плана ускорений по формулам:
(50)
где - масштабный коэффициент, определяемый по формуле:
(51)
Для удобства силового расчета инерционные моменты и представляются в виде пары сил, равных по величине силам инерции и :
,                                                             (52)
где плечи и находятся из соотношений (52). После этого силы инерции и пары сил могут быть заменены одной силой соответственно и :, приложенных в точках К2 и К3.
Так как считается, что использование сил инерции приводит механизм в состояние равновесия, то составляются уравнения статики в виде следующих соотношений (см. рис.7):
(53)
(54)
(55)
Сперва из уравнений (54) и (55) находятся составляющие реакций и , а затем графическим методом решается уравнение (53), откуда определяются составляющие реакции и (см. рис.8). Таким образом, неизвестные реакций и полностью определяются. Для определения реакции в шарнире С следует рассмотреть равновесие одного из звеньев,
второго или третьего.
Из приведенного силового расчета ясно видно, что силы инерции прямо влияют на величину сил, действующих на звенья механизма. Тогда как же быть с их фиктивностью?
Суть данного силового расчета будет лучше понятна, если его проводить без использования сил инерции (рис.9). Для этого можно рассуждать следующим образом. Поскольку известны направления и величины ускорений в прямолинейном поступательном движении звеньев вместе с их центрами масс и угловые ускорения во вращательном движении звеньев вокруг их центров масс, которые в соответствии со вторым законом Ньютона зависят от величины результирующих всех сил и результирующих всех моментов, действующих на звенья, входящих в группу Ассура, то нам известны величины этих сил и моментов для каждого из звеньев:
;                                                     (56)
,                                                   (57)
где n- число действующих на звено сил, q – число моментов от всех сил относительно точки С и других моментов, действующих на рассматриваемое звено.
На рис.9 показаны движущие силы и моменты, действующие на звенья. Как следует из приведенных формул величины движущих сил и моментов могут быть выражены двумя способами: через все действующие на звенья силы и через результат действия этих сил, то есть через линейные и угловые ускорения. Так как ускорения нам известны, из приведенных уравнений можно найти неизвестные силы, принимающие участие совместно с другими силами в создании известных нам ускорений. Такими неизвестными силами является реакция в кинематических парах механизмов.
Таким образом, как видим, при силовом расчете можно обойтись без использования сил инерции и не приводя механизм в состояние непонятного равновесия. В этом случае можно рассматривать механизм в его движении, тем более, что все силы, действующие на механизм, по сути дела, являются мгновенными, то есть справедливыми только для данного его положения.
Как уже отмечалось выше выражения (56) и (57) могут быть представлены и в другом виде:
;                                                                          (58)
(59)
или
(60)
(61)
где и можно назвать (а можно и не называть!) силами инерции.
Их величины определяются выражениями:
;                                                                                     (62)
,                                                                                     (63)
то есть они равны по величине движущим силам и моментам, но направлены в противоположную сторону.
Отсюда следует, что если вводить силы инерции, то их следует считать реальными, так как суть силового расчета от их введения не изменяется.
Рассмотрение данного примера является одним из доказательств реальности сил инерции, приводимых в данной книге. На наш взгляд, это является достаточно убедительным обоснованием реальности сил инерции, однако, не раскрывающим их физической сущности.


Подводимые к телу энергии, вызывающие статическую деформацию, направлены навстречу друг другу и поэтому взаимно компенсируются.

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации