§3. Вращение тел конической формы в окружающей среде.

Рассмотрим сперва вращение конуса в бесконечной среде (рис. 1). На коническую и плоскую поверхности конуса будут действовать инерционные силы со стороны окружающей среды. Для определения этих сил необходимо задаться законами распределения скоростей частичек среды с обеих поверхностей. В литературных источниках такие данные отсутствуют, поэтому поля скоростей произвольно определим следующим образом.
Для конической поверхности:
,          (1)
где VRK=wRK - окружная скорость на конической поверхности, RK=R(Z/l) -радиус окружности в сечении конуса с координатой Z, отсчитываемой от вершины конуса, R - радиус основания конуса, l - высота конуса, - расстояние от оси конуса до выбранной точки среды, m - показатель степени, VrK - линейная скорость среды в выбранной точке. 
Для плоской поверхности:
,                                                                             (2)
где Vr=wr - окружная скорость на плоской поверхности конуса, - вертикальная координата, отсчитываемая от основания конуса.
Сила, действующая на элементарную частицу среды со стороны конической поверхности будет равна:
(3)
где
(4)
Поскольку коническое поле скоростей не симметрично в осевом направлении, действующие на коническую поверхность силы не будут уравновешены, поэтому частички среды будут двигаться вдоль образующей конуса от его основания к вершине. Силу, действующую на коническую поверхность, найдем, проинтегрировав выражение (3):
(5)
Сила FK будет расположена в горизонтальной плоскости, на конус же будет действовать ее нормальная составляющая :
,                                                                                              (6)
где - угол при вершине конуса.
Касательная составляющая заставит частицы среды двигаться к вершине конуса (на рисунке 1 это движение показано стрелками).
Нормальную составляющую силы FK можно  разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. Если горизонтальная составляющая представляет собой уравновешенную силу, то вертикальная составляющая уравновешена не будет. Величина этой силы определится выражением:
(7)
На плоской поверхности конуса будет действовать сила, направленная навстречу вертикальной составляющей на конической поверхности. Для ее определения возьмем сперва производную по Z1 от кинетической энергии элементарной массы:
(8)
где

(9)
Полную инерционную силу найдем, проинтегрировав выражение (8):
(10)
Сравним силы и , взяв их отношение:
(11)
Это отношение будет больше или равно единице при
,                                                                              (12)
а это значит, что при вращении конуса на него будет действовать неуравновешенная сила, противодействующая силе тяжести, в результате чего нагрузка на опору со стороны конуса будет уменьшаться и даже может равняться нулю. Однако, при этом надо помнить, что на вращающийся конус будет действовать еще одна неуравновешенная сила инерции, обусловленная внутренним полем кинетической энергии. Определение этой силы рассмотрено нами в §3 главы III. Поэтому при определении результирующей силы инерции надо учитывать все действующие на конус силы. Для конуса с плоским основанием a2=90° (см. рис. 2), осевая внутренняя сила инерции будет положительной при всех значениях угла a1 от 25° до 90° (см. рис. III.1.3). Для волчков, у которых a2¹90° направление осевой силы инерции Fос может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от соотношения углов a1 и a2.
Определим число оборотов конуса, при котором его вес будет полностью уравновешен осевыми силами инерции. При этом должно выполняться соотношение:
,                                                                    (13)
где
,                                                            (14)
(15)
Здесь: rТ - плотность материала конуса, g=9,81 м/с2, mВ= GB /g - масса волчка, b - коэффициент, определяемый с помощью графиков на рисунках (III.1.3) или (III.1.4).
Из условия (13) получим:
(16)
В качестве примера возьмем металлический конус с параметрами: , R=0,05 м, rТ=7800 кг/м3, который вращается в воздушной среде с плотностью rср=1,225 кг/м3. Если принять m=1,5 и не учитывать осевую силу инерции внутри конуса, то число оборотов, при котором вес конуса уравновесится, будет равно:
1/c,
что соответствует примерно 26500 об/мин.
Если же учитывать осевую внутреннюю силу инерции, то число оборотов значительно снизится, так как b=0,03 при , что соответствует a1=30°:
1/c,
что соответствует примерно 446 об/мин.
При вращении волчка представляющего собой комбинацию двух конусов (см. рис. 2), скорость вращения волчка, при которой будет уравновешиваться его вес, должна быть больше. Рассмотрим эту задачу подробнее. В соответствии с выражением (7) неуравновешенная сила, действующая на волчок будет равна:
(17)
где l1 и l2 - высоты нижнего и верхнего конусов волчка. Из этого выражения следует, что отношение R2/l2 для верхнего конуса должно быть больше, чем для нижнего, т.е. высота нижнего конуса должна быть больше.
Эта сила будет противодействовать весу волчка:
(18)
Используя выражения (17) и (18) и учитывая осевую внутреннюю силу инерции, найдем угловую скорость, при которой будет иметь место уравновешивание веса волчка:
(19)
Примем для волчка размеры, близкие к первому примеру:м;
м; м;
Без учета осевой силы получим следующее значение угловой скорости волчка:
1/c,

что соответствует, примерно, 28600 об/мин.
При учете же осевой силы инерции внутри конуса выражение в квадратных скобках получится отрицательным, т.е. уравновешивания веса волчка при выбранных параметрах ни при каких значениях угловой скорости не будет. Очевидно, для решения этой задачи в первую очередь необходимо подобрать соотношение углов a1 и a2 , а затем уже учитывать влияние сил инерции со стороны окружающей среды.