§13. Движение чаинок в стакане
Людей давно интригует поведение чаинок в стакане после размешивания чая. Сперва они вращаются на периферии около стенок стакана или чашки, а потом какая-то неведомая сила заставляет их собираться в центре в одну кучку. Если внимательно наблюдать, то будет видно, что чаинки постепенно движутся к центру стакана, располагаясь по сжимающемуся кольцу, откуда можно сделать вывод, что сжимающей силе противодействует постепенно уменьшающаяся встречная сила, которая в конце концов исчезает. Это явление по-разному объяснялось учеными, мы же предлагаем свой вариант объяснения на основе разработанной нами методики.
На рисунке 1 представлены различные моменты движения чаинок на дне стакана. В начальные моменты, когда производится размешивание чая, вся масса воды будет вращаться с одинаковой угловой скоростью, а максимальная линейная скорость будет иметь место у стенок стакана. Этот момент движения обозначен римской цифрой I. В этот момент центробежная сила инерции будет прижимать чаинки к стенкам стакана. После прекращения размешивания, благодаря торможению жидкости о стенки и дно стакана, скорость ее частиц будет изменяться таким образом, что максимальное значение скорости Vm отодвинется от стенок стакана и займет положение II. В этом случае в стакане можно выделить два потока жидкости, имеющих различные картины скоростей, которые на рисунке 1 обозначены цифрами 1 и 2. Не первом участке характер изменения скорости примем происходящим по линейному закону:
, (1)
где w1 - угловая скорость, r1 - текущий радиус, изменяющийся в пределах , Vm - максимальное значение скорости, rm - координата, соответствующая максимальной скорости.
На втором участке закон изменения скорости тоже пусть будет линейным:
, (2)
где r2 - текущий радиус, изменяющийся в пределах , R - радиус стакана.
В связи с наличием различных полей скоростей на двух участках, кинетическая энергия частиц жидкости на этих участках будет определяться выражениями:
; (3)
(4)
Производные от выражений (3) и (4) по координате r определят элементарные силы, действующие на частички жидкости:
; (5)
(6)
Суммарные силы, действующие на все частички жидкости на обоих участках, определятся интегралами от выражений (5) и (6) после подстановки в них значений элементарных масс:
; (7)
, (8)
где h - высота придонного слоя жидкости.
В результате получим:
(9)
(10)
Силы F1 и F2 будут прижимать чаинки с двух сторон к области, определяемой радиусом rm.
Разность сил F1 и F2 будет равна:
(11)
Из выражения (11) следует, что сила F2 всегда будет больше силы F1, поэтому чаинки будут отжиматься к центру стакана. Кроме того за счет постоянного торможения жидкости о дно и стенки стакана скорость ее вращения будет уменьшаться, а максимум скорости Vm будет смещаться к центру стакана (положение III и IV).
Если задаться каким-либо законом изменения максимального значения скорости Vm во времени, например таким:
, (12)
где tmax -время сбора чаинок в центре, то выражение (11)преобразуется к виду:
(13)
В соответствии с этим выражением сила DF при принятых нами условиях будет изменяться во времени от некоторого максимального значения до нуля по параболическому закону. Таким образом, решаемая по нашему методу задача о поведении чаинок в стакане, получила достаточно простое и наглядное обоснование.