§11. Взаимодействие вращающихся цилиндров через посредство среды

В девятом параграфе было рассмотрено взаимодействие прямолинейно движущихся тел через посредство окружающей среды и объяснена физическая сущность этого взаимодействия. То же самое будет происходить и с вращающимися телами- между ними возникнут силы взаимодействия, обусловленные взаимодействием создаваемых ими полей кинетической энергии. Правда, как мы скоро увидим, картина взаимодействия этих полей будет значительно сложнее, характер ее будет зависеть как от скорости и направления относительного вращения тел, так и от их размеров, а также от физических свойств среды. Для упрощения расчетов будем рассматривать только взаимодействие твердых тел ци­линдрической формы.
Рассмотрим сначала наи­более простой случай взаи­модействия двух од­инаковых цилинд­ров, вращающихся в разные стороны с одинаковыми ско­ростями (рис. 1). Всю картину взаи­модействия полей кинетической энер­гии можно разде­лить границей раз­дела на две сим­метричные части, каж­дая из которых будет относиться к своему цилиндру, причем, на гра­нице раздела кинетические эне­ргии частиц среды для обоих полей будут иметь одинаковое значение. Эта граница определит и области среды, в пределах которых действуют силы со стороны среды на цилиндры.
Поскольку поля скоростей и кинетических энергий считаются нами независимыми друг от друга, части полей цилиндров, переходящие в другую область за границу раздела, также окажут воздействие  на другое тело. Как уже отмечалось выше, дополнительное поле будет представлять собой поле потенциальной энергии, при встречном движении полей возникнет также динамическое давление на поверхности вращающихся цилиндров. В зависимости от направления движения основного и дополнительного полей величина полей кинетической и потенциальной энергий будет различной, поэтому область взаимодействия, относящуюся к рассматриваемому цилиндру, можно разбить на несколько частей. На рисунке 1 для первого цилиндра показано пять таких частей (в силу симметричности области относительно межцентрового расстояния рассматриваем только половину области в пределах изменения угла j от 0 до p, в связи с чем в расчетные формулы будет введен дополнительный множитель, равный двум). Для частей I и II  скорости основного и дополнительных полей расположены под углом y, меньшим 900, для остальных частей угол y будет больше 900. Границей между этими частями будет окружность радиуса l/2 с центром посреди межцентрового расстояния l. Области этих частей ограничиваются соответственно следующими координатами:
I участок: 
II участок:
III участок: (1)
IV участок:
V участок:
где угол определяется выражением (см. рис. 1):
(2)
В соответствии с этими участками силы взаимодействия будут определяться следующими полями кинетических и потенциальных энергий:
I участок: 
II участок: 
III участок:  (3)
IV участок: 
V участок: 
где
;                                                                              (4)
;                                                                             (5)
(6)
Здесь: - плотность среды, h- длина цилиндра.
Целесообразно рассмотреть несколько вариантов законов распределения скоростей частиц среды, где в общем виде эти зависимости могут быть представлены следующим образом:
;                                                                            (7)
,                                                                         (8)
где
(9)
Здесь: и - окружные скорости на поверхностях цилиндров, и - радиусы цилиндров, h- длина цилиндров, m- показатель степени, определяемый опытным путем.
Найдем силы, действующие на элементарную частицу, для полей кинетической и потенциальной энергий, взяв производные по от выражений (4) и (5):
;                                                         (10)
(11)
Здесь производная от потенциальной энергии взята со знаком минус.
Проекции этих сил на межцентровое расстояние будут равны:
;                                                                         (12)
(13)
Полные же проекции действующих на поверхность цилиндра в межцентровом направлении сил определятся интегралами от выражений (12) и (13):
(14)
,(15)
где и - верхняя и нижняя угловые границы соответствующей части взаимодействующих полей, и - границы участков в радиальном направлении.
Обозначив:
;                                                                       (16)
,                                                                          (17)
представим выражения (14) и (15) в виде:
;                               (18)
(19)
Преобразуем выражения (18) и (19) в соответствии с выделенными участками. Для силы будем иметь выражения:
;    (20)
;     (21)
;   (22)
;       (23)
(24)
Приведенные выражения определят суммарную силу в виде:
(25)
Так как первый интеграл в выражении (25) будет равен нулю, суммарная сила будет равна:
(26)
Значения интеграла в выражении (26) зависит от величины коэффициента m, которое будет приниматься равным 1, 1,5, и 2. Тогда интеграл в выражении (26) будет иметь соответствующие значения:
1) ;                                                                               (27)
2) ;                                                                (28)
3) ,                                                          (29)
а сила с учетом выражения (16) будет равна:
1) ;                                                        (30)
2) ;                                                    (31)
3) ;                                                 (32)
Значения силы также будут зависеть от коэффициента m. При m=1 интеграл по r в выражении (15) будет иметь вид:
(33)
В соответствии с этим для силы получатся следующие выражения:
(34)
(35)
(36)
(37)

(38)
В формулах (36)-(38) поставлен множитель равный трем, так как осевая сила, в соответствии с выражением (3), определяется утроенным значением потенциальной энергии на этих участках:
Результирующая сила определится суммой сил на всех участках.
Кроме сил и  на IV и V участках будут действовать силы от динамического давления, которое определяется выражением:
(39)
Проекция от элементарной силы, определяемой этим давлением, на межосевое расстояние будет равна:
(40)
Сама же сила от динамического давления на IV и V участках определится выражениями:
;            (41)
(42)
Полная осевая сила определится суммой трех сил:
,                                                               (43)
взятых с соответствующими знаками.
Интегралы в приведенных выражениях рассчитываются численными методами. При этом следует учитывать, что подынтегральные выражения при и имеют особенности в виде неопределенности 0/0. Для раскрытия этих неопределенностей следует взять интегралы в выражении (15), приняв и . В результате получим:
;      (44)
,           (45)
причем при расчетах выражение (45) надо умножить на 3, так как учитывается три энергии .
Теперь рассмотрим взаимодействие оди­наковых цилиндров, вращающихся в одну и ту же сторону с одинаковыми скоростями (рис. 2). Линия раздела полей в этом случае про­ходит так же, как и в пре­дыдущей задаче, и об­ласть пространства, относящаяся к пер­вому цилиндру, де­лится на такие же части. Разница бу­дет только в со­четании полей ки­нетической и по­тенциальной энергий:

I участок ;
II участок ;
III участок ;                                    (46)
IV участок ;
V участок
Сравнивая выражения (3) и (46), можно прийти к выводу, что силы, действующие на первый цилиндр, могут быть представлены уже полученными нами выражениями. Так, кинетической энергии будет соответствовать сила , определяемая выражением (30), для кинетических же и потенциальных энергий можно использовать выражения (34-38) за исключением множителей перед ними. Так, в выражения (34) и (35) следует ввести множитель три, а в выражениях (36-38) множитель три заменить единицей. Тогда силы будут представлены в виде:
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
Кроме указанных сил на цилиндр будет действовать сила, обусловленная динамическим давлением на участках I и II:
;  (52)
(53)
Подынтегральные функции в выражениях (47) и (51) при и будут определяться выражениями (44) и (45), только первое из них надо умножить на 3.
Теперь найдем силу при коэффициенте m, равным 1,5. В этом случае интеграл по r в выражении (15) будет равен:
(54)
Силы на различных участках при вращении цилиндров в разные стороны в соответствии с этим выражением определятся следующим образом:
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
На IV и V участках на цилиндры будут действовать также силы от динамического давления:
;       (60)
(61)
При определении интегралов в данных выражениях численными методами подынтегральные функции при и определятся с помощью выражения (15):
(62)
(63)
причем оба этих выражения надо умножить на три, так как все интегралы умножены на коэффициент , имеющийся в выражении (15), второе же выражение надо еще умножить на три, так как на V участке берется три кинетических энергии .
При вращении цилиндров в одну сторону сила определится следующими выражениями:
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
На I и II участках на цилиндры будут действовать также силы от динамического давления:
;       (69)
(70)
При и подынтегральные функции определятся выражениями (62) и (63), первое из которых надо будет умножить на 9, а второе на 3.
Рассмотрим еще взаимодействие цилиндров при . В этом случае интеграл по r в выражении (15) будет иметь вид:
(71)
Силы на выделенных участках при вращении цилиндров в разные стороны в соответствии с выражением (71) определятся следующим образом:
(72)
(73)
(74)
(75)
(76)
На IV и V участках на цилиндры будут действовать силы от динамического давления:
;          (77)
(78)
При определении интегралов численными методами подынтегральные функции при и определятся с помощью выражения (15):
(79)
(80)
Полученные выражения надо умножить на 4, так как все интегралы умножены на коэффициент , имеющийся в выражении (15), и кроме этого выражение (80) надо еще умножить на 3 в связи с использованием тройного значения кинетической энергии .
При вращении цилиндров в одну сторону выражения для осевой силы будут иметь вид:
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)
На I и II участках на цилиндры будут действовать силы от динамического давления:
;           (86)
(87)
Подынтегральные функции при и в этом случае определяются выражениями (79) и (80), только первое из них должно быть умножено на 12, а второе на 3.
Результаты расчетов по приведенным выше формулам представлены на рис. 3. Кривые на рисунке характеризуют изменения коэффициента , учитывающего все действующие на цилиндр силы, в функции отношения для различных значений показателя степени m и в зависимости от направления их относительного вращения. При использовании этого коэффициента расчетные формулы для определения результирующей силы могут быть представлены в виде:
;                                                       (88)
;                                                 (89)
(90)
Интересно отметить, что при m=1 притяжение сменяется отталкиванием, и наоборот, при изменении расстояния между цилиндрами. Следует при этом напомнить, что значения показателя степени m не могут выбираться произвольно, их необходимо определять экспериментально, так как теоретические значения, как отмечалось выше, не могут считаться полностью достоверными. При остальных же значениях m притяжение или отталкивание зависят от направления относительного вращения цилиндров: при вращении в разные стороны они притягиваются, при вращении в одну сторону - отталкиваются, точь в точь как положительно и отрицательно заряженные тела. Это свойство мы используем ниже при рассмотрении взаимодействия заряженных микрочастиц. В таблице 1 приведены значения коэффициентов , полученные в результате расчета приведенных выше формул.

В формулах (88-90) выражение может быть представлено в другом виде:
(91)
Здесь комплекс представляет собой гидродинамическое давление , а - продольное осевое сечение цилиндра. Если использовать такое представление формулы (88-90) будут иметь вид:
;                                                           (92)
;                                                      (93)
(94)
Таким образом мы рассмотрели наиболее простую задачу взаимодействия двух одинаковых цилиндров, вращающихся с одинаковыми скоростями. При этом картины взаимодействующих полей для обоих цилиндров получаются симметричными. Однако, могут быть и более сложные случаи взаимодействия между различными цилиндрами, вра
щающимися с разными угловыми скоростями. Рассмотрим такую задачу (рис. 4).
Сначала найдем границу раздела полей кинетической энергии и , которая будет характеризоваться равенством этих энергий. Поскольку в соответствии с выражениями (4) и (5):
;
,
где
,
из условия равенства энергий получаем:
(95)
Решим это уравнение относительно радиуса , для чего извлечем корень степени m из правой и левой частей. В результате преобразований получим квадратное уравнение:
,(96)
где - расстояние от центра первого цилиндра до границы раздела. Решением этого уравнения будет выражение:
(97)
Вычисления показывают, что конец вектора при изменении угла описывает окружность с центром в точке С. Найдем радиус этой окружности и положение точки С (координату ). Для этого воспользуемся соотношениями:
;                                                                                   (98)
,                                                                                   (99)
где является максимальным радиусом при и при положительном значении корня в выражении (97), а - минимальным радиусом при и при отрицательном значении корня.
Решая совместно уравнения (98) и (99), получим:
,                                                                            (100)
где
;                                    (101)
(102)
В результате будем иметь:
(103)
Расстояние можно определить из соотношения:
(104)
Взаимное расположение цилиндров и окружности радиуса примерно показано на рис. 4, причем предполагается, что имеет место соотношение:
(105)
или, что то же самое:
(106)
При таком расположении окружности радиуса положение касательной к ней определяется углом , который может быть найден через его синус (см. рис. 4):
(107)
Используя полученные выражения, расстояние до границы раздела можно представить и в таком виде:
(108)
В соответствии с рис. 4 можно выделить следующие участки взаимодействующих полей цилиндров:
I участок: (корень со знаком минус);
II участок:
III участок: (109)
IV участок:
где
Соотношение полей кинетической и потенциальной энергий зависит от направления относительного вращения цилиндров. При вращении цилиндров в разные стороны будет:
I участок: 
II участок: 
III участок:  (110)
IV участок: 
При вращении цилиндров в одну сторону получим:
I участок: 
II участок: 
III участок:  (111)
IV участок: 
Найдем сначала силу , для чего используем выражение (14):

Для выделенных нами участков полей получим:
;              (112)
;(113)
;         (114)
(115)
Результирующая всех этих сил определится выражением:
(116)
так как .
Для дальнейших расчетов примем m=1,5. Тогда, используя выражение (104), получим:
(117)
При m=1,5 сила определится выражением (15):
(118)
При вращении цилиндров в разные стороны значения силы на выделенных участках будут:
(119)
(120)
(121)
В выражении (121) слагаемое
,
при равно нулю, а при представляет собой неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности поделим числитель и знаменатель этого выражения на :
,
полученное выражение при будет равно:

В результате осевая сила будет равна:
(122)
(123)
На IV участке на первый цилиндр будет действовать сила от динамического давления:
(124)
При и подынтегральные функции определятся выражениями:
(125)
где при
;                                                                     (126)
(127)
Выражения (125) и (127) следует умножить на три каждое,  а выражение (127) еще на три.
При вращении цилиндров в одну сторону значения силы определятся выражениями:
(128)
(129)
; (130)
(131)
На I и II участках на цилиндр будут действовать силы от динамического давления:
; (132)
; (133)
Подынте­г­ральные функции при и будут определяться выражениями (125) и (127), первое из которых надо умножить на 9, а второе - на 3.
Возможен также второй случай взаимодействия цилиндров, когда отношения, определяемые выражениями (105) и (106) будут больше 1. Тогда взаимное расположение взаимодействующих полей будет иметь вид, представленный на рис. 5. В этом случае формулы (103), (104) и (108) преобразуются к виду:
;                                           (134)
;                                                              (135)
(136)
При взаимодействии полей кинетических энергий можно выделить следующие четыре участка:
I участок: 
II участок:
III участок: (137)
IV участок:
Угол , определяющий границу первого участка, может быть найден из следующего соотношения:
(138)
Подставив в это выражение значение из формулы (136), при значении угла получим:
(139)
Произведем преобразования этого выражения:
;
;                    (140)
;
,
откуда получим:
(141)
Угол определяется по формуле (2):

Найдем сначала силу от собственного поля первого цилиндра. Для этого используем формулу (14):

Так как , эта формула примет вид:
(142)
где
.
Тогда получим:
(143)
Эта формула будет справедлива для любого m³1. Теперь определим силы при m=1,5 в соответствии с общим выражением:

При вращении цилиндров в разные стороны силы для выделенных участков будут иметь вид:
(144)
(145)
(146)
(147)
На IV участке на цилиндр будет еще действовать сила от динамического давления:
(148)
Подынтегральные функции при и будут:
(149)
(150)
При вращении цилиндров в одну сторону силы определятся выражениями:
(151)
(152)
(153)
(154)
На I и II участках будут действовать силы от динамического давления:
;(155)
(156)
Подынтегральные функции при и будут определяться выражениями:
(157)
(158)
Кроме сил , и , действующих на первый цилиндр, на него также будет действовать сила притяжения со стороны второго цилиндра (рис. 6), но не непосредственно на его поверхность, а через пространство, ограниченное кругом радиуса , с внешней стороны. Угол действия этой силы может быть найден из соотношения:
,      (159)
а изменение будет происходить в пределах от до , где по аналогии с расстоянием для первого случая определяется по формуле:
,                                    (160)
где          .
Соответственно, величина силы определится с помощью формулы (14):
,       (161)
где , , , . При этих параметрах выражение (161) будет равно:
;(162)
Здесь знак минус показывает, что сила направлена к центру второго цилиндра.
И, наконец, возможен третий вариант взаимодействия цилиндров, когда отношения, определяемые выражениями (105) и (106) равны 1. В этом случае величины и будут равны бесконечности. Однако, граница раздела полей будет находиться между цилиндрами (рис. 7). Для доказательства этого утверждения используем выражение (97), характеризующее координату :
,
которое при представляет собой неопределенность вида 0/0. Раскроем эту неопределенность, представив данное выражение в виде:
(163)
и взяв производную от числителя и знаменателя по :
(164)
Из полученного выражения следует, что граница раздела полей будет находиться точно посередине межцентрового расстояния между цилиндрами.
Все дальнейшие расчеты будут соответствовать случаю взаимодействия одинаковых цилиндров, вращающихся с одинаковыми скоростями, за исключением того, что соотношения между и , и могут быть самыми различными.
Рассмотрим еще вопрос о пределах изменения отношения при расчетах взаимодействия вращающихся цилиндров. Эти пределы можно установить из рассмотрения рисунков 4, 5, и 7 для трех случаев взаимодействия. В первом случае должно выполняться следующее условие:
.                                                           (165)
Подставив сюда значения и из формул (103) и (104) и имея ввиду выражение (107), после соответствующих преобразований получим:
,                                                  (166)
где правая часть представляет минимальное допустимое расстояние между цилиндрами , не нарушающее картину их взаимодействия. Все остальные значения l должны быть больше этого значения, а отношение должно уменьшаться.
Для второго случая должно выполняться условие:
,                                                                     (167)
которое после преобразований примет вид:
,                          (168)
В третьем случае условие будет иметь вид:
(169)