§3. Вращение тел конической формы в окружающей среде.

Рассмотрим сперва вращение конуса в бесконечной среде (рис. 1). На коническую и плоскую поверхности конуса будут действовать инерционные силы со стороны окружающей среды. Для определения этих сил необходимо задаться законами распределения скоростей частичек среды с обеих поверхностей. В литературных источниках такие данные отсутствуют, поэтому поля скоростей произвольно определим следующим образом.
Для конической поверхности:
,          (1)
где VRK=wRK - окружная скорость на конической поверхности, RK=R(Z/l) -радиус окружности в сечении конуса с координатой Z, отсчитываемой от вершины конуса, R - радиус основания конуса, l - высота конуса, - расстояние от оси конуса до выбранной точки среды, m - показатель степени, VrK - линейная скорость среды в выбранной точке. 
Для плоской поверхности:
,                                                                             (2)
где Vr=wr - окружная скорость на плоской поверхности конуса, - вертикальная координата, отсчитываемая от основания конуса.
Сила, действующая на элементарную частицу среды со стороны конической поверхности будет равна:
(3)
где
(4)
Поскольку коническое поле скоростей не симметрично в осевом направлении, действующие на коническую поверхность силы не будут уравновешены, поэтому частички среды будут двигаться вдоль образующей конуса от его основания к вершине. Силу, действующую на коническую поверхность, найдем, проинтегрировав выражение (3):
(5)
Сила FK будет расположена в горизонтальной плоскости, на конус же будет действовать ее нормальная составляющая :
,                                                                                              (6)
где - угол при вершине конуса.
Касательная составляющая заставит частицы среды двигаться к вершине конуса (на рисунке 1 это движение показано стрелками).
Нормальную составляющую силы FK можно  разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. Если горизонтальная составляющая представляет собой уравновешенную силу, то вертикальная составляющая уравновешена не будет. Величина этой силы определится выражением:
(7)
На плоской поверхности конуса будет действовать сила, направленная навстречу вертикальной составляющей на конической поверхности. Для ее определения возьмем сперва производную по Z1 от кинетической энергии элементарной массы:
(8)
где

 

(9)
Полную инерционную силу найдем, проинтегрировав выражение (8):
(10)
Сравним силы и , взяв их отношение:
(11)
Это отношение будет больше или равно единице при
,                                                                              (12)
а это значит, что при вращении конуса на него будет действовать неуравновешенная сила, противодействующая силе тяжести, в результате чего нагрузка на опору со стороны конуса будет уменьшаться и даже может равняться нулю. Однако, при этом надо помнить, что на вращающийся конус будет действовать еще одна неуравновешенная сила инерции, обусловленная внутренним полем кинетической энергии. Определение этой силы рассмотрено нами в §3 главы III. Поэтому при определении результирующей силы инерции надо учитывать все действующие на конус силы. Для конуса с плоским основанием a2=90° (см. рис. 2), осевая внутренняя сила инерции будет положительной при всех значениях угла a1 от 25° до 90° (см. рис. III.1.3). Для волчков, у которых a2¹90° направление осевой силы инерции Fос может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от соотношения углов a1 и a2.
Определим число оборотов конуса, при котором его вес будет полностью уравновешен осевыми силами инерции. При этом должно выполняться соотношение:
,                                                                    (13)
где
,                                                            (14)
(15)
Здесь: - плотность материала конуса, g=9,81 м/с2, = GB /g - масса волчка, b - коэффициент, определяемый с помощью графиков на рисунках (III.1.3) или (III.1.4).
Из условия (13) получим:
(16)
В качестве примера возьмем металлический конус с параметрами: , R=0,05 м, =7800 кг/м3, который вращается в воздушной среде с плотностью rср=1,225 кг/м3. Если принять m=1,5 и не учитывать осевую силу инерции внутри конуса, то число оборотов, при котором вес конуса уравновесится, будет равно:
1/c,
что соответствует примерно 26500 об/мин.
Если же учитывать осевую внутреннюю силу инерции, то число оборотов значительно снизится, так как b=0,03 при , что соответствует a1=30°:
1/c,
что соответствует примерно 446 об/мин.
При вращении волчка представляющего собой комбинацию двух конусов (см. рис. 2), скорость вращения волчка, при которой будет уравновешиваться его вес, должна быть больше. Рассмотрим эту задачу подробнее. В соответствии с выражением (7) неуравновешенная сила, действующая на волчок будет равна:
(17)
где l1 и l2 - высоты нижнего и верхнего конусов волчка. Из этого выражения следует, что отношение R2/l2 для верхнего конуса должно быть больше, чем для нижнего, т.е. высота нижнего конуса должна быть больше.
Эта сила будет противодействовать весу волчка:
(18)
Используя выражения (17) и (18) и учитывая осевую внутреннюю силу инерции, найдем угловую скорость, при которой будет иметь место уравновешивание веса волчка:
(19)
Примем для волчка размеры, близкие к первому примеру:м;
м; м;
Без учета осевой силы получим следующее значение угловой скорости волчка:
1/c,

что соответствует, примерно, 28600 об/мин.
При учете же осевой силы инерции внутри конуса выражение в квадратных скобках получится отрицательным, т.е. уравновешивания веса волчка при выбранных параметрах ни при каких значениях угловой скорости не будет. Очевидно, для решения этой задачи в первую очередь необходимо подобрать соотношение углов a1 и a2 , а затем уже учитывать влияние сил инерции со стороны окружающей среды.

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации