§7. Об инверсии струи при истечении жидкости из отверстий.
При истечении жидкости через обычное круглое отверстие с острой кромкой наблюдается сжатие струи за отверстием [7, с. 189-190]. Это явление объясняется инерционностью движения частиц к отверстию изнутри резервуара по радиальным направлениям. При истечении же жидкости через квадратное отверстие наблюдается явление инверсии струи, т.е. изменение формы ее поперечного сечения - струя на некотором расстоянии приобретает крестообразную форму. Это явление также объясняется инерцией и действием поверхностного натяжения.
Однако, это явление можно легко объяснить наличием градиента энергетического поля в сечении струи (рис. 1,а). Действительно, характер распределения линейных скоростей в потоке будет зависеть от направления радиуса-вектора ti.
В общем виде эту зависимость для четверти струи можно представить следующим выражением:
, (1)
где li - максимальное значение радиуса ti для определенного значения угла j, Vmax - максимальная скорость жидкости в центре струи. В случае квадратного отверстия угол j, очевидно, можно рассматривать в пределах от 0° до 45°.
Кинетическая энергия элементарной частицы жидкости определится выражением:
(2)
Взяв производную по направлению ti, найдем силу инерции, действующую на элементарную частицу жидкости:
(3)
Для определения давления со стороны внешних слоев жидкости на внутренние возьмем сечение центрального потока в виде квадрата со стороной 2ri (см. рис. 1,б) и найдем сперва силу. действующую на элементарную площадку dS. Для этого подставим в выражение (3) значение элементарной массы dmi=r ti dj dti dh и проинтегрируем его в пределах от ti до li:
(4)
Выразим ti и li через стороны квадратов 2ri и 2l:
Тогда получим:
(5)
Поделив выражение (5) на величину элементарной площадки dS, равную:
,
получим давление на площадку, центр которой находится на поверхности центрального потока квадратного сечения:
(6)
На рисунке 1,в представлены кривые распределения давления по поверхности квадратных потоков при различных значениях сторон: ri/l=0,25, ri/l=0,50, ri/l=0,75 в зависимости от угла j.
Результаты расчетов представлены в таблице 1, где Ф определяется выражением:
(7)
Таблица 1.
Распределение давления от сил инерции внутри струи жидкости на поверхностях квадратного сечения в зависимости от угла j.
j |
Ф1 |
Ф2 |
Ф3 |
0 |
0,513281 |
0,195833 |
0,053559 |
5 |
0,512998 |
0,195086 |
0,052600 |
10 |
0,511388 |
0,192423 |
0,049456 |
15 |
0,505869 |
0,186427 |
0,043226 |
20 |
0,490987 |
0,174144 |
0,032076 |
25 |
0,456046 |
0,149877 |
0,012539 |
30 |
0,380090 |
0,102641 |
- 0,021917 |
35 |
0,220922 |
0,010635 |
- 0,083977 |
40 |
- 0,109974 |
- 0,171288 |
- 0,199410 |
45 |
- 0,808752 |
- 0,542115 |
- 0,423772 |
Таким образом, при вытекании струи из квадратного отверстия силы инерции вдавливают ее с плоских сторон и выдавливают с стороны ребер.
Поэтому сечение струи примет форму, представленную на рис. 1,г.
В результате этого произойдет перераспределение скоростей по сечению струи: в серединах плоских поверхностей скорости частиц жидкости будут близки к максимальным, в углах квадрата будут иметь какое-то минимальное значение (рис. 2,а).
Закон распределения скоростей для четверти сечения струи примем в виде:
(8)
В этом случае кинетическая энергия элементарной частицы жидкости dmi определится выражением:
(9)
Сила инерции, действующая на элементарную частицу, будет равна:
(10)
Определим давление, создаваемое силами инерции жидкости, на элементарную площадку dS, равную:
(11)
и находящуюся на стороне квадрата, величина которой равна ri.
Сначала найдем силу, действующую на эту площадку со стороны внешних слоев жидкости. Сделав подстановку
и имея в виду, что
,
получим:
(12)
Давление определится выражением:
(13)
На рис. 3 и 4 представлены кривые. характеризующие величину давления внешних слоев жидкости на внутренние при ri/l=0,5 при углах j=0° и j=45°, в зависимости от отношения Vmin/Vmax, и эпюра распределения давлений на стороне квадрата ri=0,5l в зависимости от угла j при Vmin/Vmax=0.
Результаты расчетов давлений в виде отношения в зависимости от j и Vmin/Vmax представлены в таблице 2.
Таблица 2.
Распределение давлений от сил инерции внутри струи жидкости на поверхности квадратного сечения в зависимости от соотношения скоростей Vmin/Vmax и угла j.
j, град. |
Ф |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,0250 |
0,0353 |
0,0472 |
0,0479 |
0,0372 |
0,0152 |
5 |
0,0255 |
0,0358 |
0,0479 |
0,0485 |
0,0377 |
0,0154 |
10 |
0,0270 |
0,0376 |
0,0499 |
0,0504 |
0,0391 |
0,0160 |
15 |
0,0297 |
0,0407 |
0,0534 |
0,0537 |
0,0415 |
0,0169 |
20 |
0,0341 |
0,0457 |
0,0589 |
0,0587 |
0,0453 |
0,0184 |
25 |
0,0409 |
0,0533 |
0,0670 |
0,0662 |
0,0507 |
0,0206 |
30 |
0,0513 |
0,0646 |
0,0790 |
0,0770 |
0,0585 |
0,0236 |
35 |
0,0678 |
0,0822 |
0,0969 |
0,0928 |
0,0698 |
0,0280 |
40 |
0,0948 |
0,1101 |
0,1243 |
0,1164 |
0,0864 |
0,0343 |
45 |
0,1414 |
0,1570 |
0,1683 |
0,1532 |
0,1117 |
0,0438 |
Как видно из рисунка 4 наибольшее давление будет при j =45°, поэтому струя жидкости будет сжиматься сильнее к ее центру, при этом скорость жидкости будет выравниваться. В результате форма струи примет крестообразный вид (рис. 5,а), причем во всех точках струи скорость должна быть одинаковой.
Аналогичное явление будет иметь место и при истечении жидкости из отверстий другой формы, например треугольной и прямоугольной (рис. 5,б,в). Причем в случае прямоугольного отверстия струя будет сильнее сжата в горизонтальном направлении, так как в этом направлении градиент энергетического поля будет больше в связи с тем, что скорости частиц жидкости в вертикальном направлении будут выровнены больше.