§5. Гидродинамический парадокс - “аномальное” вращение цилиндра на границе струи.

Этот гидродинамический парадокс описан в работе [4, с. 59]. Он заключается в том, что круглый цилиндр, способный свободно вращаться на своей оси, при полном погружении в поток жидкости или газа, начинает вращаться против “мельничного колеса” и выталкивается из потока. При частичном погружении цилиндр вращается как мельничное колесо. Если цилиндр находится в середине потока, то он не вращается и не выталкивается. Авторы не дают объяснения этому парадоксу, однако считают, что он имеет совершенно иную природу, чем эффект Магнуса, и может быть объяснен с помощью постулата Жуковского-Чаплыгина о конечной скорости на острой кромке крыла на случай гладкого контура.
Рассмотри эту задачу. Когда цилиндр погружен не полностью (рис. 1), то набегающий поток будет вращать его в прямом направлении, причем скорость его вращения будет определяться средним значением окружной линейной скорости потока в зоне контакта с цилиндром . Скорость же Vj будет зависеть от сужения потока, создаваемого цилиндром, и может быть найдена из условия неразрывности потока:
,                                                                                     (1)
где V - скорость невозмущенного потока, S и Sj - поперечные сечения невозмущенного потока и потока, соответствующего координате lj:
;                                                                                             (2)
,                                                      (3)
H - ширина потока, L - максимальная глубина потока, (L-R) - глубина погружения цилиндра.
Используя выражения (1)-(3), найдем скорость Vj:
(4)
Среднее значение окружной скорости на поверхности цилиндра определится выражением:
(5)
Выражение (5) можно преобразовать, представив значения арктангенсов в виде углов m1 и m2; тогда получим:
(6)
(7)
Тангенс суммы углов m1 и m2 определяется выражением:
,                                                      (8)
которое для нашего случая преобразуется к виду:
,                                                          (9)
откуда получаем:
(10)
Таким образом, среднее значение окружной скорости будет равно:
(11)
График изменения средней окружной скорости в зависимости от отношения R/L представлен на рис. 2 Угловая скорость вращения цилиндра определится средней окружной скоростью:
(12)
Так как средняя окружная скорость цилиндра будет отличаться от скорости потока , это приведет к изменению картины скоростей потока в зависимости от угла j (рис. 3).
В результате получится типичная картина взаимодействия вращающегося цилиндра с движущимся потоком, которая характеризуется проявлением эффекта Магнуса. Кроме того, в соответствии с законом Бернулли, давление в потоке жидкости, обтекающей цилиндр, будет уменьшаться по сравнению с давлением невозмущенного потока, так как скорость движения жидкости из-за сужения потока будет увеличиваться, что приведет к появлению выталкивающей силы. Действие сил, обусловленных наличием градиента поля кинетической энергии, показано на рис. 3.
Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия цилиндра с набегающим на него потоком жидкости, которая и определит характер действующих сил. Это взаимодействие мы рассматривать не будем, перейдем сразу к рассмотрению взаимодействия с потоком полностью заглубленного цилиндра (рис. 4).
Скорости движения потока в верхней и нижней части в соответствии с выражением (1)-(4) будет иметь вид:
;                                                                         (13)
(14)
Средние значения окружных скоростей на этих участках соответственно определятся выражениями:
;    (15)
(16)
Угловая скорость вращения цилиндра будет зависеть от разности этих скоростей:
,                                  (17)
где:
(18)
Значение b в функции для различных отношений представлены на рис. 5.
Как видно из рисунка разность скоростей всегда положительна, поэтому цилиндр будет вращаться против часовой стрелки, за исключением одного положения, когда он находится посредине потока и скорость его вращения равна нулю.
Зависимость от l1/L, характеризующая расстояние l1min, представлена, на рис. 6. Минимальное расстояние от поверхности можно найти с помощью выражения:
(19)
В соответствии с уравнением Бернулли при изменении скорости движения потока в нем будет изменяться статическое давление, среднее значение которого для первого и второго участков может быть найдено по формулам:
;                                                                        (20)
(21)
Весовое давление мы не принимаем во внимание, так как оно может быть учтено отдельно.
Разность этих давлений Dр=р2-р1 определит результирующую силу, действующую на цилиндр.
Вертикальная составляющая силы, действующей на элементарную площадку:
(22)
где H - длина цилиндра, будет равна:
(23)
Подставив в это выражение значения скоростей и в соответствии с формулами (13) и (14) и проинтегрировав его в пределах от нуля до p/2, получим результирующее значение вертикальной силы:

(24)
Значения этой силы, представленные в виде безразмерного отношения в функции от l1/L даны на рис. 7.
Кроме этой силы, обусловленной законом Бернулли, на цилиндр будут действовать выталкивающие силы, основанные на законе Архимеда и эффекте Магнуса. Последняя сила будет направлена вверх потому, что окружная скорость цилиндра на его нижней стороне направлена навстречу потоку жидкости, а это всегда приводит к увеличению давления.
Таким образом, данный гидродинамический парадокс может быть объяснен с использованием законов Архимеда и Бернулли и эффекта Магнуса.

 

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации