Индекс материала
§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления.
ч.1
ч.2
ч.3
ч.4
ч.5
ч.6
ч.7
ч.8
ч.9
ч.10
ч.11
ч.12
ч.13
ч.15
ч.16
ч.17
ч.17
ч.18
ч.20
ч.21
ч.22
ч.23
ч.24
ч.26
ч.27
ч.28
ч.29
Все страницы

Время является одним из основных физических понятий, посредством которого характеризуется движение материальных объектов, то есть вводятся понятия скорости, ускорения, силы. Однако, физическая сущность времени до сих пор не имеет удовлетворительного объяснения.
Современная философская наука дает следующее определение времени [4, с.94]: время – атрибут, всеобщая форма бытия материи, выражающая длительность бытия и последовательность смены состояний всех материальных систем и процессов в мире. Однако, это определение не вносит ясности в вопрос о сущности времени. Такое положение хорошо охарактеризовал Э.М. Чудинов [5, с.194]: «Время, как известно, - это последовательность событий, упорядоченное отношениями «до» и «после» (в отличие от пространства, которое представляет собой совокупность событий, упорядоченных отношением «одновременно»). Философ-материалист, рассматривающий развитие материального мира в более общем смысле, чем это делается, например, в современной физике, а именно как смену, трансформацию качественно различных форм материи, мог бы считать эти формы своего рода «событиями», а для характеристики последовательности этих «событий» ввести более общее понятие времени, нежели то, которым пользуется физика».
Достаточно развернуто проблемы времени представлены в работах [6-8].
Подводя итог, можно выделить следующие основные свойства времени:

• неуничтожимость;
• бесконечность;
• непрерывность;
• бесконечная делимость;
• дискретность (в микромире);
• причинность (причина всегда предшествует следствию, причинный и временной порядок событий в точности копируют друг друга);
• необратимость, направленность, асимметрия, анизотропность (время течет от прошлого через настоящее к будущему, отсюда «стрелы времени» – термодинамическая, космологическая, биологическая и др.);
• симметрия, изотропность (законы движения инвариантны при обращении течения времени);
• одномерность, линейная упорядоченность (моменты времени располагаются относительно друг друга в порядке, подобном порядку точек на прямой линии);
• однородность (законы движения не меняют своего вида с течением времени);
• связь с пространством (четырехмерное пространство-время);
• зависимость от скорости движения (специальная теория относительности);
• связь пространственно-временной симметрии с законами сохранения (инвариантность лагранжиана относительно трансляции временной координаты – закон сохранения энергии, симметрия относительно трансляции в пространственно-временном континууме – обобщенный закон сохранения энергии-импульса).

Обсуждается также возможность таких свойств времени, как способность течь в обратную сторону [9, с.155-180], быть комплексным и мнимым в чисто математическом смысле [8, с.50-52] и ряд других, а известный астроном Н. А. Козырев доказывал, что время является источником энергии [10, с.219-225]: «Лабораторные исследования показали возможность действия времени на вещество и этим подтвердили вывод о том, что энергия звезд поддерживается текущим временем. Время не дает звездам погаснуть, то есть прийти в равновесие с окружающим их пространством. Смотря на звездное небо, мы видим не атомные топки, где действуют разрушительные силы Природы, а видим представление жизненных творческих сил, которые приносит в мир текущее время. Их действие можно наблюдать по тем изменениям времени, которые происходят в космических телах».
Почему же существует столько различных толкований сущности времени и его свойств, почему его возвели в ранг философских категорий наряду с пространством?
Для выяснения вопроса о сущности времени вообще рассмотрим сначала сущность так называемого физического времени, которое мы измеряем годами, сутками, часами, минутами и секундами.
В своей жизнедеятельности человек непрестанно сталкивается с необходимостью оценки перемещения в пространстве как самого себя, так и других тел. Эти перемещения отличаются друг от друга не только расстоянием, но и интенсивностью движения: одни движения происходят быстрее, другие медленнее. Как можно было оценить это свойство движения? Если два движения можно было непосредственно сравнивать, например, на один шаг одного человека приходилось два точно таких же шага другого человека, то интенсивность движения второго человека была в два раза больше. Если же прямого сравнения движений сделать было нельзя, приходилось производить косвенные сравнения. Так у индейцев путь оценивался числом выкуренных трубок. Конечно, это сравнение было весьма грубым, но основная идея была верной. Появление часов, сперва солнечных, водяных и песочных, а затем и механических, значительно упростило процедуру сравнения различных движений.
Рассмотрим простейшее движение – обычное механическое перемещение в пространстве. Это перемещение можно охарактеризовать следующими параметрами: траекторией, расстоянием (длиной), интенсивностью движения (скоростью). Если физическая сущность траектории и расстояния для нас очевидна, то сущность интенсивности движения весьма загадочна. Ее невозможно оценить, наблюдая только одно движение, она проявляется при сравнении двух или нескольких движений. От нее зависит величина перемещения, а при одном и том же перемещении – быстрота его прохождения. Как же охарактеризовать быстроту прохождения заданного пути? Это свойство движения можно выразить в данном случае через длительность. Но что же такое длительность? Длительность любого движения мы определяем путем сравнения его с другим движением, например, с вращением Земли вокруг ее оси. За основную единицу длительности – сутки – мы принимаем один оборот Земли вокруг своей оси, которую затем разбиваем на часы, минуты и секунды. Вращение Земли является механическим движением в пространстве, оно имеет определенную интенсивность, так как вращения разных тел могут происходить с разной скоростью. Поскольку вращение Земли мы принимаем за эталон, то интенсивность этого движения принимается за единицу измерения, так как мы все равно ее не знаем и в принципе определить не можем. В общем, ситуация в данном случае складывается так же, как и при выборе единиц измерения других физических величин: массы, длины, температуры и т.п. Особенно характерна в этом отношении температура, так как она выражает одно физическое свойство тела, обусловленное его внутренней энергией, с помощью многих других свойств (объемного расширения, линейного расширения, термоэдс, цвета, яркости, сопротивления и т.п.). Таким образом, длительность любого движения мы определяем числом оборотов (или долей) вращения Земли, например, говорим, что тело движется 5 часов, 2 суток и т.д. И проблема интенсивности движения, ее загадочность, как бы снимается, хотя, на самом деле, мы ее перенесли на эталонное движение.

Введя понятие длительности и назвав это свойство движения временем, мы можем сравнивать различные перемещения материальных объектов и по их интенсивности, так как отношение перемещения к длительности определяет интенсивность (скорость) движения. Использование понятия длительности дает возможность сравнивать и такие движения, для которых мы не знаем ни траектории, ни перемещения, ни скорости. Так, даже для неподвижного на Земле тела (дом, камень и т.п.) мы можем говорить о длительности его существования. Эта оценка возможна потому, что рядом с этим телом и внутри него происходит, как мы знаем, множество невидимых нам движений, которые вызывают его изменение и разрушение.
Из сказанного можно сделать вывод, что физическое время это одна из физических мер механического движения, количественно характеризующая его интенсивность и длительность. Однако, это время, имеющее в своей основе физическое (механическое) движение, используется также и для измерений других, не механических движений.
Чтобы разобраться с этим, рассмотрим подробнее вопрос о движении материи вообще. Как считают философы, движение – это способ существования материи, оно включает в себя все происходящие в природе и в обществе процессы. В мире нет материи без движения, также как и не может быть движения без материи. Движение материи может характеризоваться различными проявлениями, с движением связаны все происходящие в мире изменения, которые проявляются в виде конкретных событий (явлений).
Принято считать, что движение происходит в пространстве и во времени: движение в пространстве проявляется по изменению положения объекта относительно других тел, движение во времени связано с изменением свойств объекта и называется развитием. Движение во времени характеризуется длительностью.
В настоящее время движение определяется как изменение вообще, то есть любое изменение в окружающем нас мире является движением. Такое определение движения, на  первый взгляд, вполне очевидно и не вызывает сомнений. Действительно, наш опыт, наши ощущения показывают, что, где есть изменения, там обязательно есть и движение.
В обыденной жизни мы сталкиваемся в первую очередь с механическим движением. Проследим процесс восприятия механического движения нашими органами чувств, например, глазами. Мы смотрим на окружающие нас предметы и ясно отличаем те, которые движутся, от тех, которые неподвижны. Как же это происходит, почему мы видим движение и всегда ли мы его видим? Оказывается, не всегда. Есть движения, которые мы не успеваем заметить – это относится к движениям, происходящим с большой скоростью, например, к полету пули, движению спиц в быстровращающемся колесе и т.п. В чем же дело? Очевидно, это связано со свойствами нашего восприятия, которые зависят от устройства глаза, нервной системы, головного мозга.
Мы видим движение потому, что мозг запоминает предшествующее положение перемещающегося объекта по отношению к другим объектам. Если бы этого не было, то мы бы не видели движения, а видели бы объект в разных положениях, не подозревая о его движении. Однако, возникает вопрос, видим ли мы движение непрерывно, или оно воспринимается нами дискретно, а мы сами представляем его непрерывным, как это происходит, например, при демонстрации фильма, когда статичные кадры сменяют друг друга с частотой 24 кадра в секунду? Действительно, если бы мы видели движение непрерывным, то есть мгновенно воспринимали бы каждое положение движущегося объекта, то мы бы видели любое быстрое движение, например, той же пули. Но мы этого не видим. Следовательно, движение мы воспринимаем дискретно, мы как бы «фотографируем» с помощью органов чувств и мозга отдельные положения движущегося  объекта, последовательность которых и дает нам ощущение движения.

Эта аналогия с фотографией и дает возможность понять, почему мы не видим быстро движущегося тела. Очевидно, это происходит потому, что мы не  успеваем «сфотографировать» движущееся тело в каком-либо конкретном положении из-за наличия границы чувствительности нашего восприятия. Подобное же явление имеет место и при обычном фотографировании движущегося объекта, что связано с уменьшением времени выдержки. Когда скорость тела превышает порог нашего восприятия, мы его не видим.

Таким образом, поскольку мы воспринимаем движение дискретно как последовательность отдельных положений движущегося тела, это свойство нашего восприятия и приводит к тому, что любую смену, последовательность событий мы воспринимаем как движение. И получается, что движение и есть изменение вообще, несмотря на характер и форму этого движения.
Но всегда ли оправдано такое обобщенное понятие движения? Рассмотрим несколько примеров, которые могут изменить это представление. Для начала обратимся к световой рекламе. В световой газете, например, текст перемещается с определенной скоростью справа налево. Но будет ли это движение на самом деле? Ведь буквы этого текста не двигаются, они просто загораются на другом месте, то есть это будут уже другие буквы, хотя одного и того же значения. Очевидно, здесь имеет место не настоящее движение (назовем его квазидвижением, поскольку мы воспринимаем движение текста).
Основным отличием квазидвижения от действительного движения в данном случае будет то, что здесь нет действительного перемещения букв в пространстве или непрерывности перемещения, так как буквы перемещаются как бы скачком на новое место, минуя все промежуточные точки пространства. Все сказанное, однако, не исключает того, что за этим квазидвижением стоит действительное движение, или, лучше сказать, вызывает его. Этим действительным движением является движение тока, проходящего через лампочки, комбинация которых образует контур букв, движение распределительного устройства, зажигающего ту или иную букву и т.д. Таким образом, можно сказать, что квазидвижение является следствием, а еще точнее – результатом совокупности действительных движений.
В качестве второго примера возьмем кино. Почему мы видим движение на экране? Ведь на самом деле при демонстрации кинофильма на экран проецируются неподвижные, статичные кадры, представляющие собой зафиксированные события прошлого. Как уже отмечалось, ввиду особенностей нашего восприятия, смена статичных кадров дает нам ощущение движения, тогда как на самом деле действительного движения тех объектов, которые мы видим, здесь нет. Это тоже квазидвижение, и не только потому, что есть прерывистость движения в пространстве, а и потому, что здесь нет движения реальных тел. И в данном случае квазидвижение вызывается действительным движением  ленты в кинопроекторе, то есть является результатом и следствием действительных движений.
Приведенные примеры позволяют сделать вывод, что действительное движение должно характеризоваться, по крайней мере, двумя признаками: непрерывностью перемещения в пространстве и тем, что перемещаться должны реальные (материальные) объекты. Если будет отсутствовать хотя бы один из этих признаков, то движение не может считаться действительным. Эти признаки могут служить критерием для оценки реальности движения.
Таким образом, все воспринимаемые нами движения могут быть как действительными, так и квазидвижениями.
Каким же является движение во времени, которое мы так ярко ощущаем? Для выяснения этого вопроса вернемся снова к восприятию движений человеком. Движение любого тела в пространстве проявляется в виде определенных событий, связанных с изменением его положения по отношению к другим телам, с изменением его свойств. Эти события запечатлеваются в мозгу человека в последовательности их появления. Мозг имеет способность запоминать порядок появления событий, поскольку их фиксация происходит последовательно с помощью движения внутри мозга, механизм которого нам не известен. Это же движение позволяет затем считывать зафиксированные события (или как сейчас говорят – информацию ) в любом порядке и любой последовательности.

Таким образом, в мозгу происходит отражение внешнего движения тел в пространстве в виде определенной последовательности событий. И то движение, которое мы потом можем «увидеть», представив его мысленно, уже не будет настоящим движением, а будет его отражением или квазидвижением. Это отраженное в мозгу движение ощущается нами не только как движение в пространстве, но и как движение во времени. Действительно, глядя на движущееся тело, мы считаем (чувствуем), что оно движется как в пространстве, так и во времени. И особенно ясно движение во времени ощущается, когда мы видим изменения, происходящие с неподвижным объектом, например, периодические вспышки неподвижной по отношению к нам лампочки. Мы не видим пространственных движений электронов, приводящих к вспышкам, поэтому у нас не возникает представления о движении в пространстве. Но ведь движение существует, мы же видим это по проявлению последовательных событий, значит, это будет уже другое движение, которое мы называем движением во времени. Аналогичное ощущение возникает, если рассматривать последовательные фотографии движения в пространстве изменяющегося объекта. Эти фотографии будут отличаться друг от друга как положением объекта в пространстве по отношению к другим объектам, так и его свойствами, изменение которых также обусловлено движением в пространстве.
В нашем мозгу движение объекта запечатлевается в виде отдельных статичных событий («снимков») в отдельные моменты, связанные с определенным положением объектов в пространстве. По запечатленным событиям можно проследить пространственное перемещение движущегося объекта, но они, как и последовательные фотографии движущегося объекта, не дадут нам возможности определить интенсивность движения, то есть скорость. Мы же ощущаем скорость движения, правда, в основном, качественно (быстрее или медленнее) как при непосредственном сравнении различных движений, так и при их восприятии по отдельности. В первом случае скорость движения мы оцениваем по величине относительного перемещения объектов, а во втором – по нашим внутренним ощущениям, обусловленным скоростью восприятия информации, скоростью реакции на различные события и т.п.
Таким образом, события («снимки») движения объекта «привязываются» к движениям внутри человека, к движению внутри его мозга. С помощью этого движения в мозгу (движения мыслей) мы воспринимаем как характер, так и интенсивность исследуемого движения (аналогичная ситуация имеет место при демонстрации кинофильма). По этой причине движение во времени и само время ощущаются нами существующими объективно, наряду с пространством мы считаем время формой существования материи.
Движение материи во времени воспринимается нами как последовательность событий реального движения, происходящих с определенным интервалом времени между ними (длительностью). Временной интервал ощущается нами, в основном, качественно: больше или меньше. Но чего? Это, очевидно, какое-то количество эталонного движения, с помощью которого мы в своей голове «считываем» (или «записываем») происходящие события. Единица эталонного движения является неопределенной по двум причинам: мы, во-первых, не знаем сущности этого движения и, во-вторых, его интенсивности, которая, по сути дела, является единичной (как и в случае использования вращения Земли для измерения времени). Поскольку мы не знаем ни сущности, ни интенсивности эталонного движения внутри нас, мы пользуемся числом эталонных событий (как внутри, так и вне нас) для измерения длительности движения.
Таким образом, сравнивая изучаемое и эталонное движения, мы оцениваем как длительность изучаемого движения (числом эталонных событий), так и его интенсивность (как отношение чисел событий исследуемого и эталонного движений).
Так как движение во времени характеризуется длительностью, а длительность – это число единиц эталонного движения, значит, время – это количественный способ измерения любого движения путем его сравнения с эталонным. Действительно, движение можно измерить и перемещением объектов в пространстве, но это не всегда возможно. Еще труднее «привязать» к пространственному перемещению (положению) все изменения, происходящие с движущимся объектом. Зато это можно легко сделать путем установления соответствия между двумя движениями с помощью «привязки» событий исследуемого движения к событиям эталонного движения. При этом устанавливается связь между «количествами» этих движений, то есть единице эталонного движения будет соответствовать какое-то количество исследуемого движения, причем единица эталонного движения может быть выбрана произвольно.
Поскольку длительность определяется числом событий эталонного движения, то можно сказать, что она является частью более общего понятия, каким является время, под которым мы понимаем эталонное движение. Соотношение между временем и длительностью можно представить с помощью геометрической аналогии: время – это ось координат, длительность – отрезок оси, изображающий конкретное значение времени в выбранных единицах измерения. Можно также сказать, что время – это сущностное понятие, характеризуемое движением, тогда как длительность – число единиц эталонного движения.
Такая трактовка подтверждается и практическим измерением длительности процессов (движений). Любая длительность измеряется числом эталонных событий: в механических, электронных и других часах. С другой же стороны мы из опыта знаем, что движение непрерывно, например, движение Земли вокруг своей оси, движение Солнца по небу и т.д. Дискретность измерения времени (движения) объясняется тем, что при измерении движения его необходимо остановить, расчленить на части, определяемые конкретными событиями (единицами). В принципе для непрерывного движения единица измерения может стремиться к нулю, величина ее, очевидно, зависит только от возможностей наших практических измерений. Теоретически же мы делим время до бесконечности, например, при нахождении мгновенной скорости движения.
Таким образом, мы используем время (эталонное движение) для следующих целей:

• для количественного выражения исследуемого движения через число единиц эталонного движения, то есть длительность (например, возраст человека выражается годами, то есть числом оборотов Земли вокруг Солнца);
• для количественного сравнения двух движений, дающего возможность найти скорость исследуемого движения по отношению к эталонному движению, то есть в общем случае скорость изменения одной величины по отношению к другой величине;
• для задания движения «запечатленным» событиям какого-либо движения (в голове, на бумаге, на фотографии или другим способом), аналогичным заданию движения пленки в кинопроекторе, что осуществляется путем «привязки» исследуемых событий к событиям эталонного движения.

Вернемся снова к понятию движения во времени, вспомнив, что это движение характеризуется длительностью. Вполне очевидно, что использование времени в первом и втором случаях не представляет собой проявления какого-либо движения во времени, так как здесь просто происходит количественное сравнение двух реальных движений исследуемого и эталонного, то есть движения во времени нет, хотя и используется понятие длительности.
Очевидно также, что в третьем случае речь идет о движении, и именно, о движении во времени. Но это движение, как уже отмечалось выше, не будет являться реальным движением, так как здесь будут двигаться запечатленные ранее события, а не реальные объекты.

Следует отметить, что непрерывная «привязка»  появляющихся событий к эталонному движению внутри мозга, которая воспринимается нами как движение этих событий во времени, также является квазидвижением. И, наконец, отметим, что время (эталонное движение) не оказывает влияния на протекание (характер) исследуемого движения, так как между ними нет никакой материальной связи (кроме связи, обусловленной способом восприятия информации субъектом, и установления соответствия между событиями), и если мы говорим, что изменения произошли с течением времени, то это вовсе не значит, что они не обусловлены другими причинами.
Таким образом, мы установили, что движение во времени является квазидвижением, а ощущение движения во времени обусловлено свойствами человеческого мозга: наличием памяти (фиксация событий) и возможностью их считывать (процесс мышления), то есть эти свойства заложены в природе человека. Очевидно, что у неживой материи эти свойства отсутствуют, так как в ней не происходит сравнения различных движений, хотя фиксация событий, как результат взаимодействия материальных объектов и может иметь место. Сравнивать движения может только мыслящая материя, в частности, человек. Это дает ему большие возможности для существования в непрерывно изменяющемся мире, дает возможность оценивать и предвидеть развитие событий, прогнозировать свои действия.
В свете всего сказанного можно утверждать, что поскольку движения во времени нет, реальное движение материи может происходить только в пространстве.
В связи с тем, что существуют действительные движения и квазидвижения, возникает вопрос, можно ли использовать квазидвижения в качестве эталонных для измерения времени? Для примера рассмотрим механические стрелочные часы и электронные часы со световой индикацией в виде движущихся стрелок. В первом случае имеет место реальное перемещение стрелок в пространстве, во втором – квазидвижение, так как движутся не реальные стрелки, а их образ. Однако, время можно измерять как первыми, так и вторыми часами, то есть в качестве эталонного можно использовать любое движение. Такой результат можно объяснить тем, что все квазидвижения обусловлены реальными движениями материальных объектов.
Для характеристики любого движения временем можно использовать в качестве эталонного любое движение, в том числе и само исследуемое движение. Так, например, время одного оборота Земли измеряется одним оборотом Земли (сутки); общественно-историческое движение измеряется как единицами, связанными с вращением Земли, так и единицами, связанными с самим общественно-историческим движением (например, общественными формациями).
Так как движение материи характеризуется многими свойствами [4, с.94], то для измерения времени можно использовать события эталонного движения, обусловленные изменением какого-либо одного свойства движения.
Однако, возникает вопрос: если для измерения времени используется только часть свойств движения, то можно ли говорить, что время это эталонное движение?
В связи с этим необходимо несколько подробнее рассмотреть вопрос о сущности движения.
Для начала рассмотрим так называемое механическое движение, то есть движение, связанное с перемещением объектов в пространстве. Это движение не является простым по своим свойствам [4, с.138]: происходит не только смена положений по отношению к другим телам, но и обмен энергией при взаимодействии с другими телами (например, с помощью тяготения), изменения свойств самого движущегося тела, являющиеся результатом внутреннего развития (движения) и т.д.
Следует, однако, отметить, что каждое из перечисленных свойств механического движения, по сути дела, является результатом различных движений, или, точнее, результатом движений различных материальных объектов. Так, само тело, как единое целое, перемещается в пространстве по отношению к другим телам, обмен энергией будет происходить только при наличии перемещения или самого тела или составляющих его частей (электромагнитные, гравитационные и другие взаимодействия), внутреннее развитие тела обусловлено движением в пространстве составляющих его частиц, причем внутреннее движение может быть и не связано с движением самого тела как единого целого.
Таким образом, все перечисленные свойства механического движения являются результатами перемещения в пространстве не только самого тела, но и перемещений составляющих его частиц, то есть результатом разных движений. События же, обусловленные этими движениями, накладываются друг на друга и создают впечатление единства, то есть относятся нами к механическому движению самого тела.
Поэтому можно сказать, что для измерения времени мы используем не какие-то отдельные свойства некоторого механического движения, а само движение на уровне или целого материального объекта или составляющих его частей, которое мы воспринимаем в виде определенных событий.
Принято считать, что существуют различные формы движения материи [4, с.138], зависящие от специфики материальных объектов, наличия общих законов для каждой формы движения, закономерностей исторического развития материи. Выделяются три основные группы форм движения материи: в неорганической природе, в живой природе и в обществе. В каждой из этих групп может быть множество форм движения, например, в неорганической природе: пространственное перемещение, движение элементарных частиц и полей (электромагнитные, гравитационные, сильные и слабые взаимодействия и др.), движение и превращение атомов и молекул, изменения в структуре макроскопических тел, геологические формы движения, изменения космических систем и т.п.
Таким образом, наряду с перемещением объектов в пространстве, как одной из форм движения материи, выделяются и другие формы движения.
Все известные нам виды (формы) материи состоят из множества других более мелких материальных объектов, совокупность которых и их свойства определяют и вид материального объекта и его свойства. Собственно, по характеру этой совокупности и свойствам мы и определяем вид материального объекта. Поскольку число комбинаций частиц и их свойств бесконечно, то и бесконечно число форм существования материи. Что касается человеческого общества, то оно представляет собой совокупность людей, сознательная деятельность которых и определяет все его свойства и обусловливает его сложность.
Свойства всех материальных объектов изменяются, что и дает нам основание говорить о различных формах движения материи в соответствии с различными формами существования материи. Вполне очевидно, что эти изменения обусловлены пространственными перемещениями как самих объектов, так и совокупностью пространственных перемещений составляющих их частиц, взаимодействием (тоже пространственным) между различными объектами и их частями.
Следует отметить, что изменение каждого свойства материального объекта обусловлено своей комбинацией пространственных движений составляющих его частей и частиц, то есть своим, отличным от других движением.

Поэтому по отношению к любым формам движения материи можно сказать, что для измерения времени мы используем не какие-то отдельные свойства некоторого движения, а само движение, каким бы сложным оно ни было. При измерении времени мы используем однотипные события, соответствующие определенному эталонному движению, которые можно характеризовать одним параметром: в механических часах – это угол поворота стрелки относительно корпуса, в атомных часах – число излучений, в общественно-историческом движении – это число поколений, число социальных эпох и т.п. Поэтому время и кажется нам одномерным. Следует также отметить, что механическое перемещение объекта в пространстве как единого целого является простейшим эталонным движением.
Но если время есть движение, то почему же люди до сих пор сомневаются в этом, хотя на связь времени с движением указывали Аристотель, Ньютон, Лейбниц, Фейербах и другие ученые и философы? В чем же заключается сложность для понимания сущности времени, даже его таинственность?
Одной из причин такого восприятия времени является субъективность нашего ощущения движения. Человек ощущает движение как в пространственном, так и временном аспекте. Действительно, если человек даже не движется, он все равно ощущает движение в окружающем мире и внутри себя, движение своей мысли, ощущает себя как особую личность, как отдельную индивидуальность. Так как не все движения воспринимаются нами как пространственные, то они и дают нам ощущение движения во времени, которое развивается от прошлого через настоящее к будущему, возникает ощущение длительности движения, причем настоящее воспринимается нами как неуловимая черта, разделяющая прошлое и будущее, непрерывно переходящая в будущее. В связи с таким  ощущением движения во времени время воспринимается нами как нечто таинственное, непрерывно текущее в одну сторону – как река времени. Это происходит потому, что мы не осознаем сущности своего действительного движения как материального тела, не понимаем, что наше движение происходит только в пространстве и что мы существуем только в настоящем (как и вся материя). Образно это положение можно представить как траекторию движущейся точки, которая всегда находится на конце этой траектории (более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже). Будущее же мы не знаем, мы его можем только прогнозировать на основании нашего опыта. Все наши действия и поступки, по сути дела, основаны на модели поведения, имеющейся в нашем мозгу, причем эта модель непрерывно корректируется в зависимости от внешних воздействий. Модель поведения имеет вероятностный характер, поскольку имеется много вариантов возможных решений той или иной проблемы, так как одного и того же результата можно достичь различными способами, а сделать безошибочный выбор не всегда представляется возможным ввиду недостатка информации. Отсюда вытекает определенная недетерминированность поведения  живых существ в отличие от неживой природы. В обыденной жизни получаемая нами информация об окружающей среде с помощью органов чувств дает нам возможность достаточно достоверно ориентироваться в обстановке и предвидеть последствия наших действий. И вот эта способность прогнозировать наше поведение на основе «привязки» происходящих событий к движению внутри мозга, о чем уже говорилось выше, ощущение этого внутреннего движения является одной из главных причин для ощущения времени как объективной реальности, которое течет независимо от нас. Это свойство времени положено Ньютоном в основу его сущности [11, с.61-62]: «Абсолютное истинное или математическое время само по себе и в силу своей внутренней природы течет одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему и иначе зовется длительностью; относительное, кажущееся или обычное время представляет собой некоторого рода чувственную, или внешнюю (каким бы оно ни было точным или несравнимым) меру длительности, определяемую с помощью движения, которое обычно используется вместо истинного времени: это час, день, месяц, год… Возможно, не существует такой вещи, как стандартное движение, посредством которого время можно точно измерить. Все движения могут быть ускоренными или замедленными, но истинный, или стандартный процесс течения абсолютного времени не подвергается никаким изменениям. Длительность или возраст существования вещи остается одним и тем же независимо от того, быстры движения или медленны или их нет вообще…».
С развитием науки в соответствии с различными формами движения материи появились и разные виды времени, что еще больше усложнило возможность понимания его сущности, так как понятие времени стало многозначным. В действительности же устанавливается прямое соответствие между разными формами движения и видами времени. Запутывает существо дела и наличие разных единиц измерения, которые могут применяться как к разным, так и к одному и тому же движению. Но с другой стороны, несмотря на  многозначность времени и различие его единиц, есть между ними и существенная общность, которая заключается в их счетности, что приводит к восприятию времени как некоей абстракции, так как мы длительность, то есть действительное количество эталонного движения, подменяем числом эталонных событий, с помощью которых она измеряется, в результате чего реальное движение заменяется абстракцией.
Не считая время движением, мы при этом переносим на него свойства движения. Так, неуничтожимость и бесконечность, непрерывность и бесконечная делимость, необратимость и направленность, причинность являются свойствами любого движения материи. Но к свойствам времени относятся также и свойства, характеризующие физико-математические модели реальных процессов, такие как симметрия, одномерность, однородность, связь с пространством, зависимость от скорости и др., что еще больше затрудняет понимание действительной сущности времени.
Житейское, обыденное понимание времени также накладывает свой отпечаток на проблему времени. Мы, по сути дела, рассматриваем время как совокупность происходящих вокруг нас личных и социальных явлений и событий, всех видов и форм движения. Так, мы говорим, что «такое сейчас время», «сейчас другое время», говорим, что нам «не хватает времени», имея в виду определенное количество и определенную интенсивность нашего биологического движения, возможность совершить только определенное количество движения. Мы ощущаем движение во времени по ожидаемым событиям, то есть время для нас или долго тянется или быстро бежит. В данном случае происходит «накладка» ожидаемых событий на наше внутреннее движение, количество которого и определяет длительность ожидания. И еще, что убеждает нас в существовании времени, это такие понятия как прошлое, настоящее, будущее и , особенно, вечность. Ведь, действительно, прошлое существовало и будущее есть, и вечность существования материи тоже не вызывает сомнения. Если время является движением, то как с этой точки зрения объяснить смысл этих понятий?
Наш опыт показывает, что все изменяется в окружающем нас мире, все имеет свое начало и конец, а точнее сказать, одна форма движения материи переходит в другую. Эти изменения, как уже отмечалось ранее, обусловлены движением материи в пространстве, которое никогда не прекращается, это движение происходило до нас, существует при нас и будет существовать после нас. За точку отсчета движения мы берем свое существование (или любую другую), поэтому и возникают понятия прошлого, настоящего и будущего. И поскольку любое движение мы измеряем с помощью эталонного, выбирая определенные единицы длительности, то число этих единиц для непрекращающегося движения материи будет равно бесконечности как в прошлое, так и в будущее, что мы и трактуем как вечность существования материи. На самом же деле это понятие характеризует бесконечность движения, его беспрестанность и неуничтожимость. Что же касается самой материи, то можно сказать, что время для нее смысла не имеет, так как она не исчезает и не появляется, она просто есть. Состояние материи непрерывно изменяется, благодаря ее движению в пространстве, в каждый момент движения будет свое состояние («мгновенный снимок»). В связи с этим возникает вопрос о смысле понятия настоящего. Если смысл понятий прошлого и будущего нам ясен, то понятие настоящего вызывает затруднение. Так, считается еще со времен Аристотеля, что настоящее является лишь границей, разделяющей прошлое и будущее, не имеющей никакой длительности, чем-то зыбким и неопределенным. Однако, можно утверждать, что на самом деле материя существует только в настоящем (в данный момент движения). Действительно, с одной стороны настоящее мгновенно, то есть не остается прежним в следующее мгновение, а с другой стороны оно состоит из этих мгновений, двигается вместе с ними, оно как бы «привязано» к ним, то есть существует всегда. Ниже, на примере дифференцирования и интегрирования функций, являющихся математическими моделями движения, будет показано, что движение складывается из бесконечной суммы нулей (мгновенных положений). Можно также заметить, что движение происходит в момент изменения состояния: то, что было, уже не изменяется, а то, что будет, еще не изменяется.

Ну, и конечно, следует отметить психологическое влияние общепринятого взгляда на время как на особую объективную реальность, как форму существования материи, которую мы еще не познали, а самое главное – отсутствие четкого определения такого важного понятия как движение.
Для лучшего понимания сущности движения рассмотрим его свойства на математических моделях движения. В самом общем виде математическая модель любого движения может быть представлена в виде функциональной зависимости:
,                                                                                            (1)
где аргумент x является математической моделью эталонного движения, которое может быть любым движением, в том числе и временем, y – в общем случае переменная величина, характеризующая рассматриваемое нами движение в виде определенных его свойств, изменяющихся в соответствии с изменением аргумента x. Этими свойствами могут быть перемещение по координате, скорость, какие-то сопутствующие ему явления. В общем, можно сказать, что математическое выражение представляет, по сути дела, сравнение двух движений. То же самое можно сказать и о графическом (геометрическом) представлении этой зависимости. В связи с этим следует отметить, что кривые на графиках не являются моделями траекторий действительного движения в пространстве, так как такие модели могут быть представлены только в пространственных координатах с движущейся точкой, вычерчивающей эту траекторию, что представить в статической форме невозможно, если рассматривать сам процесс движения.
Зависимость является также способом задания движения переменной y путем задания движения аргументу x, то есть эта зависимость будет также и моделью квазидвижения, так как к эталонному движению можно привязать изменение каких-то физических величин, например, массы, объема, температуры и т.п.
Так как функциональная зависимость представляет собой сравнение двух движений в виде изменения их определенных свойств, это обстоятельство можно использовать для выяснения свойств этих движений, выяснив сущность таких математических операций как дифференцирование и интегрирование функций.

В настоящее время существует две версии для объяснения сущности дифференциального и интегрального исчисления. Одна из них, идущая, по сути дела, от основателей математического анализа, использующая понятия предела и бесконечно малой величины, стремящейся к нулю, и другая – использующая так называемые гипердействительные числа и ненулевое выражение бесконечно малой величины. Первая версия относится к классическому анализу, вторая была разработана в 1961

году математиком-логиком Робинсоном и является основой так называемого нестандартного анализа. Наличие двух версий говорит о неблагополучном положении с обоснованием математического анализа, с самим его фундаментом.
В классическом анализе производная от функции определяется посредством выражения:
,                                                                    (2)
где - обозначения производной, - приращение независимой переменной (аргумента) от некоторой точки , - приращение функции, для которой находится производная, и - значения функции в точках и . Таким образом, производная определяется как предел отношения при .
Производная также определяется и отношением:
,                                                                                                              (3)
где dy - дифференциал функции , а - приращение независимого переменного (аргумента) x, причем это обозначение вводится только с целью достигнуть симметрии в записи отношения [12, с.152], однако dx можно также назвать дифференциалом независимой переменной x. Дифференциал же в свою очередь определяется через производную:
.                                                                    (4)

Поскольку , то и дифференциал dy также не должен равняться нулю. Следовательно, производная является отношением конечных величин. Если , дифференциал dy отличается от приращения функции . Разница между ними хорошо видна из рис. 1, где – касательная к кривой в точке

M с координатами и .
Как следует из выражения (2) приращение аргумента (независимой переменной) при взятии производной стремится к нулю, а сама производная является при этом пределом отношения . Приращение функции (см. рис.1) также стремится к нулю. Получается, что производная определяется отношением очень маленьких величин, близких к нулю. Их стали называть бесконечно малыми величинами. Под ними понимаются переменные величины, предел которых равен нулю.
Чтобы лучше понять суть дифференцирования и смысл бесконечно малых величин, рассмотрим дифференцирование одной из простейших функций:
(5)
Сперва задаются приращением аргумента и находят новое значение функции:
,                                                                        (6)
затем вычитая выражение (5) из выражения (6), находят приращение функции :
(7)
Производную определяют с помощью выражения (2):
(8)
Как следует из приведенного выражения для получения производной не принимается во внимание (отбрасывается) или в силу своей малости (и тогда есть некоторая ошибка) или потому что должна равняться нулю. Вся математическая практика показывает, что ошибкой быть не может. Если же , то выражение для производной в пределе получает странный вид:
,                                                                                                 (9)

который у математиков вызывает резкое неприятие. Математики, по мнению А.Н. Колмогорова, считают такое представление вульгарным [13, с.103]. Но тогда какой же смысл заложен в понятии бесконечно малой величины, суть которой заключается в ее стремлении к нулю? Ведь к нулю можно стремиться, но так и не стать нулем. Если же принимается равным нулю, то ему не обязательно быть бесконечно малой величиной, а быть просто любой небольшой конечной величиной. В общем,

статус бесконечно малой величины не совсем ясен, считать же ее просто нулем математики не хотят, так как, по их мнению, это, как уже отмечалось, вульгарно и даже, как утверждает В.А. Успенский, просто не интересно [14, с.9]: «Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое же число следует называть бесконечно малым? Во-первых, конечно, нуль! Но это не интересно – интересно найти бесконечно малое число, не равное нулю (например, положительное)».

Те же сомнения можно высказать и в отношении дифференциалов dy и dx, так как ничего не говорится об их стремлении к нулю, хотя и утверждается, что dx тождественно . Исходя из определения дифференциала, можно утверждать, что выражение производной через отношение конечных величин (пусть и бесконечно малых) dy и dx приводит к замене любой функции на участке dx линейной зависимостью (касательной в точке M), что тоже требует определенных объяснений: на каком основании мы некоторую функцию заменяем другой и при каких значениях dx такая замена допустима? Если же dx будет стремиться к нулю, то выражение производной будет также иметь вид, аналогичный выражению (9).
Таким образом, приращение аргумента выполняет две различные функции в дифференциальном исчислении: во-первых, это так называемая некоторая бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю, и, во-вторых, это дифференциал dx, который является хоть и малой, но конечной величиной. Такое положение, конечно, не прибавляет нам уверенности в том, что мы правильно понимаем сущность дифференциального исчисления.
Теперь рассмотрим сущность интегрирования в современной трактовке. Интегралом от функции называется выражение:
,                                             (10)
где - интервалы, на которые разбивается конкретная величина, характеризующая область изменения независимой переменной x (интервалы, в принципе, могут быть разными), - значение функции в точках, лежащих в пределах интервалов, n – число интервалов, на которые разбивается независимая переменная в рассматриваемой области ее существования, которое в пределе стремится к бесконечности, a и b – конечные точки (границы) этой области.
Как видим, и здесь встречается величина , которая явно стремится к нулю при , и дифференциал dx под знаком интеграла, по определению равный . Но в выражениях интеграла через сумму Σ и через стилизованный знак суммы ∫ значения и dx не должны быть равны, так как , а dx, по определению, нет, иначе дифференциал dy будет равен нулю.
Таким образом, как в дифференциальном, так и интегральном исчислении существуют одни и те же неясности. Это обстоятельство заставило некоторых современных ученых продолжать работу над обоснованием математического анализа. В 1961 г. появилась статья А.Робинсона «Нестандартный анализ» в Трудах Нидерландской академии наук, в которой он дал новое определение бесконечно малой величины, причем эта величина у него является постоянной, а не переменной, как в классическом анализе. С помощью нового понятия бесконечно малой величины он дал непротиворечивое обоснование дифференциального и интегрального исчисления. Мы не будем обсуждать довольно сложные понятия нестандартного анализа, с логической точки зрения они, вероятно, справедливы, только покажем, что же принимается за бесконечно малую величину. Так, популяризатор нестандартного анализа В.Успенский в журнале «Наука и жизнь» приводит пример такой величины в виде бесконечной последовательности следующих чисел [15, с.49]:
(11)
Как видно из приведенного выражения бесконечно малая величина уже не выражается обычным числом, а только их совокупностью в виде определенной последовательности. Кстати, в нестандартном анализе и все другие величины также выражаются определенными последовательностями. Так, например, единица будет представляться последовательностью единиц:
1, 1, 1, 1,…                                                                                            (12)
Такие представления величин называются гипердействительными числами. Мы считаем, что использование такого приема для обоснования математического анализа является с математической точки зрения, может, и логически правильным, но зато совсем не отражающим физического смысла самого дифференциального и интегрального исчисления, и приводящего к еще большей путанице. Чтобы доказать справедливость данного утверждения, мы дадим свое обоснование математического анализа с использованием обычных действительных чисел.
Чтобы понять смысл дифференциального и интегрального исчисления, обратимся сперва к понятию скорости обычного перемещения в пространстве. Скорость, как известно, определяется отношением пути S, пройденного материальным объектом (телом), к соответствующему интервалу времени τ:
(13)

Это, конечно, есть средняя скорость движения на данном участке пути, и чем меньше мы будем брать интервал времени движения, тем ближе будет это значение скорости к ее мгновенному значению.
Выше было показано, что время есть выбранное нами эталонное движение. В принципе за эталонное можно взять любое движение. Для примера рассмотрим движение двух путников, идущих в одном направлении по одной и той же дороге. Один из путников идет быстрее, другой медленнее, поэтому при одномоментном начале движения они пройдут различные пути до отсчета следующего момента движения. Сравнить их движение можно, взяв отношение пройденных расстояний:
(14)
Что же представляет собой это отношение? Во-первых, оно показывает во сколько раз путь одного путника больше пути другого путника. Но это, однако, не все. Ведь пройденный каждым путником путь пропорционален скорости их движения. Поэтому, во-вторых, это отношение будет равно отношению скоростей движения путников:
,                                                                                           (15)
где скорости определяются в соответствии с выражением (13). Но и это еще не все. Движение одного из путников, например, второго, можно принять за эталонное. Тогда, в-третьих, отношение (13) определит скорость движения первого путника по отношению к движению второго путника:
(16)
В данном случае играет роль времени, а интенсивность движения (уже не скорость (!), так как у нас нет второго времени) второго путника будет эталонной. Ясно, что это будет средняя скорость движения первого путника на данном интервале движения, причем уже настоящая в ее физическом смысле.
Чтобы получить мгновенное значение скорости первого путника, надо брать все более короткие перемещения путников. Очевидно, что практически мгновенную скорость мы так и не сможем найти, так как это возможно только при нулевых перемещениях. Но теоретически это возможно представить, если установлена функциональная зависимость . Тогда мгновенная скорость определится отношением нулей:
(17)
Не будем сразу отвергать это выражение как «вульгарное» по выражению Колмогорова или как вообще не имеющее смысла. Ниже мы покажем, что это выражение, только представленное в другом виде, как это ни удивительно, широко применяется в математическом анализе.

Таким образом, в результате проведенного исследования, мы установили различные способы выражения скоростей движения материальных объектов при их реальном перемещении в пространстве. Естественно, что величины скоростей, определенные различными способами, будут различными. Так, скорости, определяемые выражениями (13) и (16), будут разными. В дальнейшем будет показано, что взаимодействие материальных объектов зависит не от абсолютных их скоростей, а от величины скорости в их относительном движении.
Рассмотрим математическое определение относительной скорости реального движения в пространстве, то есть скорость движения одного материального объекта по отношению к движению другого материального объекта. Для этого достаточно опытным путем установить функциональную зависимость , где x – перемещение одного из материальных объектов, принимаемое за эталонное, y - перемещение другого материального объекта. Перемещения y и x могут происходить в различных местах пространства, в различных направлениях по отношению друг к другу, но, несмотря на это, их взаимная связь может быть представлена графически в прямоугольной системе координат (рис.2). Эту зависимость мы условно можем представить как траекторию некоторой точки, являющейся математической моделью материального объекта, движущейся от начала координат в плоскости x-y. Причем движение в направлении оси x (в горизонтальном направлении) мы будем считать происходящим равномерно, то есть с постоянной скоростью, движение же вдоль оси y, то есть его вертикальная составляющая, будет зависеть от вида функциональной зависимости . Таким образом, траектория точки M будет представлять собой результат двух различных движений, одно из которых (равномерное) следует считать эталонным. Нас будет интересовать скорость движения точки в любом ее положении на траектории движения. Поэтому в качестве начала отсчета для определения скорости мы будем брать ту точку M на траектории движения, скорость в которой нас интересует, то есть от этой точки мы будем измерять перемещение исследуемого и эталонного движений, как это в действительности и происходит при определении скоростей движущихся объектов. Обозначим эти перемещения через и , причем вполне очевидно, что эти перемещения могут быть произвольными в некоторых пределах, допускаемых общей величиной перемещения. От этого будет зависеть только величина средней скорости, определяемой выражением:
(18)
Нас же, как уже отмечалось, интересует мгновенное значение скорости в выбранной точке M. Для нахождения мгновенной скорости мы, очевидно, должны уменьшать интервал , который в пределе должен равняться нулю. В итоге мы придем к выражению (17). В таком виде, конечно, мы его использовать не сможем. Поэтому операция определения скорости движения точки (дифференцирование) должна проводиться уже рассмотренным нами способом: берутся приращения и ,затем берется их отношение, после чего принимается равным нулю, то есть все делается так, как это и принято в современном анализе. Только при этом можно обойтись без понятий предела и бесконечно малой величины.
Однако, здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Когда мы берем отношение и затем приравниваем к нулю, мы должны прежде это отношение перемещений преобразовать в скорость, то есть получить новую функциональную зависимость y от x. Иначе при и будет равно нулю, а их отношение даст отношение нулей. Это очень существенный момент. Решить эту проблему можно путем или непосредственного деления на или путем разложения в ряд по целым степеням , например, по биному Ньютона или в ряд Тейлора. Один пример с функцией мы уже рассмотрели. В более общем виде для функции приращение функции:
(19)
можно разложит в следующий ряд Тейлора:
,                 (20)
где - первая, вторая и т.д. производные от функции в точке , - задаваемое приращение аргумента x, - бесконечно малая величина порядка выше n-го, характеризующая погрешность разложения.
Только после такого разложения можно поделить на и получить среднюю скорость движения, которая будет мгновенной при . Поскольку все члены кроме первого будут содержать в себе множитель , который при своем нулевом значении преобразует эти члены в нули, то выходит, что величину производной от функции определяет только первый член разложения приращения функции , и поэтому ее разложение может быть не точным, а приближенным, причем будет достаточно только одного первого члена разложения. Это значительно упрощает задачу дифференцирования функций.
При дифференцировании функций в большинстве случаев удобнее, однако, разлагать в ряд функцию по степеням . Тогда первый член этого разложения будет сокращаться с функцией , а второй определит производную после деления на .
При выполнении операций дифференцирования через отношение приращений функции и аргумента несомненно, что приращение аргумента необходимо принимать точно равным нулю. Утверждение, что только стремится к нулю, ничего, по сути дела, не меняет. Математическая практика показывает, что члены с при вычислении производной отбрасываются не как очень маленькая погрешность, а именно как нулевые величины. Считая, что это действительно так, посмотрим на выражение производной через отношение дифференциалов:

Как уже отмечалось, при это выражение будет определяться отношением нулей, то есть:

Но тогда возникает вопрос: для чего нужно вводить понятие дифференциала? Что это нам дает? Попробуем с этим разобраться. Во-первых, отношение дифференциалов является символическим обозначением мгновенной скорости движения или производной от функции , представляющей зависимость y от x. Во-вторых, такое представление нулей дает возможность показать наличие движения раз есть функциональная зависимость одной величины от другой. Это очень важный момент и очень важная функция, которую выполняют данные обозначения и которая в дальнейшем нам потребуется для обоснования законов механики. Важно показать именно наличие движения, то есть не застывшее мгновение, а непрерывное движение от точки к точке. В-третьих, символы dy и dx удачно используются как символы в интегральном исчислении, ведь обозначение интеграла в виде:
,
является чисто символическим, где dx, как будет показано ниже, является символом нуля. В-четвертых, эти символы могут быть использованы как аналоги приращения функции и аргумента, что дает возможность оставаться все время на символических позициях. Так, например, мы можем умножать и делить математические выражения на dx и dy, считая их конечными величинами, а не нулями. С нулями мы бы не решились так оперировать. Однако, что совсем удивительно, никакой ошибки при этом не возникает. Мы также можем брать дифференциалы от различных величин, а отношение дифференциалов рассматривать как производные. Такая широкая возможность использования дифференциалов как символов нулей делает очень ценным их изобретение. Огромная заслуга Лейбница в этом несомненна. Однако, надо четко понимать истинную сущность этих символов. Непонимание этой сущности привело к тому, что в течение трех столетий математики не имеют достоверного обоснования дифференциального и интегрального исчисления.

Таким образом, мы рассмотрели физическую сущность производной. При реальном движении объектов в пространстве это будет скорость их движения, как принято ее определять в механике. Но ведь функциональная зависимость может устанавливать связь не обязательно между действительными движениями материальных объектов в пространстве, но и между двумя любыми зависящими друг от друга величинами, которые можно рассматривать как квазидвижения, например, зависимость массы от объема, момента инерции от размеров тела и т.п. Какой же смысл в этом случае будет иметь производная? Математики говорят, что это как бы скорость, то есть это не настоящая скорость, а какой-то ее аналог. Мы считаем, что это будет действительно скорость,

характеризующая изменение одной величины по отношению к другой величине, просто это будет другая скорость. Чтобы отличать все другие скорости от реальных скоростей, обусловленных перемещением объектов в пространстве, скорости, не являющиеся реальными, можно называть квазискоростями.
При исследовании операций дифференцирования, мы установили, что эти операции возможны только при наличии движения и характеризуют мгновенное значение скорости в конкретной точке этого движения. Следовательно, можно утверждать, что движение объекта происходит от точки к точке, от одного мгновенного положения к другому мгновенному положению, символом которых является нуль.
Сущность движения станет еще более ясной после выяснения физической сущности интегрирования. Для этого рассмотрим, как и при выяснении сущности дифференцирования, действительное движение материального объекта в пространстве. Средняя скорость этого движения на каком-то отрезке пути определяется выражением:
,                                                                                           (21)
где - приращение пути; - соответствующее изменение времени, причем и и являются хотя и малыми, но конечными величинами, которые могут иметь вполне конкретное значение. При выполнении операции интегрирования мы считаем известной скорость движения и по этой скорости находим перемещение объекта:
(22)
С помощью этого выражения мы, очевидно, находим небольшое (элементарное) перемещение объекта при небольшом (элементарном) времени движения на каком-то участке пути, то есть отсчет перемещения в принципе может производиться от любой произвольной точки, характеризующей положение материального объекта. Очевидно, что такую операцию, то есть определение небольшого перемещения объекта, можно проделать для различных его положений, а затем все результаты сложить. Тогда мы найдем перемещение объекта за какой-то выбранный интервал времени. Для того, чтобы решить эту задачу необходимо знать закон изменения скорости в функции времени на всем интервале движения. Зададимся каким-либо законом изменения скорости движения, например, в виде:
,                                                                                               (23)
тогда элементарное перемещение будет равно:
(24)
Для упрощения задачи будем рассматривать движение, начиная с нулевого перемещения объекта, то есть .
В выражении (24) скорость является мгновенной, а не средней, так как для каждого значения x будет известно точное значение скорости. Среднее значение скорости на любом интервале при заданном законе ее изменения в принципе можно легко найти. Для более сложных зависимостей это будет сделать труднее, но в этом, в общем, нет необходимости. Поэтому мы будем брать значение скорости на конце каждого интервала , тогда, естественно, значение перемещения будет несколько завышенным, то есть приближенным. Как мы скоро увидим, это не окажет влияния на правильность определения результирующего перемещения объекта в пространстве. При таком задании скорости на каждом интервале движения ее значение в соответствии с формулой (23) будет определяться выражениями:
(25)
Здесь суммируется от начала движения, то есть от нулевого значения времени.
Тогда соответствующие элементарные перемещения на каждом интервале движения будут равны:
(26)
Вполне очевидно, что результирующее перемещение определится суммой всех элементарных перемещений:
,                                  (27)
где сумма в скобках определяется известным выражением:
(28)
Тогда выражение (27) преобразуется к виду:
(29)
В этом выражении в скобках находится произведение на n, что представляет собой полную величину времени рассматриваемого движения, которую можно в общем виде обозначить через x. Тогда выражение (29) примет вид:
,                                                                               (30)
причем величина x не будет зависеть от числа делений n.
Как уже отмечалось, перемещение, определяемое этим выражением, является приближенным. Чтобы получить точное значение перемещения, интервалы , как это следует из выражения (30), надо взять равными нулю. В этом случае выражение (30) будет характеризоваться точной параболической зависимостью перемещения от времени:
(31)
Таким образом, мы доказали, что для определения можно брать скорость в конце интервала , в принципе же ее можно брать в любой точке интервала за исключением начального момента движения, когда эта скорость равна нулю.
Поскольку при нахождении результирующего перемещения y мы принимаем , то из выражения (29) следует необычный результат:
,                                                                           (32)
то есть аргумент x получается равным произведению нуля на бесконечность или бесконечной сумме нулей. Этот результат можно интерпретировать и так: поскольку произведение определяет время движения, то бесконечная сумма нулей, характеризующих мгновения движения, будет равна выбранному нами времени движения. Следовательно, произведение не есть некоторая неопределенная произвольная величина, а вполне конкретное в каждом рассматриваемом случае движения число, что является следствием принятого нами деления рассматриваемого интервала времени на n частей. Чем же можно объяснить такой нетривиальный результат? Ведь конечная сумма нулей всегда равна нулю, да и бесконечная тоже, если нули складываются в одну кучу. Это можно объяснить только одним – наличием движения объекта, происходящим с определенной скоростью.

Так как движение объекта характеризуется перемещением и временем, а время складывается, как мы видим, из отдельных мгновений (нулей), то каждому мгновению времени будет соответствовать свое мгновенное положение объекта в пространстве, бесконечная сумма которых и определяет его конечное перемещение. Конкретная же величина этого перемещения зависит от скорости и времени движения. К такому же заключению можно прийти и другим способом.
Действительно, в связи с вышеизложенным выражение для определенного интеграла можно представить в следующем виде:
,                                                                                     (33)
где , b и a – пределы интегрирования.
Поскольку при интегрировании необходимо принимать равным нулю, выражение (33) должно принять странный на первый взгляд вид:
(34)
Действительно, получается, что интеграл будет равен бесконечной сумме нулей. Какой же физический смысл заключен в этом результате? Будем рассуждать так. В выражении (33) представлена сумма произведений , которая для действительных скоростей и действительного времени представляет сумму некоторых небольших перемещений .
Поэтому выражение (33) можно записать так:
(35)
При бесконечном значении n перемещение становится равным нулю, а это значит, что действительное перемещение материального объекта будет складываться из нулевых перемещений, которые представляют собой мгновенные положения объекта в пространстве. Значит, полное перемещение объекта за какой-то промежуток времени будет складываться, как и время, из бесконечной суммы мгновенных положений.
Полученный нами результат является очень важным для всего последующего изложения. Не следует, однако, думать, что все это является чисто математической абстракцией и не имеет никакого реального смысла. Так, например, при качении колеса при отсутствии деформации его путь будет состоять из бесконечной суммы точек касания, то есть нулей, независимо от величины этого пути. И вообще, всякое перемещение в пространстве можно рассматривать как бесконечную сумму мгновенных положений любого материального объекта. Отсюда следует еще один интересный вывод: любой интервал движения, в том числе и время, можно делить до бесконечности, а это обстоятельство, в свою очередь, характеризует непрерывность движения.
Формулу (33) можно представить в еще более странном на первый взгляд виде:
(36)
О чем же может говорить это выражение? Имеется ли и здесь какой-нибудь физический смысл? Получается, что перемещение объекта, характеризуемое интегралом I, будет представлять собой, во-первых, бесконечную сумму нулей, о чем мы уже говорили, и во-вторых, что очень интересно, бесконечную сумму мгновенных скоростей на всем интервале движения, так как для каждого мгновения времени () будет существовать свое значение скорости . Правда, здесь можно усомниться: а действительно ли это будет так, ведь эта сумма умножается на нуль? Действительно, очень интересный и странный результат, однако и очень важный. Смысл этого результата станет нам яснее после рассмотрения геометрической сущности интегрирования.
И, наконец, выражение (33) может иметь и такой вид:
(37)
Очевидно, что выражение представляет собой среднее значение скорости объекта на всем интервале движения. Поэтому интеграл (37) можно записать в виде:
,                                                                                  (38)
что, в общем, давно известно.

Чтобы лучше понять сущность интегрирования, рассмотрим его геометрический смысл. Интегрирование, как и дифференцирование, устанавливает определенную связь между двумя зависимыми друг от друга величинами. Эту зависимость можно представить графически в прямоугольной системе координат x – y (рис.3).
В соответствии с нашей трактовкой сущности интеграла интегральная связь между величинами y и x будет определяться выражением:
,                                                                             (39)
где функция играет роль скорости, то есть является скоростью в действительном движении или в квазидвижении, то есть квазискоростью, произведение же является действительным или квазиперемещением на интервале , или величиной площади одного заштрихованного прямоугольника с основанием в данной системе координат (элементарная площадка), . Из выражения (39) и рисунка 3 следует, что площадь всех заштрихованных прямоугольников является приближенным значением интеграла. Но не следует думать, что интеграл (39) определяет площадь какой-то действительной поверхности в пространстве. Это не действительная площадь, а квазиплощадь в данной системе координат, поскольку зависимость произвольных физических величин мы графически представляем на плоскости.
Очевидно, что с уменьшением сумма площадей элементарных площадок будет все ближе и ближе приближаться к точному значению площади, ограниченной пределами a и b на рис.3. При этом элементарная площадка будет становиться все меньше и меньше, а число их будет неограниченно возрастать. Но до каких пределов может уменьшаться элементарная площадка? Может ли величина ее площади стать равной нулю? Для выяснения этого вопроса преобразуем выражение (39) следующим образом:

Из выражения (40,a) следует, что площадь всех площадок при будет равна бесконечной сумме нулей, так как при этом число n будет равно бесконечности. При этом бесконечная сумма нулей должна давать конечный результат, равный площади, ограниченной кривой , осью x и ординатами и , соответствующими началу и концу интегрирования, поскольку мы рассматриваем определенный интеграл.
Из выражений (40,b) и (40,c) следует, что при площадь фигуры равна произведению нуля на бесконечность, так как бесконечная сумма конечных значений будет равна бесконечности, то есть тоже получим бесконечную сумму нулей.
И, наконец, из выражения (40,d) следует, что площадь фигуры будет равна произведению разности на среднее значение функции на этом интервале.
Таким образом при и имеем:
для (40,a):

для (40,b,c):

то есть мы получили те же результаты, что и для действительных величин.
Сравнивая выражения (41,a) и (41,b), приходим к выводу, что произведение представляет собой бесконечную сумму нулей. Для того, чтобы понять геометрический смысл этого произведения, обратимся снова к выражению (40,b). Произведение на сумму можно представить геометрически в виде площадки с основанием и ординатой, равной сумме n ординат , при ее вертикальном расположении (рис.4). Площадь заштрихованной фигуры с основанием будет приближенно определять значение интеграла, причем, она будет все ближе приближаться к его точному значению при увеличении числа прямоугольников и, следовательно, с их уменьшением за счет уменьшения . При этом заштрихованная прямоугольная фигура будет становиться тоньше, а ее высота больше. Общая же площадь будет изменяться в меньшей степени, она будет только приближаться к площади криволинейной фигуры, ограниченной пределами a и b. При значениях основание прямоугольной фигуры будет равно нулю, а ее высота – бесконечности, и тем не менее ее площадь не будет равна нулю, а будет точно равна площади, определяемой кривой в указанных границах (заштрихованная криволинейная фигура). Элементарные площадки при этом вырождаются в геометрические линии, не имеющие толщины. Ясно, что сумма ординат, если их расположить по оси x, также образует плоскую фигуру, ограниченную кривой , поскольку площади у них равны. Таким образом, у нас получился неожиданный, но интересный результат. Кстати, математики давно натолкнулись на это свойство интегрирования, но не смогли его осознать. Может быть, этот результат будет яснее, если его представить в другом истолковании: так как при интегрировании задается скорость движения точки (объекта), то величина интеграла определяется площадью фигуры, описанной движущейся ординатой, величина которой изменяется в соответствии с характером подынтегральной функции .
Такое движение ординаты вдоль оси x, представляющей собой заданную скорость, действительную или характеризующую изменение какой-то величины, является равноценным, как мы это показали, суммированию бесконечного числа мгновенных значений ординат, расположенных на оси x, то есть по тому параметру, от которого зависит подынтегральная функция. Отсюда вытекает следствие: при суммировании бесконечного числа ординат, представляющих собой скорость изменения некоторой величины по параметру x, получается сама искомая величина, характеризуемая площадью и представляющая собой, как было показано выше, произведение двух величин – интервала интегрирования и среднего значения скорости, причем размерность этой величины отличается от размерности исходных величин. Это очень важный результат. Его можно перенести и на произведения реальных физических величин, которые можно рассматривать как суммирование одной из этих величин при ее непрерывном изменении по другой величине, принимаемой за аргумент. Может, лучше сказать, что произведение двух любых величин представляет собой в общем случае суммирование мгновенных значений одной из них при непрерывном изменении другой величины (аргумента). Например, произведение силы F, действующей на материальный объект, на перемещение объекта S дает работу, которую можно характеризовать как результат суммирования бесконечного числа мгновенных значений силы по S при непрерывном движении объекта, то есть при непрерывном изменении S. Этот важный вывод нам понадобится в дальнейшем при рассмотрении свойств силы.

Таким образом, получается, что суммируются силы, а получается работа, суммируются скорости – получается перемещение, то есть параметр, по которому производится суммирование, вносит свою размерность в результат суммирования. Теперь мы подошли к моменту, когда можно дать окончательный ответ на вопрос: что же такое интегрирование, какое определение можно дать этой математической операции?
В связи с вышеизложенным следует дать такое самое общее определение операции интегрирования, справедливое как для определенного, так и для неопределенного интегралов: интегрирование – это нахождение некоторой величины по известной скорости ее изменения. Поэтому выражения для интегрирования лучше представить в таком виде:
(42)
или в символической форме:
,                                                     (43)
где - искомая величина (функция), скорость изменения которой нам известна.
Если скорость изменения будет действительной скоростью при движении объекта в пространстве, то интегральная функция будет характеризовать его действительное перемещение.
Если будет мгновенным воздействием на объект со стороны другого объекта, то есть действующей на него силой F, то интеграл по перемещению дает изменение кинетической энергии объекта или работу силы F, интеграл же по времени даст изменение качества движения. Значит, сила F будет представлять собой скорость изменения кинетической энергии при перемещении объекта в пространстве или количества движения во времени. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже.
В этом заключается физическая сущность интегрирования. Математически же интегрирование – это суммирование некоторой функции по параметру x, геометрически – это нахождение площади фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и пределами интегрирования.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим несколько примеров.
Пример первый. Возьмем цилиндр с радиусом R и высотой H (рис.5). Объем этого цилиндра равен:
(44)
Нам надо узнать, как изменяется объем цилиндра с изменением радиуса r, то есть скорость изменения объема по координате r. Для этого мы должны выразить объем через текущую координату и взять по ней производную:
;                       (45)

(46)
Отсюда следует, что скорость изменения объема цилиндра по координате r определяется цилиндрической поверхностью радиуса r и высотой H (заштрихованная поверхность на рис.5). На первый взгляд мы получили странный результат: скоростью является поверхность. Однако, мы уже показали, что скорости могут быть как действительными, так и квазискоростями (в квазидвижениях). Здесь мы имеем дело с квазискоростью, она показывает изменение объема тела с изменением его радиуса. По этой скорости можно найти объем цилиндра, для чего надо задать движение цилиндрической поверхности в направлении радиуса, начиная с его нулевого значения. Вполне очевидно, что эта поверхность “опишет” весь объем  цилиндра. Можно также сказать, что бесконечная сумма мгновенных поверхностей при суммировании их по координате r даст нам объем цилиндра. Этот же объем мы можем легко найти с помощью интегрирования элементарного объема:

(47)
по координате r в пределах от 0 до R:
(48)
Как видим, эта операция легко производится в символических обозначениях, так как мы знаем связь между скоростью изменения подынтегральной функции и самой интегральной функцией , то есть имеем таблицу интегралов.
Пример второй. Для этого же цилиндра можно установить связь между его объемом и скоростью изменения объема по координате z (см. рис.6). Для этого возьмем производную по z от текущего значения объема:
,                                        (49)
в результате получим:
(50)
Получается, что скорость изменения объема по z определяется площадью круга радиуса R. Перемещение этого круга вдоль оси z опишет весь объем цилиндра.
При интегрировании мы берем элементарный объем:
,                                                                                    (51)
по которому и находим весь объем цилиндра:
(52)
Пример третий.  Найдем выражение, характеризующее скорость изменения площади круга по его радиусу r:
;                                                               (53)
(54)
Получается, что такой скоростью является окружность радиуса r. При заданном движении она опишет площадь круга.
Пример четвертый. Для прямой, расположенной под углом к оси абсцисс , скорость изменения ее длины будет равна:
,                                                                                               (55)
то есть прямая будет очерчена точкой, движущейся с этой скоростью (рис.7).
Пример пятый. При скорость изменения функции равна нулю, то есть никакого движения по оси y не происходит, но зато существует движение аргумента (эталонное) вдоль оси x. Это значит, что изменение аргумента x не влияет на величину y, так как между ними не установлена функциональная зависимость (рис.8).
Из приведенных примеров следует, что объем получается при движении некоторой поверхности, поверхность – при движении линии, линия – при движении точки.
Таким образом, мы рассмотрели физическую сущность операций дифференцирования и интегрирования функций, устанавливающих связь между переменными величинами, и пришли к выводу, что после соответствующих преобразований приращение аргумента , принимаемое сначала за некоторую небольшую конечную величину (но не бесконечно малую), должно затем приниматься равным нулю. В принципе в настоящее время дифференцирование и интегрирование практически так и осуществляется. Проблема заключается только в объяснении смысла этих операций.
Операции дифференцирования и интегрирования практически в современном виде известны более трехсот лет, и за это время математики не смогли понять их действительной сущности, хотя среди них были такие выдающиеся личности, как И. Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Иоганн и Даниил Бернулли, Лагранж. В чем же причина этого? Может, рассмотрение истории развития и обоснования математического анализа даст ответ на этот вопрос, поможет выявить причины, мешающие его пониманию.

Математические операции по определению скорости свободного падения тел, аналогичные уже рассмотренным нами в примере с функцией , были впервые проделаны Ферма (1601-1665 г.г.) в середине XVII века [16, с.153-155]. Все сделанные им выкладки являются правильными, если рассматривать их с наших позиций. Однако, с точки зрения математиков XVII века это было не так. Действительно, в рассуждениях Ферма есть непонятная величина : сперва она принимает некоторое значение, затем отбрасывается, то есть или считается нулем, или очень маленькой величиной. Нулем она, очевидно, быть не может по двум причинам: во-первых, она не будет изменять значение аргумента x, тогда какой же смысл ее вводить, и во-вторых, отношение будет выражаться отношением нулей, что тоже нелепо. Значит, это должна быть очень маленькая величина, а еще лучше – бесконечно малая. А вот что это такое – бесконечно малая величина – тоже не ясно. Поэтому такое исчисление назвали исчислением бесконечно малых. Ферма, дав способ нахождения скорости падения тела по его перемещению в пространстве, не дал ему никакого обоснования, тогда даже еще не было придумано название производной. Это был просто гениальный прорыв в неведомое. Ферма по праву может быть назван одним из создателей математического анализа.
Примерно в то же время начало разрабатываться понятие определенного интеграла на примерах вычисления площадей и объемов различных фигур и тел, хотя интегральные приемы использовались еще в Древней Греции. Одним из первых этим вопросом занялся Бонавентура Кавальери (1598-1647 г.г.). Покажем ход его рассуждений, приведя цитату из книги М. Клайна “Математика. Утрата определенности” [16, с.157]: “Кавальери считал, что площадь фигуры…состоит из бесконечно большого числа элементов, эти элементы он назвал неделимыми. Вполне возможно, что неделимыми могли быть отрезки прямых. У самого Кавальери не было ясности относительно того, что именно представляют собой его неделимые. Он лишь утверждал, что если площадь фигуры разбивать на все меньшие и меньшие прямоугольники,...то в конечном  итоге получатся неделимые. В одной из своих книг “Шесть геометрических упражнений” (1647), Кавальери “объяснил”, что рассматриваемая фигура состоит из неделимых, как, например, ожерелье из бусин, ткань – из нитей и книга – из страниц.
…не имея возможности объяснить, как из бесконечного числа элементов (неделимых) можно составить фигуру конечной протяженности, Кавальери пытался уйти от ответа на вопрос, отказываясь дать сколько-нибудь точную интерпретацию неделимых. Иногда он в довольно туманных выражениях говорил о бесконечной сумме линий, не объясняя явно природу бесконечности”.
Ферма тоже занимался проблемой определения площадей и объемов фигур. Цитирую М. Клайна дальше: “Получив выражения…для суммы площадей n прямоугольников и обнаружив в них члены вида и , Ферма отбросил их на том основании, что когда n обращается в бесконечность, эти члены пренебрежимо малы” [16, с.156-157]. М. Клайн по этому поводу замечает, что “в то время еще не было вполне ясно, что такое бесконечность”. Действительно, как можно было понять, что площадь фигуры, как утверждает Кавальери, складывается из линий, не имеющих никакой толщины, хотя их число и равно бесконечности. Мы тоже не уверены, что современные математики сразу согласятся с этим утверждением, хотя оно, как было показано выше, и справедливо. Более подробно с историей развития интегрального исчисления можно ознакомиться , например, по книге [17]. Мы же этот вопрос рассматривать не будем.
Наибольший вклад в создание и обоснование математического анализа в XVII веке внесли И. Ньютон (1643-1727) и Лейбниц (1646-1717), они даже оспаривали между собой приоритет в его разработке. Однако, как мы увидим дальше, их подход к обоснованию анализа был различным.
Точка зрения Ньютона на сущность дифференцирования с течением времени изменялась. Сперва он считал бесконечно малые величины постоянными или неделимыми (он называл их моментами), то есть стоял на тех же позициях, что и Ферма.
Затем Ньютон попытался дать более наглядное физическое обоснование анализу. В работе “Метод флюксий и бесконечные ряды” (1736) он рассматривает математические величины как “порождаемые посредством непрерывного возрастания, подобно пути, который описывает тело или какая-нибудь движущаяся вещь” и вводит “скорости порождающих их движений”, которые он назвал флюксиями [18, с.267].
“Я буду называть флюэнтами, или текущими величинами, величины, которые рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита v, x, y и z…Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюэнты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями или быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными, например, , , и ” [18, с.267-268].
Как видно из приведенной цитаты Ньютон понял необходимость введения движения для обоснования анализа, так как именно движение приводит к изменению величин, отношение которых и определяет производную. Движение же по необходимости приводит к понятию его скорости. Для определения скорости движения необходимо знать время этого движения. Что же понимал в данном случае под временем Ньютон? Приведем цитату из его книги “Математические начала натуральной философии” [13, с.107-108]: “Но так как мы здесь привлекаем к рассмотрению время лишь в той мере, в какой оно выражается и измеряется равномерным местным движением, и так как, кроме того, сравнивать друг с другом можно только величины одного рода, а также скорости, с которыми они возрастают или убывают, то я в нижеследующем рассматриваю не время как таковое, но предполагаю, что одна из предложенных величин, однородная с другими, возрастает благодаря равномерному течению, а все остальные отнесены к ней, как ко времени. Поэтому по аналогии за этой величиной не без основания можно сохранить название времени. Таким образом, повсюду, где в дальнейшем встречается слово время (а я его очень часто употребляю ради ясности и отчетливости), под ним нужно понимать не время в его формальном значении, а только ту отличную от времени величину, посредством равномерного роста или течения которой выражается и измеряется время”.
Таким образом, Ньютон сравнивал два движения и находил скорость одного из них по отношению к другому, то есть он, по сути дела, имел в виду квазидвижения, о которых уже говорилось. Очевидно также, что скорость движения можно найти не только с помощью отношения самих величин, но также и отношением их скоростей, если рассматривать два движения по отношению к третьему.

Ньютон четко сформулировал основные задачи исчисления: “По данному соотношению между флюэнтами определить соотношение между флюксиями” [18, с.268].
Теперь приведем пример Ньютона, рассмотренный им для объяснения сущности дифференцирования [19, с.148].
Пусть дано уравнение, говорит Ньютон:
(56)
Подставим в него вместо x и вместо y, где и - флюксии или скорости изменения флюэнт (переменных) x и y, а 0 – бесконечно малое количество. Произведения же и Ньютон называет моментами флюксий.
В результате получим:
(57)
Исключим отсюда члены, характеризующие исходное уравнение, так как их сумма равна нулю, затем после деления всех оставшихся членов на 0 получим:
(58)
Но поскольку 0 мы считаем бесконечно малым, то члены, которые умножены на него, суть ничто по сравнению с остальными, поэтому после их отбрасывания остается выражение:
(59)
Чтобы нам понять, что получилось у Ньютона, используем современные знания и продифференцируем исходное уравнение по какому-нибудь параметру, например, t. Тогда получим:
(60)
Обозначив и , придем к выражению (59), полученному Ньютоном.
А теперь проведем анализ приведенного Ньютоном примера. Во-первых, не ясно, что представляет собой 0. Во-вторых, непонятно, зачем надо делить на 0, а затем отбрасывать члены, в которых это 0 осталось. Ньютон назвал 0 исчезающей величиной, то есть бесконечно делимой. Ее суть можно понимать по-разному, ее можно считать и бесконечно малой величиной, и нулем. Это дало основание епископу Беркли критиковать основы анализа бесконечно малых. Он был убежден, что верные результаты получаются за счет компенсации ошибок. Это тоже не добавило ясности в сущность метода дифференцирования.
С наших позиций Ньютон должен был дать такое объяснение.
Имеется данная функция, даем приращение ее переменным величинам и , находим соответствующее приращение функции:

(61)
Приращения и следует выразить через некоторый параметр t следующим образом:
(62)
откуда
,                                                 (63)
где и - средние скорости изменения x и y при изменении параметра t на величину . Подставив значения и в выражение (61) и поделив его на , найдем отношение , которое при определит производную :
(64)
где и при .
Таким образом, мы получили тот же результат, что и Ньютон, но вполне логично. Если бы он сделал это так же, многих проблем можно было бы избежать. Тем не менее результат у Ньютона получился правильным. Давайте разберемся, в чем причина этого. Во-первых, подставив в исходное уравнение величины и и вычтя из полученного выражения исходное уравнение, Ньютон тем самым получил приращение функции при некотором дополнительном независимом параметре, приращение которого равно 0 (буква, а не нуль!). Во-вторых, Ньютон делит все члены на 0, то есть на приращение независимого параметра, о котором он не говорит, хотя и подразумевает. Обозначим его буквой t, тогда . Таким образом, Ньютон находит отношение . И, наконец, Ньютон делает последний правильный шаг: все члены с приращением 0 считает равными нулю, так как он их отбрасывает. В итоге получается производная по параметру t от исходной функции .

Ньютон, конечно, понимал недостаточную убедительность своих объяснений. Его мысль шла в поисках другого, более точного объяснения. Введя движение в качестве обоснования, он был уверен, что стоит на правильном пути: “Я рассматриваю здесь математические количества не как состоящие из очень малых постоянных частей, а как производимые непрерывным движением. Линии описываются…непрерывным движением точек, поверхности -–движением линий, объемы – движением поверхностей, углы – вращением сторон, времена – непрерывным течением и т.д.
Такое происхождение имеет место и на самом деле в природе вещей и наблюдается ежедневно при движении тел. Подобным образом древние объясняли происхождение прямоугольников, ведя подвижные прямые линии по неподвижным” [20, с.208].
Это также позволяло ему избавиться от бесконечно малых постоянных величин, смысл которых ему не был ясен.
В своей основополагающей работе “Математические начала натуральной философии” (1687) Ньютон дал обоснование анализу с помощью понятия о “первых и последних отношениях”. Под первыми отношениями он понимал отношения количеств взятых за некоторый интервал движения, последними отношениями он называл отношения количеств принимающих нулевые значения. Ньютон писал: “Эти последние отношения исчезающих количеств не являются в точностями отношениями последних количеств, а пределами, к которым постоянно приближаются отношения беспредельно убывающих количеств и к которым они приближаются более чем на любую заданную разность, но никогда не переходят через них и в действительности не достигают их ранее, чем эти количества не уменьшатся до бесконечности” [19, с.149].
Для разъяснения этого утверждения Ньютон обращается к его физическому смыслу [16, с.160]: “Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует “предельного отношения”, ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть “предельной” скорости, ибо та скорость, которую тело имело ранее, нежели оно достигло этого места, не есть “предельная”, когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под “предельною” скоростью надо разуметь ту, с которой тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, то есть именно ту скорость, обладая которой тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому, под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором исчезают” (подчеркнуто мной Б.М.).
Надо сказать, что объяснение примера с движением, данное Ньютоном не слишком удачно, так как в момент остановки скорость движения должна равняться нулю, мгновенно же она исчезнуть не может. О какой же тогда скорости и о каком движении говорит Ньютон? Он говорит об отношении величин, которые исчезают в выбранном положении (месте, точке), то есть становятся точно равными нулю. Это отношение Ньютон называет предельным отношением. Смысл высказывания Ньютона можно лучше понять, если подумать, откуда берутся исчезающие количества, являющиеся изменениеми функции и аргумента. Сами по себе эти количества появиться, а потом исчезнуть не могут, причем эти количества должны быть взаимообусловлены. Значит, эти количества задаются, то есть сообщается движение (изменение) аргументу и находится соответствующее движение (изменение) функции в выбранном положении, причем эти исчезающие потом количества не обязательно должны быть бесконечно малыми (см. приведенную выше цитату о непрерывности движения). Затем берется отношение этих количеств и определяется его значение при их исчезновении. Это предельное отношение Ньютон сравнивал со скоростью движения тела в момент его остановки, то есть по достижении крайнего места (см. цитату о первых и последних отношениях). В этом была, может быть, главная ошибка Ньютона, которая не позволила понять сущность дифференциального и интегрального исчисления вплоть до наших дней. Поэтому предельное отношение стали потом понимать как предел отношения двух переменных величин, стремящихся к нулю. Ньютон же понимал это отношение как скорость в данной точке, то есть предельную или мгновенную скорость движения, которая может быть найдена только при исчезновении самих величин, отношение которых рассматривается, поэтому он и говорил о предельном отношении. Но предельное отношение это не обязательно предел отношения двух величин. Под прекращением же движения следует понимать не прекращение самого движения вообще, а прекращение движения исчезающих количеств, которое им было задано. Однако, Ньютон не смог дать такого объяснения.
Ньютон понимал и прямо говорил, что отношения величин представляют собой скорость движения, причем первые отношения – это, конечно, средняя скорость, а последние отношения – мгновенная скорость, то есть скорость в данной точке. Если бы он еще сказал, что остановка движения условная, не настоящая, что движение тела не прекращается в выбранном месте, что это такой искусственный прием, используемый для нахождения скорости в выбранной точке, то, возможно, сущность дифференцирования была бы давно понята.
Как видим, Ньютон давал правильное объяснение сущности дифференцирования. Так почему же его не поняли современники и последующие поколения ученых? Причин этому можно выделить несколько.
Во-первых, Ньютон, введя движение в анализ, не рассмотрел его сущность, не сделал различия между действительным и квазидвижением, привлечение же в качестве примера действительного движения не было достаточно убедительным. Вследствие этого не была ясна и сущность скорости действительного и квазидвижений, которую Ньютон использовал для обоснования дифференциального исчисления. Иначе его первые и последние отношения не поняли бы только как предел. И, конечно, большую роль сыграло то, что Ньютон не знал сущности времени, иначе его объяснения были бы более четкими и ясными. Это, на наш взгляд, является основной причиной, которая существует и в настоящее время. Кроме того для современников Ньютона операции с переменными величинами и их отношениями считались несовместимыми с требованиями строгого геометрического доказательства.
Во-вторых, неясно было само понятие исчезающей величины, которая, очевидно, должна была быть бесконечно малой величиной. Математики же того времени считали, что такая величина может быть только постоянной, но никак не переменной. В общем, исчезающая величина была для ученых эпохи Ньютона очень странной и непонятной. Ньютон же не смог, хотя и пытался, дать убедительного объяснения и четкого правила дифференцирования, когда отношение малых, но не обязательно бесконечно малых величин, как это можно понять из слова “исчезающие”, становится равным отношению нулей.
В-третьих, отрицательную роль сыграло, можно сказать, символическое, почти мистическое обоснование анализа, данное современником Ньютона немецким ученым Лейбницем, позволившее, тем не менее, получать правильные результаты в очень удобной форме записи. Это обстоятельство, конечно, приводило к большим сомнениям и колебаниям при выборе из двух существующих обоснований одного правильного. На этом моменте мы остановимся подробнее.

Для обоснования сущности математического анализа Лейбниц ввел понятие дифференциала, наглядное представление о котором дано на рисунке 9. Лейбниц использовал характеристический треугольник PQR, в котором P и Q бесконечно близкие точки на кривой. Тогда dx – разность их абсцисс, а dy – разность их ординат. Кроме того, касательная к кривой в точке Т совпадает с дугой PQ. Следовательно, отношение задает угол наклона касательной. Лейбниц считал, что треугольник PQR подобен треугольнику STU, а стороны dx и dy – бесконечно малы. Поэтому отношение бесконечно малых , представляющее собой производную, он выражал через отношение конечных величин: TU/SU. Под бесконечно малыми он сперва понимал величины, отличные от нуля, но меньше любого заданного числа, то есть, по сути дела, постоянные величины, которыми можно пренебречь по сравнению с другими величинами. Однако, такое объяснение не удовлетворило Лейбница, поэтому он сформулировал принцип непрерывности [16, с.163]: “Если переменная на всех промежуточных этапах обладает некоторым свойством, то и ее предел будет обладать тем же свойством”. Этот принцип он использовал для доказательства того, что свойства характеристического треугольника не изменяются, то есть отношение дифференциалов будет одним и тем же, когда все стороны становятся равными нулю. Лейбниц делал вывод, что бесконечно малая – это не простой и абсолютный нуль, а нуль относительный, то есть исчезающая величина, которая, однако, сохраняет свойства той величины, которая собственно, исчезает. Так, в 1713 году Лейбниц писал в одном из своих писем [21, с.63]: “Бесконечно малую мы понимаем не как простое и абсолютное ничто

, а как ничто, обращенное назад…, то есть как бесспорно исчезающее в ничто, сохраняя, однако, характер того, что исчезает”. Этот принцип и справедливые следствия из него тоже не были поняты современниками и последователями Лейбница. Математики считали этот принцип чисто философским и не доказуемым, может потому, что производная при этом выражалась отношением нулей.
Лейбниц широко использовал понятие интеграла как суммы элементарных прямоугольников, число которых стремится к бесконечности. Для этой бесконечной суммы бесконечно малых величин Лейбниц ввел обозначение:
,
которое получило название интеграла. Такое символическое обозначение интеграла позволило Лейбницу вычислять бесконечные суммы путем обращения операции дифференцирования.
Таким образом, Лейбниц дал свое обоснование дифференциальному и интегральному исчислению, которое можно назвать символическим или операторным, так как дифференциалы переменных являются символами нуля, как по воззрениям Лейбница, так и по нашему мнению. Символическая форма записи позволила в сравнительно простой форме установить связь между дифференциальными и интегральными операциями, позволила обращаться с дифференциалами как с обычными алгебраическими величинами.
Однако, дифференциалы у Лейбница играли двоякую роль: они были символами и бесконечно малых, но конечных величин, и символами нуля. Лейбниц был вынужден идти на такое раздвоение сущности бесконечно малой величины, так как для определения производной не всегда было возможно использовать операторный (символический) метод, то есть приходилось использовать и отношение приращения функции к приращению ее аргумента.
Все это не способствовало убедительности и строгости в обосновании анализа в глазах математиков. Неуверенность математиков XVII-XVIII веков в основах анализа, шатание и разброд среди них по этому вопросу ярко характеризуется критикой основ анализа со стороны епископа Беркли (1685-1753). В 1734 году Беркли опубликовал сочинение под названием “Аналитик, или Рассуждение, адресованное одному неверующему математику , в котором исследуется, являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчетливо познаваемыми и с большей очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры”. В нем Беркли сетовал на загадочность и непонятность того, чем занимаются математики, поскольку, по его мнению, они никак не обосновывали и не объясняли своих действий. В свете того, что нами уже сказано о сущности исчисления бесконечно малых, можно утверждать, что Беркли не понял, да, очевидно, и не мог понять рассуждений и доказательств Ньютона. Так, он обвиняет Ньютона в том, что тот отбрасывает члены, содержащие , считая их равными нулю. Поступая так, утверждает Беркли, Ньютон допустил вопиющее нарушение закона противоречия. Такого рода рассуждения в теологии были бы признаны неприемлемыми. Беркли также заявлял, что первые флюксии, по-видимому, выходят за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного. “А если непостижимы первые [флюксии], то что можно сказать о вторых, третьих и т.д.? Тот, кто сумеет постичь начало начал или конец концов… возможно, окажется достаточно проницательным, чтобы понять подобные вещи. Но, по моему глубокому убеждению, большинство людей не в состоянии понять их в каком бы то ни было смысле…” [16, с.171].
По поводу предложенного Ньютоном представления о производной как об отношении двух исчезающих малых величин и , Беркли выразился так: “Они не конечные величины, не величины бесконечно малые, не ничто. Как же не назвать их призраками покинувших нас величин?”.
Беркли критиковал и Лейбница: “Лейбниц и его последователи…без тени сомнения сначала предполагают и затем отвергают бесконечно малые величины, что не может не заметить любой мыслящий человек, наделенный ясным умом и здравостью суждений и не относящийся к такого рода вещам с предвзятой благосклонностью” [16, с.171].
Цитируем далее М.Клайна [16, с.171-172]: “Отношение дифференциалов, утверждал Беркли, геометрически должно означать тангенс угла наклона секущей, а не касательной. Эту ошибку математики совершают, пренебрегая высшими дифференциалами. Так, “благодаря двойной ошибке вы приходите хотя и не к науке, но все же к истине”, потому что одна ошибка компенсирует другую. Неудовольствие Беркли вызвал и второй дифференциал Лейбница - “разность величины dx, которая и сама едва различима”.
“Можно ли назвать действия современных математиков, - спрашивал Беркли, имея ввиду подход как Ньютона, так и Лейбница, - действиями людей науки, если они с гораздо большим рвением стремятся применить свои принципы, нежели понять их?” “Во всякой другой науке, - утверждал Беркли, - люди доказывают правильность заключений, исходя из принятых ими принципов, а не принципы, исходя из заключений”.

Многие математики выступили с ответом на критику Беркли, но существенных результатов в обосновании анализа добился только Л. Эйлер (1707-1783). Для характеристики его взглядов приводим выдержку из книги М. Клайна “Математика. Утрата определенности” [16, с.172]: “В своем сочинении “Основы дифференциального исчисления”…Эйлер привел следующее рассуждение:
Каждая величина, несомненно, может уменьшаться настолько, что исчезнет полностью и растает. Но бесконечно малая величина есть не что иное, как исчезающая величина, и поэтому сама равна нулю. Это полностью согласуется также с определением бесконечно малых величин, по которому эти величины должны быть меньше любого заданного числа. Ясно, что такая величина не может не быть нулем, ибо если бы она была отлична от нуля, то вопреки предположению не могла бы быть меньше самой себя.
Такие бесконечно малые как dx (обозначение Лейбница), равны нулю, следовательно, равны нулю и т.д., утверждал Эйлер, потому что последние принято считать бесконечно малыми более высокого порядка, чем dx. Производная (в обозначениях Лейбница), бывшая для Лейбница отношением бесконечно малых, понимаемых в его смысле, для Эйлера, по существу, обращалась в неопределенность . Эйлер утверждал, что может принимать много значений, так как при любом числе n, и, разделив равенство на 0, мы получим . Какое именно значение принимает для вполне определенной функции, можно установить с помощью обычного метода вычисления производной. Эйлер демонстрирует это на примере функции . Придадим переменной x приращение . Пока , по предположению, не равно нулю… следовательно:

Там, где Лейбниц считал приращение бесконечно малым, но не равным нулю, Эйлер положил равным нулю, после чего отношение , то есть , оказалось равным 2x.
Эйлер подчеркивал, что эти дифференциалы (предельные значения и ) – абсолютные нули и из них нельзя извлечь ничего, кроме их отношения, которое и было вычислено в заключение и оказалось конечной величиной” .
Таким образом, с наших позиций, Эйлер рассуждал вполне логично и правильно. По существу он привел позицию Лейбница к ее логическому завершению, заявив, что дифференциалы есть нули. Но он был не совсем прав, когда утверждал, что имеет смысл только отношение дифференциалов. Мы уже отмечали, что с дифференциалами можно выполнять алгебраические операции как с обычными выражениями.
Но Л. Эйлера, к сожалению, тоже не поняли современники. И не только они. Вполне современный нам математик М. Клайн дальше пишет: “Разумеется, предложенное Эйлером обоснование метода нахождения производной было ничуть не более здравым, чем обоснования, предлагавшиеся Ньютоном и Лейбницем” [16, с.173].
Вот так!
Были еще интересные попытки обоснования анализа. Так Джон Ланден, английский математик-самоучка, в своем “Анализе остатков” в 1764 году [19, с.169] в ответ на критику Беркли полностью избегал бесконечно малых при взятии производной. Так, например, производную от он находил, заменяя x на :
(65)
Затем, возвращая к x, получал точное значение производной - . Таким образом, как и прежде, производная находилась как отношение приращения функции к приращению аргумента. Следует отметить, что такой способ нахождения производной является вполне оригинальным и действительно позволяет обходиться без использования бесконечно малых величин, хотя, как и в других случаях, в левой части этого выражения в итоге получается отношение нулей.
Следующую серьезную попытку обоснования анализа предпринял Лагранж. Он считал, что полученные с помощью анализа правильные результаты объясняются наложением и взаимной компенсацией ошибок. Свои идеи Лагранж изложил в книге “Теория аналитических функций” (1797). Подзаголовок книги гласил: “Содержащая основные теоремы дифференциального исчисления, доказанные без использования бесконечно малых, исчезающих величин, пределов и флюксий, и сведенная к искусству алгебраического анализа конечных величин”. Цитируем далее по М. Клайну [16, с.173]: “Критикуя Ньютона, Лагранж, в частности, указывал, что рассматривая предел отношения дуги к хорде, тот считал хорду и дугу равными не до и не после, а в момент исчезновения. В этой связи Лагранж заметил:
Такой метод чрезвычайно неудобен тем, что величины приходится рассматривать в тот самый момент, когда они, так сказать, перестают быть величинами, ибо, хотя мы всегда хорошо представляем отношения двух величин, покуда они остаются конечными, их отношение не дает уму никакого ясного и точного представления, коль скоро обе величины исчезают одновременно.
Лагранж не был удовлетворен ни бесконечно малыми величинами Лейбница, ни абсолютными нулями Эйлера, так как оба этих понятия, “хотя и правильны в действительности, все же недостаточно ясны для того, чтобы служить основанием науки, надежность выводов которой зиждется на ее очевидности”.
Лагранж считал, что строгим обоснованием сущности анализа является разложение произвольной функции в бесконечный ряд по степеням , в котором коэффициенты при представляют собой производные и т.д. По этому поводу можно сказать, что метод Лагранжа является  не обоснованием анализа, а способом вычисления производных.
И, наконец, завершающее, как считалось долгое время, обоснование анализа с помощью понятия предела дал Коши в его “Курсе анализа” (1821) и в его “Резюме лекций, прочитанных в Королевской политехнической школе” (1823), причем понятие предела было даламберовым. Бесконечно малое число он определяет как переменную величину, предел которой есть нуль, а величины и - как бесконечно малые количества.

Идеи Коши широко используются в современной математике. Однако, как уже отмечалось, не все ученые удовлетворены таким объяснением сущности математического анализа, что и привело к появлению уже упоминавшегося выше нестандартного анализа.
Приведем цитату из книги В.А.Успенского “Что такое нестандартный анализ?” [14, с.108]: “В статье А.Робинсона “Нестандартный анализ” были намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения (например, к аналитической механике). В этой статье Робинсон, в частности, писал: “Наша главная цель – показать, что эти модели дают естественный подход к старой почтенной проблеме построения исчисления, включающего бесконечно большие и бесконечно малые количества. Как хорошо известно, использование бесконечно малых, настойчиво защищаемое Лейбницем и без колебаний принимаемое Эйлером, было дезавуировано с появлением методов Коши, поставивших математический анализ на твердую основу”.
Далее В. А. Успенский замечает, что “до 1961 года понятие бесконечно малой постоянной величины, бесконечно малого числа третировалось в лучшем случае как нестрогое, а в худшем – бессмысленное. Робинсон впервые обнаружил, что этому понятию можно придать точный математический смысл”.
Таким образом, на сцене вновь появляется бесконечно малая величина в своем первозданном виде, то есть как неделимая, но уже только в другом обличье – как нестандартное бесконечно малое число, о котором мы уже говорили.
В кратком историческом экскурсе мы показали, что многие ученые стояли на правильных позициях в попытках обоснования анализа, причем ближе всех к разгадке его сущности находились Ньютон, Лейбниц и Эйлер. Но они не смогли убедительно завершить это обоснование. Что же помешало им и другим ученым сделать это? Теперь мы можем ответить на этот вопрос.
Из всего изложенного выше видно, что камнем преткновения, затрудняющим понимание сущности операций дифференцирования и интегрирования, является понятие бесконечно малой величины. Об это понятие спотыкаются все доказательства. При дифференцировании функций всегда берется отношение , где и , в сущности являются или действительными перемещениями объектов в пространстве или квазиперемещениями их моделей (точек). Это отношение для действительных перемещений мы считаем скоростью движения рассматриваемого материального объекта, так как за мы обычно принимаем время. Об этом говорил и Ньютон, имея ввиду начальные и конечные отношения. Но если будет не временем, а каким-то другим движением, то отношение все равно будет являться скоростью по ее принятому определению, только это будет средняя скорость. При попытке определить мгновенную скорость, то есть скорость в каком-то положении, или в какой-то момент времени, или при каком-то конкретном значении аргумента x мы приходим к смущающему нас результату: эта скорость будет определяться отношением нулей, так как величины и исчезают. Но тогда откуда же взяться скорости, если она определяется их отношением? Вот здесь следует задуматься над сущностью скорости. Что же это такое? И правильное ли определение мы ей даем? С одной стороны у нас, вроде, нет другого способа определения скорости как только через отношение и , с другой стороны это все-таки не мгновенная скорость в выбранном нами положении, а средняя скорость на интервале движения . Далее, если мы примем значения и равными нулю, движение от этого не остановится, то есть в рассматриваемое мгновение движения скорость имеет вполне определенное значение. А как тогда ее найти? Или какое ей дать определение? Очевидно, что отношение перемещений уже не годится. Тогда что же остается? Остается только, очевидно, взять отношение скоростей исследуемого и эталонного движений, как это делал и Ньютон, беря отношение флюксий и . Но скорость эталонного движения нам  не  известна  и  мы  никогда ее не узнаем. Поэтому скорость исследуемого движения будет условно выражаться в единицах скорости эталонного движения, а это отношение в случае движения никогда не будет равно отношению нулей. Но можно ли тогда скорость выражать отношением перемещений? Очевидно, можно, так как перемещения должны быть пропорциональны скорости. Поскольку скорость движения в общем случае является переменной величиной, то есть изменяется от одного мгновения (положения) к другому, то и отношение перемещений будет выражать среднюю скорость.
Попутно здесь возникает еще один вопрос: можно ли говорить о скорости эталонного движения, если мы ее не знаем? Но ведь эталонное движение существует и для него надо ввести какое-то понятие, аналогичное скорости. Мы предлагаем вместо скорости в этом случае говорить об интенсивности движения, которая подразумевает определенную быстроту этого движения, но отсутствие ее точного значения, что мы привыкли рассматривать как скорость. Значит, эталонное движение будет обладать определенной интенсивностью движения. То же самое можно сказать и о любом другом движении. И тогда мгновенную скорость можно точно определить как отношение интенсивностей рассматриваемых движений в данное мгновение движения или в данном положении движущегося объекта. Из этого определения вытекает важное следствие: интенсивность движения является более общим понятием, чем понятие скорости. В философском смысле это даже будет одним из основных свойств движущейся материи.
Таким образом, ничего страшного в том, что и могут принимать нулевые значения, нет. Нет также необходимости считать их бесконечно малыми величинами. Просто при дифференцировании мы задаем движение, принимая произвольные значения и находя соответствующие значения , а затем берем их отношение. Вот здесь появляется второй камень преткновения: что делать с правой частью отношения ? Если мы просто найдем разность , а затем примем равным нулю, то и будет равно нулю. Очевидно, эту разность надо преобразовать, то есть поделить на , получив при этом новую функцию, выражающую среднюю скорость движения. Это может быть сделано, например, путем разложения в ряд по степеням и затем последующего его деления на . И только после этого величину можно считать равной нулю. Не понимая этого, некоторые математики просто пытались избавиться от величин и .

Остановимся на этом моменте подробнее. Когда имеется функциональная зависимость , то для этой зависимости аргумент x может принимать любые значения в заданных пределах. Производная же ищется для конкретного значения аргумента x, от которого мы и задаем приращение , то есть начинаем, по сути дела, как бы новый отсчет аргумента от выбранного положения или, можно даже сказать, вводим новый аргумент. При этом изменение функции y тоже должно отсчитываться от выбранного значения аргумента x, то есть это будет уже другая, новая функция . Поэтому и возникает необходимость выражения этой функции от аргумента : . Эта зависимость может быть найдена только с помощью существующей функции , значения которой определяются по значениям аргумента (x и ):

Для нахождения производной эта новая функция должна быть выражена в зависимости от аргумента каким-либо способом. И только после этого можно брать отношение , представляющее собой среднюю скорость движения на интервале , и затем приравнять нулю , чтобы найти мгновенную скорость при выбранном значении аргумента x.
Таким образом, при нахождении производной, мы сперва задаем движение (), а затем снимаем его (), в этом и заключается сущность дифференцирования.
Резюмируя, можно сказать, что существенная ошибка всех математиков заключалась в непонимании сущности скорости движения. Но есть и другие причины, сыгравшие отрицательную роль. В первую очередь, это непонимание символики дифференциального и интегрального исчисления, введенной Лейбницем. Здесь имеется в виду понятие дифференциала, в связи с чем производная определяется отношением дифференциалов dy и dx. Никто, кроме Л.Эйлера, не мог согласиться с тем, что это символическое изображение нулей, хотя Лейбниц прямо говорил об этом. Поэтому никто из математиков Эйлера не поддержал и не стал развивать его идеи. Тем более, что с этими символами оперировали как с обычными выражениями: умножали и делили на них, возможность чего нельзя было представить для величин, равных нулю. Но, как это ни странно, такие операции оказались возможными. Это, очевидно, оказалось возможным потому, что здесь нуль является, скажем так, не обычным нулем, а числом, характеризующим движение, а именно его мгновенные положения, и даже перемещения объекта как совокупность мгновенных положений, что и было показано нами при исследовании сущности интегрирования. Введение дифференциалов дало возможность показать наличие движения или его возможность в заданном направлении, что невозможно было бы сделать с помощью обычных нулей. Это отмечал сам Лейбниц, введя принцип непрерывности, который лучше назвать принципом непрерывности движения.
Таким образом, второй существенной ошибкой всех математиков было непонимание сущности движения вообще. А это, в первую очередь, обусловлено непониманием сущности времени. Эти ошибки усугублялись и не разработанностью такого важного понятия как бесконечность. До сих пор математики спорят о сущности потенциальной и актуальной бесконечности, о их роли в математических операциях. Считалось, что актуальных, то есть существующих бесконечностей нет, а есть только возможные, так называемые потенциальные бесконечности. Эту причину можно считать третьим препятствием на пути понимания сущности дифференциального и интегрального исчисления.
Проблема бесконечности имела не только математический, но физический и даже философский характер, так как связана с проблемой возможности бесконечной делимости материи и ее движения, которая стояла перед учеными еще со времен Древней Греции. Эта проблема соотношения конечного и бесконечного не имеет окончательного решения до сих пор. Интересное и, на наш взгляд, правильное заключение по этому вопросу, подтверждающее наши выводы, с философских позиций дано в работе [21, с.122]: “Бесконечное – это то, что не имеет ни начала, ни конца. Противоположностью его является как будто бы то, что имеет и начало, и конец. Но в таком случае у нас получаются внешние противоположности, которые только противостоят друг другу, не имея единства. Противоположностью бесконечного является на этом основании не конечное, а ничто, которое, так же как и бесконечное, не имеет ни начала, ни конца, но в то же время не имеет и никакого количества, отрицает его целиком, все, в то время как бесконечное отражает все количество, всю количественную возможность чего-то данного. “Конечное” же на самом деле есть промежуточная категория , отражающая всевозможные сочетания, “ничто” (нисколько) и “бесконечности” (всего). Ведь всякое конечное – это наличие чего-то, но в то же время и отсутствие, отрицание какой-то части, момента бесконечного, не урезанного никаким “ничто”; конечное аналогично единичному, ибо любую отдельную вещь можно назвать конечной”.
Очень верные мысли! Действительно, антиподом бесконечности может быть только “ничто”, то есть нуль, а все конечное представляет различные бесконечные совокупности нулей.
Исходя из сказанного, можно дать следующее определение бесконечности: бесконечность – это величина, обратная нулю. Поэтому при делении любого числа, кроме нуля, на нуль должна получаться бесконечность. Отношение же нулей может быть любым числом. Таким образом, операция деления на нуль, в математическом смысле является вполне законной, хотя математики и утверждают обратное [22, с.419].
Рассмотренные нами причины, по сути дела, существуют и в настоящее время. Если бы это было не так, то не потребовалось бы разрабатывать нестандартный анализ, суть которого, по нашему мнению, не соответствует физической реальности.

В заключение сделаем некоторые выводы из рассмотренной нами проблемы о сущности дифференциального и интегрального исчисления.
1. Дифференцирование и интегрирование невозможны без задания движения материальному объекту или его математической модели, то есть движение может быть как действительным, так и квазидвижением. По математической модели любого движения, представленной в виде , где y и x характеризуют или действительное перемещение объектов в пространстве или квазидвижение, можно найти мгновенную скорость этого движения в любом его положении, взяв производную от y по x:
(66)
Еще раз напомним, почему при нахождении производной следует брать равным нулю, а в понятии предела нет необходимости. Отношение представляет собой среднюю скорость движения на интервале , выраженное в виде функциональной зависимости от . Здесь понятие предела не требуется. Мгновенная же скорость находится из функциональной зависимости простым приравниваем нулю величины . Для этой операции понятие предела тоже не нужно. Может быть, для большей ясности, выражение (66) лучше представить в другом, эквивалентном ему виде:
,                                                                                      (67)
где (68)
2. По известной скорости движения объекта, заданной в виде , можно найти действительное перемещение этого объекта в пространстве или квазидвижение при заданной квазискорости с помощью операции интегрирования:

Данное выражение отражает тот факт, что перемещение в пространстве складывается из бесконечного числа мгновенных положений, которые математически представляются в виде нулей, то есть бесконечное число нулей определяет любую траекторию движения. Отсюда следует, что перемещение может делиться до бесконечности, а само движение является непрерывным. Отсюда также следует, что прав был Кавальери и другие ученые, которые говорили, что площади фигур состоят из бесконечного числа отрезков прямых линий, а их объемы из бесконечного числа плоскостей.
3. Выражения, характеризующие производную и интеграл в виде:

являются символическими так как dy и dx в этих выражениях являются символическими обозначениями нулей. Такая операторная форма представления дифференциального и интегрального исчисления является выдающимся достижением Лейбница, позволившим вместо “безликого” нуля пользоваться его символическим изображением, характеризующим изменение той или иной конкретной величины (x, y, z, и т.д.), производить над ними алгебраические операции. То, что эти символы играют двоякую роль, то есть выступают еще и в роли конечных изменений величин (приращений),не умаляет, а может даже наоборот, увеличивает их достоинство, так как позволяет пользоваться единообразными обозначениями.
Проникновение в суть дифференциального и интегрального исчисления показало также особую роль нуля, как числа, с которым связано любое движение и которое является символом мгновенного значения или положения той или иной величины. В статических условиях нуль таких свойств не имеет.
Так же как и любое движение интервал времени тоже складывается из бесконечного числа мгновений, то есть нулевых значений, поэтому время является непрерывным и может делиться до бесконечности.
4. Так как при интегрировании производится суммирование бесконечного числа значений подынтегральной функции по параметру x (независимой переменной), то символическое выражение для интеграла правильнее было бы представлять в виде:

Такое суммирование приводит к появлению новой физической величины.
5. Для обоснования сущности дифференциального и интегрального исчисления нет необходимости вводить понятие бесконечно малой величины.
6. Ньютон не смог убедительно обосновать сущность дифференциального и интегрального исчисления, хотя все его объяснения и были правильными. Лейбниц тоже не смог этого сделать. И, конечно, это было не так просто, если до сих пор лучшие математики мира не понимают этой сущности. Карл Маркс правильно понял сущность дифференцирования в ньютоновском смысле [23, с.29-45], но математики не обратили на это внимания. Что же касается метода Лейбница, то он оказался еще более трудным для понимания. Только Л.Эйлер приблизился к его пониманию, но и он не смог убедительно доказать его.

7. В заключение следует отметить, что в настоящее время фактически существует два вида дифференциального и интегрального исчисления. Один вид можно назвать естественным, а другой – символическим. Естественный способ дифференцирования и интегрирования осуществляется путем последовательного процесса взятия производной и определения интеграла, при котором сперва задается  приращение переменной, а потом после соответствующих преобразований это приращение принимается равным нулю. Этот способ отражает полный процесс взятия производной и определения интеграла, то есть полностью отражает сущность дифференциального и интегрального исчисления.
Символический способ основан на последней стадии процесса дифференцирования и интегрирования, когда переменная принимается равной нулю, а дифференциалы переменной и аргумента являются символическими изображениями их нулевых значений. Соответственно этому производная представляет собой отношение нулей, то есть , а интеграл

характеризует бесконечное суммирование подынтегральной функции по координате x, или бесконечную сумму нулей по этой координате.
Несомненно, что символический метод является производным от естественного метода, так как пользоваться символическим методом можно только после установления связи между производными и интегралами с помощью естественного метода. Однако, символический метод ввиду его компактности и простоты значительно упрощает пользование дифференциальным и интегральным исчислением при наличии соответствующих таблиц производных и интегралов. Естественный метод разрабатывался Ньютоном, символический – его современником Лейбницем. При отсутствии в то время четкого понимания сущности естественного способа разработка Лейбницем символического способа вызывает удивление и восхищение. Так что заслуги как Ньютона, так и Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчисления практически сопоставимы.
В качестве практического использования рассмотренных нами свойств времени и движения попробуем объяснить апории Зенона “Стрела”, “Дихотомия” (“Стадион”) и “Ахиллес и черепаха”, убедительного объяснения которых нет до сих пор.
В современной литературе имеется несколько точек зрения на способ решения этих задач [24, с.160-163]. Одна точка зрения заключается в том, что трудности отображения движения в понятиях возникают из-за нечеткости употребляемых понятий, несовершенства аппарата отображения, то есть, если ввести некоторые уточнения и совершенствования терминологии, то механическое движение стрелы может быть описано непротиворечиво. Согласно другой точки зрения парадоксы движения нельзя разрешить средствами формальной логики, так как последняя запрещает противоречия в мышлении, а отображение движения в понятиях должно быть именно противоречиво. Есть еще идеи о невозможности бесконечного деления пространства и времени согласно гипотезе о квантованности пространства в микромире.
Рассмотрим указанные апории. В апории “Стрела” Зенон утверждает, что стрела в каждой точке пространства находится какое-то время, поэтому она там покоится и, следовательно, не движется. Но можно ли говорить, что стрела в каждой точке находится какое-то конечное время? Очевидно, нет, потому что в следующий момент движения она будет находиться уже в другой точке пространства. Если же любое тело будет находиться какое-то конечное время в одной точке, то оно действительно будет неподвижным. Таким образом, длительность пребывания стрелы в каждой точке пространства должна быть равна нулю, но будет ли тогда стрела находиться там и будет ли она при этом двигаться? Этот вопрос нами уже рассматривался, когда мы обсуждали сущность интегрирования: при наличии скорости будет иметь место перемещение, если даже интервалы времени (движения) будут делиться до бесконечности. Скорость же движения стрелы определяется процессом преобразования энергии в момент ее выпускания из лука.
Таким же образом можно объяснить апорию “Дихотомия”. Аналогичное объяснение этих апорий дается в работе А.С.Богомолова “Диалектический логос” [25, с.119].
Рассмотрим теперь апорию “Ахиллес и черепаха”. По условию этой задачи движение Ахиллеса и черепахи начинается одновременно из разных точек А и В, расстояние между которыми пусть будет (рис.10).
Зенон утверждает, что когда Ахиллес достигнет точки В, где находилась черепаха, она уже уползет оттуда и пройдет какое-то расстояние и т.д. Таким образом, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Однако, мы знаем, что на самом деле все будет не так: Ахиллес обязательно догонит черепаху. Дело в том, что в данной апории происходит подмена понятий: несмотря на то, что в ней говорится о перемещениях Ахиллеса и черепахи, на самом деле речь идет об отношениях этих перемещений и т.д., которые характеризуют скорость движения Ахиллеса по отношению к движению черепахи. Сколько бы мы таких отношений ни брали, деля перемещения до бесконечности, мы получим одно и то же значение, а именно скорость движения Ахиллеса. Движение же черепахи в данном случае является эталонным. Принимая это движение за время, с помощью элементарных вычислений можно найти точку, в которой Ахиллес догонит черепаху.
Приведем это решение:
,                                                                                     (69)
где - перемещение Ахиллеса, - перемещение черепахи (оно же время движения до места встречи).
Отсюда получим:
(70)
или
(71)
Если Ахиллес бежит в 100 раз быстрее черепахи, то есть , то отношение будет равно , а .
Теперь мы можем снова вернуться к разговору о сущности времени, используя рассмотренные нами свойства движения. Подведем краткий итог.
1. Ощущение движения во времени – свойство человеческого мышления, которое обусловлено “привязыванием” всех событий к движению внутри мозга (эталонному движению). Движение внутри мозга ощущается нами как движение времени, поэтому мы и говорим, что время течет, идет, бежит и т.п. “Привязывание” же происходящих событий к эталонному движению создает иллюзию этого движения во времени, точно так же, как создает иллюзию пространственного движения последовательное зажигание лампочек в разных местах световой рекламы (например, движение по кругу). Если бы не было движения внутри мозга, то не было бы восприятия событий, их “записи” и “считывания”, то есть не было бы процесса мышления и ощущения этого движения как времени.

Отсюда следует, что время это не форма существования материи, а один из способов анализа окружающей человека действительности. Поэтому время не существует как особая объективная реальность, являющаяся особым свойством движущейся материи.
2. Объективно время – это количественный способ исследования движений. Временем можно назвать любое движение, которое мы используем в качестве эталонного для исследования других движений, так как другого способа сравнения движений у нас нет. Каждое движение может быть измерено как самим собой (единица времени берется из самого исследуемого движения), так и любым другим движением. В качестве эталонного может быть использовано и квазидвижение, так как в основе всех квазидвижений лежат реальные движения материи.
Так называемое физическое время имеет наибольшую стабильность и точность измерения. Интервалы времени (длительность) измеряются числом однотипных событий эталонного движения (единицы измерения). Единицы измерения являются условными величинами, так как мы не знаем их интенсивности (скорости). Необходимо различать понятия времени и длительности. Время – это сущностное понятие, характеризуемое движением, длительность же – это число единиц измерения движения.
3. Сложность понимания сущности времени, его таинственность обусловлены субъективными особенностями восприятия человеком собственного движения как особой формы существования материи, непониманием сущности движения вообще. К свойствам времени мы относим как свойства реальных движений материи, так и свойства моделей этих движений. Кроме того, затрудняет понимание сущности времени его многозначность, так как каждую форму движения материи мы характеризуем своим временем. Мы говорим, что есть время физическое, химическое, личное, социальное и многие другие его виды. И тем не менее для исследования различных форм движения материи мы, большей частью, используем физическое время.
4. Поскольку, как мы это показали, движения материи во времени быть не может, реальным является только движение в пространстве. Все материальные объекты и их свойства являются результатом пространственных движений большой совокупности составляющих их частей. Поэтому, когда мы измеряем время по изменению свойств какого-либо объекта, то в качестве эталонного обычно выступает не пространственное перемещение самого объекта, а совокупность перемещений, составляющих его частей, результатом чего и являются все свойства материального объекта.
Без перемещения в пространстве невозможно взаимодействие между объектами, невозможно появление ни одного события, то есть можно сказать, что в основе всего многообразия окружающего нас мира лежит обычное перемещение материи в пространстве.
Так как найти зависимость изменения свойств различных объектов от их пространственных движений не всегда представляется возможным, единственным способом оценки этих изменений является использование какого-то эталонного движения, которое мы называем временем и к которому “привязываем” события исследуемого движения. Так, например, в первую очередь, во времени мы воспринимаем такие формы движения как личное, социальное, общественно-историческое, геологическое и ряд других.
Понимание того факта, что движения во времени нет и быть не может, значительно упростит понимание сущности многих физических проблем.
5. Поскольку мы установили, что реальным движением материи является только перемещение в пространстве, можно дать следующее определение движения: движение – это основное свойство материи, представляющее собой непрерывный процесс перемещения в пространстве всегда от предыдущего положения к последующему положению в каком бы направлении это ни происходило. Или еще короче: движение – это перемещение в пространстве.
Движение само по себе абсолютно, но проявляется оно через относительное перемещение материальных объектов в пространстве и через динамические свойства при ускоренном движении. Более подробно вопрос об абсолютности и относительности движения будет рассмотрен ниже.
6. Так как время является движением, то и все его свойства должны определяться свойствами движения. Приписываемые ему свойства, как мы уже отмечали, относятся не только к реальному движению, но и к различным физическим и другим моделям движения, к взаимодействию материальных объектов.
К реальным свойствам движения можно отнести неуничтожимость и бесконечность (это и свойства материи вообще), непрерывность и бесконечная делимость, необратимость (направленность). К свойствам движения можно отнести и причинность, обусловленную взаимодействием материальных движений.
К свойствам моделей движения отнесем одномерность, однородность, симметрию, связь пространственно-временной симметрии с законами сохранения.
Что же касается дискретности движения (времени и пространства), связи времени с пространством в единый континуум и ряда других также необычных свойств, то все это не соответствует реальной действительности.
Следует также подчеркнуть тот факт, что движение материи существует только в настоящем, то есть настоящее (а не прошлое или будущее) является действительным состоянием материи. Но тогда возникает вопрос: откуда берется направленность времени, которую мы так явственно ощущаем? Если движение существует только в настоящем, то никакой направленности времени быть не должно. Кроме того, существует много периодических (обратимых) движений, которые как раз и используются для измерения времени. Но какая же может быть направленность у периодического движения? Отсюда можно сделать вывод, что направленность времени – это его особое свойство, принадлежащее только ему и обусловленное какими-то причинами, а это значит, что время должно быть особой сущностью. Это свойство времени и будет лежать в основе всех необратимых процессов и называется это свойство “стрелой времени”. Это является серьезным соображением, как будто  подтверждающим реальность существования времени.
В связи с этим и поскольку вопрос о “стреле времени” поднимается крупными современными учеными, рассмотрим эту проблему подробнее на примере последней работы нобелевского лауреата И. Пригожина “Время, хаос, квант”, написанной им совместно с И. Стенгерс. Авторы утверждают [26, с.249]: “Современная физика рассматривает стрелу времени как одно из существенных свойств реальности”. Отсюда вытекает и реальное существование времени [26, с.30]: “Вопрос о времени, о том, что оно сохраняет, создает или уничтожает, всегда находился в центре человеческой мысли”. Исходя из этой предпосылки, авторы доказывают, что законы классической динамики И.Ньютона вневременны, то есть, по сути дела, отрицают существование времени, так как они допускают движение вспять и тем самым не учитывают стрелу времени. Они заявляют [26, с.248]: “Классический идеал объективности (и подразумеваемое им отрицание времени) не имеет экстраисторического статуса”. И далее [26, с.250]: “Вневременные законы физики мы не можем считать подлинным “отражением” фундаментальной истины физического мира, ибо такая истина делает нас чужими в этом мире и сводит к простой видимости множество различных явлений, которые мы наблюдаем”.
Как видим, утверждения И. Пригожина и И. Стенгерс имеют весьма серьезный характер и преследуют цель доказать объективную реальность времени. В связи с этим целесообразно привести более пространные цитаты из рассматриваемой работы. Так, во введении дается следующее обоснование решаемой ими проблемы [26, с.4-5]: “Время – фундаментальное измерение нашего бытия. Веками оно пленяло воображение художников, философов и ученых. Включение времени в концептуальную схему галилеевой физики ознаменовало рождение новой науки. Этот успех стал исходным пунктом в истории проблемы, которая занимает центральное место в нашей книге, - отрицание стрелы времени . В этой замечательной книге Эддингтон прозорливо предсказал конец господства в физике “первичных” (детерминистических) законов и наступление “вторичных” (статистических) законов, описывающих необратимые процессы. В том виде, как оно входит в фундаментальные законы физики от классической динамики до теории относительности и квантовой физики, время не содержит в себе различия между прошлым и будущим! Для многих физиков ныне это вопрос веры: до тех пор и поскольку речь идет о фундаментальном уровне описания, “стрелы времени” не существует.

Тем не менее, во всех явлениях, с которыми нам приходится иметь дело, будь то явления из области макроскопической физики, химии, биологии, геологии, гуманитарных наук, будущее и прошлое играют различные роли. Существование стрелы времени здесь очевидно. Каким образом может возникнуть стрела времени из фундаментальной концептуальной схемы физики? Каким образом она может возникнуть из симметричного по времени мира? Или, быть может,  воспринимаемое нами время не более чем иллюзия? Эти вопросы приводят к парадоксу времени – центральной теме нашей книги.
Для людей, далеких от физики, такая проблема может показаться странной. Как физика, предъявляющая все более строгие требования к эксперименту, что означает все более тесную связь между теорией и опытом, дерзает отрицать различие между прошлым и будущим? Ответ на этот вопрос в какой-то мере относится к концептуальным основам физики. Как будет показано в части 1 нашей книги, парадокс времени не был осмыслен вплоть до второй половины XIX века. К тому времени законы динамики уже давно воспринимались как выражающие идеал объективного знания. А поскольку из этих законов следовала эквивалентность между прошлым и будущим, всякая попытка придать стреле времени некое фундаментальное значение наталкивалась на упорное сопротивление как угроза идеалу объективного знания. Таким образом, стреле времени было отказано в праве вхождения в область феноменологии. За различие между прошлым и будущим несем ответственность мы, ибо в наше описание природы мы привносим аппроксимации.
Однако, разделять ныне эту точку зрения более невозможно. В последние десятилетия родилась новая наука – физика неравновесных процессов, связанная с такими понятиями, как самоорганизация и диссипативные структуры. До этого стрела времени возникала в физике через такие процессы, как диффузия или вязкость, которые в действительности можно понять, исходя из обратимой во времени динамики. Ныне ситуация иная. Мы знаем, что необратимость приводит ко множеству новых явлений, таких как образование вихрей, колебательные химические реакции или лазерное излучение. Необратимость играет существенную конструктивную роль. Невозможно представить себе жизнь в мире, лишенном взаимосвязей, создаваемых необратимыми процессами. Следовательно, утверждать, будто стрела времени – “всего лишь феноменология” и обусловлена особенностями нашего описания природы, с научной точки зрения абсурдно. Мы дети стрелы времени, эволюции, но отнюдь не ее создатели”.
И еще цитаты: “…необходимо принять во внимание двоякую роль времени… С одной стороны мы имеем то время, которое показывают часы. Они отмеряют одинаковые промежутки времени… С другой стороны, мы имеем различие между прошлым и будущим…” (с.192); “…материя является “фрагментированным” пространством-временем. Подобная фрагментация пространства Минковского характеризуется одновременным рождением материи и энтропии”. (с.232); “…материя может “излучаться” из пространства-времени, но не наоборот”. (с.233); “Стрела времени становится принципиально важным элементом, лежащим в основе самих определений материи и пространства-времени”. (с.257); “Отрицание времени может быть актом отчаяния или казаться триумфом человеческой мысли, но это всегда отрицание реальности”. (с.260).
Как следует из приведенных цитат ответственность за необратимость материальных процессов И.Пригожин и И.Стенгерс возлагают на реальное время, на одно из его свойств, которое называется “стрелой времени”. С этой позиции они критикуют законы классической механики как вневременные, которые, по их мнению, не являются подлинным отражением физического мира. Покажем, что здесь авторы не понимают сущность введения времени в уравнения классической механики. Рассмотрим некий материальный объект, который подвергается внешнему мгновенному воздействию . Что произойдет с этим объектом при таком воздействии, если он не будет иметь ограничений в своем движении? Вполне очевидно, что данное воздействие может привести только к изменению скорости объекта, так как при мгновенном воздействии перемещение еще не произойдет. По какому же параметру будет происходить изменение скорости – в функции перемещения или времени? Для этого надо вспомнить, что такое скорость движения. Мы уже говорили, что скорость есть отношение перемещений исследуемого объекта и эталонного движения:
,
где выступает в роли времени. Это отношение показывает во сколько раз интенсивность исследуемого движения, отличается от интенсивности эталонного движения, причем, напомним, что интенсивность эталонного движения нам не известна. В общем случае интенсивность эталонного движения вводится нами не по его перемещению, а по определенным событиям, сопутствующим этому движению, например, по угловому движению Земли или стрелки часов. Таким образом, скорость есть функция времени: , которая может быть графически представлена в виде кривой в системе координат . Поэтому мгновенное изменение скорости будет иметь место в этой же системе координат: . Мы вправе предположить, что это изменение скорости будет прямо пропорционально внешнему воздействию и обратно пропорционально массе m материального объекта:
,                                                                                (72)
откуда и получается второй закон Ньютона:
(73)

Из полученного выражения следует, что сила F представляет собой мгновенное воздействие на материальный объект, а не меру взаимодействия, как принято сейчас считать.
Таким образом, мы показали, как вводится время (эталонное движение) в законы классической динамики. Выведенный нами закон устанавливает связь между двумя движениями – движением исследуемого объекта и эталонным движением, причем время здесь представляет собой как бы некую подвижную несущую конструкцию, на которой “фиксируются”, “закрепляются” происходящие события, в число которых могут входить и механические характеристики (положение, перемещение, скорость и т.п.), то есть время, по сути дела, играет роль кинопленки, которую, как известно, можно прокручивать в любую сторону: или вперед, или назад. Так что ничего удивительного в данном свойстве законов механики нет. И увязывать это свойство с необратимостью времени тоже нет оснований. И можно даже сказать больше: любой закон, связанный с движением материальных объектов или с изменением их свойств, будет включать в себя время, а значит, и будет допускать обратное движение, то есть движение от конца к началу, и ничего “криминального” в таком положении нет, так как любой закон устанавливает четкую связь между исследуемыми и эталонными событиями, “привязывает” события друг к другу. Это будет относиться как к обратимым, так и необратимым движениям и материальным процессам.
Рассмотрим кратко сущность необратимости. Существует два вида необратимости во времени: одна основывается на личном ощущении необратимости движения, связанная, как уже отмечалось выше, с действительной необратимостью самого движения, другая – на существовании необратимых процессов. И.Пригожин и И.Стенгерс считают, что необратимость времени связана только с необратимыми процессами, а обратимые процессы не могут дать представления о “стреле времени”. Но такое представление о сущности движения является ошибочным. Дело в том, что любое материальное движение в пространстве является необратимым, если его рассматривать не как совокупность положений какого-то материального объекта, а как процесс, характеризующийся последовательным перемещением от одной точки пространства к другой точке пространства, когда одно положение объекта всегда будет предшествовать другому положению, то есть перемещение всегда будет происходить от предыдущего положения к последующему, и никогда наоборот, какой бы характер не имело движение. И, таким образом, оно всегда происходит в направлении от прошлого к будущему. Законы классической механики не исключают поэтому понятий настоящего, прошлого и будущего. И, если говорить о будущем, то любое уравнение, в которое входит время, является, по сути дела, прогностической моделью движения, то есть это будет уравнение-прогноз для исследуемого явления, которое предполагает возможность появления определенных событий с течением времени. Этот прогноз может сбыться, а может и не сбыться при определенных условиях и обстоятельствах. Классические законы движения допускают прогноз как в будущее, которое мы не знаем, так и в прошлое, которое мы тоже можем не знать. Но здесь нет никакого уравнивания между прошлым и будущим. Просто эти законы рассматривают определенный класс движений, допускающих такую возможность, когда по состоянию движения на данный момент можно судить о состоянии движения и в прошлом и в будущем. И.Пригожин и И.Стенгерс предлагают нам судить только о будущем состоянии материальной системы по ее настоящему состоянию в связи с постулируемой ими необратимостью времени.
Обратимся теперь к необратимым во времени материальным процессам. Можно вполне уверенно утверждать, что необратимость процессов обусловлена не необратимостью времени, а невозможностью системы, в которой происходит необратимый процесс, самопроизвольно вернуться в исходное состояние. В качестве примера такого процесса можно рассмотреть случай, когда стеклянная ваза одним ударом молотка разбивается на мельчайшие кусочки, которые разлетаются при этом во все стороны. Вполне очевидно, что сами по себе эти кусочки ни при каких обстоятельствах никогда снова не соберутся в целую вазу. Чтобы собрать вазу из этих кусочков, надо затратить много времени, и все равно она, даже склеенная, не будет уже той прежней вазой. Тогда, возникает вопрос, как определить, что же будет основной причиной необратимости этого процесса? Наверно, основная причина будет заключаться в том, что для того, чтобы разбить вазу надо приложить одно усилие, а чтобы собрать – множество дозированных, причем пространственно сориентированных усилий, что может сделать человек и не может сделать неживая природа. Действительно, кто или что кроме человека может заставить осколки собраться снова вместе?
Автор надеется, что читатели согласятся с таким пониманием необратимости материальных процессов и поймут, что время к этой необратимости не имеет никакого отношения.
Далее, авторы цитируемой работы считают, что “первичные”, то есть детерминистические законы, будут заменены “вторичными”. То есть статистическими законами, описывающими необратимые процессы. По этому поводу можно сказать следующее. Детерминистичность законов механики объясняется характером взаимодействия материальных объектов, которое может происходить только за счет их непосредственного контакта или через посредство окружающей среды, последовательно от одной ее частицы к другой частице, то есть все происходящие события имеют конкретную причину, вызвавшую их. Все дело только в том, что мы не всегда можем выявить и учесть эти причины, особенно при взаимодействии большого числа частиц. Законы классической механики приспособлены, по сути дела, к исследованию взаимодействия дискретных материальных объектов или сред, в которых можно выделить элементарные части (элементарные массы). В квантовой же механике уравнение Шредингера описывает уже поведение микрочастицы под действием большого числа силовых факторов, каждый из которых не может быть нами учтен. Это приводит к вероятностной трактовке движения микрочастиц, но это, тем не менее, не исключает непрерывности самого движения и его обусловленности, то есть детерминистичность.
При чтении книги И.Пригожина и И.Стенгерс обращает на себя внимание и тот факт, что авторы нигде не упоминают о сущности времени, хотя и приписывают ему самые необычные свойства. Так, они утверждают, что пространство-время порождает материю. Все это говорит о том, что они не знают, что такое время, а в таких случаях надо быть осторожным в высказываниях.
Обсуждение с читателями сущности времени показало, что им трудно представить себе отсутствие движения во времени. Автору в свое время тоже трудно было сделать это. Поэтому, наверно, стоит еще раз вернуться к этому вопросу.
Мы уже отмечали, что любое движение дает нам представление о прошлом, настоящем и будущем. Если не знать сущности времени, то единственная связь между этими понятиями может быть установлена только с помощью времени. Действительно, а как же иначе можно понимать непрерывный переход от прошлого через настоящее к будущему? Ведь в этом случае речь не идет о каком-то конкретном движении, движении конкретного материального объекта, мы здесь имеем в виду и даже ясно ощущаем непрерывное изменение всего окружающего нас материального мира, и нас самих в том числе. Так, например, мы видим перемещение чего-либо в пространстве или движемся сами, но мы также и понимаем (или чувствуем?), что это перемещение имеет и какую-то длительность во времени, то есть мы ощущаем и понимаем, что любой материальный объект имеет два одномоментных существенно отличных друг от друга и независимых движения: в пространстве и во времени. И это наше ощущение или восприятие подтверждается и тем, что даже не движущиеся тела кажутся нам существующими во времени. Это так очевидно, ведь с ними тоже что-то происходит, они изменяются со временем. Мы все это ясно осознаем. В этом и заключается сложность проблемы, ведь очень трудно идти против очевидного. Эта ситуация похожа на наше восприятие движения Солнца по небу, только гораздо сложнее. Люди уже давно поняли, что не Солнце “ходит” по небу, а наоборот, Земля вращается вокруг своей оси, видимый же результат при этом будет одним и тем же.

Выше уже отмечалось, что восприятие нами любого движения и изменения во времени обусловлено свойствами нашего мышления: мы можем воспринимать все изменения, все происходящие вокруг нас события только последовательно, друг за другом, то есть так, как они и происходят вне нас. Но здесь существует одно большое “но”, на которое мы почему-то не обращаем внимания и которое связано с тем, что все эти последовательные изменения не могут в нашем мозгу “накладываться” на одно и то же место, “фиксироваться” одним и тем же местом, так как в этом случае они будут “забивать” или “стирать” друг друга, то есть последующие события уничтожат предыдущие. Это вполне очевидно. Чтобы все события последовательно воспринимались одним и тем же участком мозга (например, зрительным) в нем должны происходить какие-то изменения: или поступившая информация сама должна каким-то способом перейти в другое место, или здесь должно быть какое-то внутреннее движение, на которое непрерывно “записывается” или которое “считывает” поступающую информацию. Это движение будет перемещать информацию в другое место, освобождая данное место для поступления новой информации. Таким образом, у нас а голове должно существовать некоторое движение, позволяющее нам последовательно воспринимать и запоминать информацию. Если бы мы не запоминали произошедших событий, то мы бы воспринимали только настоящее и жили бы только настоящим, не имея представления о том, что было до этого момента. Вполне очевидно, к чему привело бы такое положение: мы не смогли бы существовать, так как не смогли бы ориентироваться в окружающем нас мире, не смогли бы организовать свои ближайшие поступки, а мы их непрерывно организуем, не смогли бы прогнозировать будущее, то есть были бы по-настоящему беспомощными. Это обстоятельство имеет место в неживой природе. Мы же имеем способность “обрабатывать”, запоминать и анализировать получаемую информацию, то есть можем мыслить. Для этого у нас должна быть соответствующая структура мозга, позволяющая осуществить процесс мышления, то есть организовать движение, считывание и обработку информации. И, конечно, мы должны ощущать движение в мозгу, так как оно связано с процессом мышления. И вот это внутреннее движение, которое существует всегда и которое ощущается нами движением “самого” времени также дает нам ощущение движения во времени для любых происходящих событий, то есть движения, “привязанного” к нашему внутреннему движению в голове. Отсюда и возникает наше твердое убеждение в реальном существовании времени. И это убеждение, основанное на нашем восприятии, очень трудно переосмыслить и изменить, но сделать это можно.
Из всего сказанного следует, что движение в нашем мозгу играет роль эталонного, с которым соотносятся все другие движения. И это, очевидно, должно быть так, так как в противном случае мы не смогли бы учитывать длительность событий и интервалов между ними, а это является свойством человека, необходимым для его выживания. Однако, одного этого свойства оказывается явно недостаточно для существования человека, так как внутреннее движение в голове трудно контролируется нами на сознательном уровне, и не может быть использовано при общении между людьми, поэтому возникла необходимость использования внешнего движения в качестве эталонного. Таким естественным эталонным движением стало движение, обусловливающее смену дня и ночи, связанное с движением Солнца по небу, то есть вращение Земли вокруг своей оси.
Теперь снова вернемся к понятиям прошлого, настоящего и будущего. Вполне очевидно, что они связаны с нашим последовательным восприятием событий, это не вызывает никаких сомнений. Но здесь возникает другой вопрос: а в неодушевленной природе, которая не может мыслить, существует ли прошлое, настоящее и будущее? На первый взгляд это вполне очевидно, так как в природе непрерывно происходят изменения, одни события сменяют другие. А если это так, то опять возникает проблема существования времени. Ведь понятия прошлого, настоящего и будущего являются, как мы убеждены, свойствами времени, которое, в принципе, может существовать в природе и без нас, то есть без человека. Как быть в этом случае? Поскольку автор твердо убежден, что время – это движение, попробуем с этой позиции объяснить сущность прошлого, настоящего и будущего в неживой природе.
Движение материальных объектов в пространстве сопровождается появлением определенных событий: перемещением, взаимодействием, изменением, возникновением, исчезновением и т.п., причем все эти события проявляют себя в определенной последовательности, как и те события, которые мы воспринимаем. Однако, все эти события в неживой природе никем не воспринимаются, не анализируются и не упорядочиваются, так как для неживой природы в этом нет необходимости. Для нее нет необходимости что-то предпринимать, что-то изменять, что-то планировать: все идет так, как получается, то есть само собой. В результате непрестанного движения бесконечного числа материальных объектов картина состояния Вселенной все время будет изменяться, но не во времени, а в пространстве, и если бы мы смогли наблюдать за всей этой картиной в целом, то мы бы видели непрерывный  круговорот материи в одном и том же пространстве. Так как в неживой природе никто или ничто не видит происходящих изменений в результате движения, как и самого движения как такового, то и говорить о времени для неживой природы нет смысла. Не имеет смысла по этой причине и понятия прошлого, настоящего и будущего. Природа существует только в настоящий момент движения, который, конечно, зависит от прошлых состояний движения материальных объектов. Природа вечна в своем движении и бесконечна в пространстве, она существует вне времени и функционирует по строгим детерминистическим законам, то есть все последующие состояния материи всегда однозначно зависят от ее предыдущих состояний.
В заключение наших рассуждений подведем итог на поставленный нами выше вопрос: почему кроме движения в пространстве мы ощущаем движение и во времени? То, что есть перемещение в пространстве – мы видим, движение же во времени мы только чувствуем, то есть нам кажется, что существует некоторая временная длительность в любом движении между его началом и концом (или между любыми событиями этого движения). В действительности движение происходит только в пространстве, временное же движение – это движение внутри нашего мозга, происходящее одномоментно с наблюдаемым нами движением и фиксирующее его. Это внутреннее движение никак не связано с движением вне нас, просто таким образом, даже не подозревая этого, мы производим сравнение двух движений, а также оцениваем длительность покоя. Отсюда уже непосредственно следует возможность и даже необходимость использования в качестве эталонного и любого другого движения. Значит, понятие времени и временные характеристики движения являются следствием только нашего мышления, и ничего другого здесь нет.
Однако на обсуждаемую проблему можно взглянуть и с другой стороны. Мы до сих пор рассматривали сущность времени с точки зрения современного человека, с высоты современных ему знаний. Мы привыкли пользоваться понятием времени, это, по сути дела, одна из основных сущностей нашей жизни. Понятие времени настолько важно для нас, что философы возвели его в ранг одной из основных категорий материального мира, наряду с пространством и движением. От этого, правда, физическая сущность времени, пространства и движения не стала яснее. Отсюда и всякие спекуляции об их сущности. Нам представляется интересным заглянуть в далекое прошлое человечества и попытаться понять, было ли тогда у человека представление о времени или нет. Приглашаем читателя совершить мысленное путешествие в это прошлое. Следует заметить, что в научной литературе эта проблема широко обсуждается, например, в работе [27], но при этом авторы хотят понять как в сознании человека отражались объективно существующие время и пространство на различных этапах развития человеческой цивилизации. Мы же попытаемся понять, как возникло понятие времени, которого на самом деле не существует.
Представим себе первобытного человека, его повседневную жизнь, его общение с окружающей средой и со своими соплеменниками. Мы уже говорили, что человек воспринимает информацию об окружающем его мире, благодаря движению внутри мозга. Это движение позволяет считывать информацию, перемещать из одного отдела мозга в другой, обрабатывать и хранить ее. Если бы такого движения не было, то информация не запоминалась бы, а это значит, что человек не смог бы прогнозировать свои ближайшие действия. Очевидно, понятно, к чему это привело бы. Поскольку это движение жизненно необходимо для человека, оно и существует, то есть возникло по необходимости в процессе его эволюции. Это движение должно ощущаться в сознании человека как последовательная смена впечатлений, всех изменений, происходящих внутри и вне его. Последовательность запоминания поступающих впечатлений приводит к ощущению существования настоящего, прошлого и будущего. Но как он воспринимал это ощущение? Было ли у него представление о времени, с которым мы связываем все происходящие изменения и их последовательность?

Посмотрим на Мир глазами первобытного человека. Что он видел? Он видел перемещение Солнца по небу, движение облаков, шевеление листьев на деревьях, полет птиц и бег зверей. Он видел смену дня и ночи, зимы и лета, ощущал чувство голода, тепло и холод, потребность общения с себе подобными. Из опыта он знал, что события не происходят хаотично, а подчиняются какой-то закономерности, как, например, ночь сменяет день, а зима следует за летом. Какой вывод он мог сделать из этого, как все это осмыслить? Конечно, он должен был установить связь между различными событиями для упорядочения окружающего его Мира. За основу он должен был взять те события, которые стабильно повторялись: восход и заход Солнца, фазы Луны, смена времен года и многое другое. И с этими событиями он мог увязывать все другие события. Это давало человеку какую-то опору в его жизнедеятельности, возможность прогнозировать события и тем самым получить возможность выжить в изменчивом Мире. Но мог ли человек установить что-то общее между стабильно повторяющимися событиями? И была ли у него потребность в этом? Очевидно, нет, так как он не знал причины этих явлений, а без этого установить связь между ними невозможно. Солнце для него перемещалось само по себе, и это никак не было связано напрямую с другими событиями, он работал, охотился без видимой связи с бесчисленным количеством других изменений. Да для него и не было необходимости в понятии времени, ему вполне хватало других временных ориентиров, существующих в обыденной жизни. Первобытный человек мог прекрасно жить без понятия времени, для него окружающий мир был таким, каким он его видел и ощущал.
Но, может, само время, если предположить, что оно существует, влияло на жизнь первобытного человека? Но если оно влияло, то как? Можно, например, сказать, что человек из-за этого старел. Но будет ли это влиянием времени, как некоей сущности, или это зависит от других причин? Сейчас мы достаточно уверенно можем сказать, что это связано с изменениями, происходящими внутри организма на клеточном и молекулярном уровне, а может быть даже и заложено в генетическом коде. Все эти изменения обусловлены движениями микрочастиц в пространстве и их взаимодействиями, и время здесь не при чем. Можно привести много других примеров и показать, что все они не связаны с какой-то временной сущностью.
Тогда почему же появилось понятие времени, если его нет как особой физической сущности? Очевидно, это легко понять, если проследить историю эволюции человека и человеческого общества. На первобытном уровне человек мало что знал об окружающем его мире, поэтому он мог связывать все происходящие явления с деятельностью каких-то существ, не известных ему, например, духов. Духи или помогали человеку или вредили ему, то есть были добрыми или злыми. Свое старение и смерть он также мог поставить в зависимость от действий какого-то враждебного ему духа. С развитием цивилизации этот дух мог стать мифологическим богом, например, Кроносом, как это было у древних греков. Этот бог был самым безжалостным, он пожирал своих детей, что символизировало смертность человека. Вероятно, на этом этапе эволюции человек вплотную подошел к понятию времени, так как появился один бог, который “отвечал” за гибель не только человека, но и всего существующего. Наличие одного бога напрямую вело к понятию единого времени.
Существует и еще один очень важный аспект этой проблемы. Для полного осознания необходимости времени, как всеобщего определителя всех происходящих явлений и жизнедеятельности человека, необходимо было также, чтобы возникла потребность его измерения, то есть деления на более мелкие части. Человека уже не должна была удовлетворять существующая связь между различными событиями, когда в качестве эталонных использовались разнородные природные явления, не связанные напрямую друг с другом. Нужны были такие эталонные события, которые объединялись бы одним общим для них движением. Таким простым и наглядным движением было движение Солнца по небосводу. Это движение можно было делить на достаточно мелкие части. И вот эти две основные причины: существование одного бога и возможность использования одного движения, были, на наш взгляд, необходимым условием для появления понятия времени. Появлению этого понятия могло также способствовать и появление каких-то измерителей времени, например, солнечных часов, измеряющих время по положению и длине тени.
Появление понятия времени, как видим, могло произойти только на достаточно высоком уровне развития цивилизации. Один ли человек изобрел это понятие, или оно возникло, скорее всего, как результат продолжительной деятельности многих людей, это для нас сейчас, в общем, не так важно. Можно только сказать, что это было одним из величайших достижений человечества, которым мы пользуемся сейчас, и которым люди будут пользоваться всегда, пока они существуют.
Таким образом, можно утверждать, что понятие времени является необходимой потребностью человека, и было введено им для удовлетворения своих нужд. В основу же измерения времени было положено, пусть и неосознанно, вращательное движение Земли вокруг своей оси. Это движение Земли является эталонным, а само движение вообще является физической сущностью времени.
Как видим, понятие времени было результатом длительной эволюции человека и человеческого общества. Но с понятием времени в научной литературе обычно связывают и понятие пространства, считая их равноценными категориями, как в физическом, так и в философском смысле. С пространством, однако, по нашему мнению, все обстоит иначе, чем со временем. Если время могло быть придумано человеком, то пространство придумывать не было необходимости, оно являлось реальной сущностью, которая постоянно о себе напоминала: можно было упасть в яму, налететь на дерево, в нем можно было двигаться только сообразуясь с обстановкой. Человек в процессе своей эволюции должен был научиться адекватно отражать пространство в своих восприятиях и в своем сознании, то есть он должен был воспринимать его трехмерность, чтобы правильно оценивать взаимное расположение предметов и их движение. Такое восприятие было жизненно необходимо для человека с самого момента его появления, вполне очевидно, что такое восприятие необходимо и для всех живых существ. Для человека пространство было сперва ограничено местом его обитания, затем оно расширилось с развитием цивилизации, и на определенном уровне ее развития понятие пространства стало всеобщей категорией, формой существования материи.
В свете нашего знания о сущности времени интересно посмотреть, как близко люди были к решению этой проблемы. То, что время связано с движением люди поняли давно. Уже Аристотель был близок к разгадке его сущности. Проследим рассуждения Аристотеля по этому поводу в его сочинении “Физика” [28]. Сперва он доказывает, что время не является движением: “Так как время скорее всего представляется каким-то движением и изменением, то это и следует рассмотреть. Изменение и движение каждого [тела] происходит только в нем самом или там, где случается быть самому движущемуся и изменяющемуся; время же равномерно везде и при всем. Далее, изменение может идти быстрее или медленнее, время же не может, так как медленное и быстрое определяются временем: быстрое есть далеко продвигающееся в течение малого времени, медленное же – мало [продвигающееся] в течение большого [времени]; время же не определяется временем ни в отношении количества, ни качества.
Что оно, таким образом, не есть движение – это ясно” [28, с.147].

Затем он указывает на связь времени с движением: “Однако время не существует и без изменения (для нас в настоящем исследовании не должно составлять разницы, будем ли мы говорить о движении или изменении). Ибо когда не происходит никаких изменений в нашем мышлении или когда мы не замечаем изменений, нам не будет казаться, что протекло время…
Итак, что время не есть движение, но и не существует без движения – это ясно. Поэтому, когда мы исследуем, что такое время, нужно начать [именно] отсюда [и выяснить], что же такое время в связи с движением. Ведь мы вместе ощущаем и движение и время… Следовательно, время есть или движение, или нечто связанное с движением, а так как оно не движение, ему необходимо быть чем-то связанным с движением” [28, с.145-146].
В результате дальнейших рассуждений Аристотель определяет сущность времени: “Так как движущееся движется от чего-нибудь к чему-нибудь и всякая величина непрерывна, то движение следует за величиной: вследствие непрерывности величины непрерывно и движение, а вследствие движения – время; ибо сколь велико [было] движение, столько, как нам всегда кажется, протекло и времени… время есть не что иное, как число движения по отношению к предыдущему и последующему.
Таким образом, время не есть движение [само по себе], но [является им постольку], поскольку движение заключает в себе число. Доказательством этому служит то, что большее и меньшее мы оцениваем числом, движение же, большее или меньшее, - временем, следовательно, время есть некоторое число” [28, с.148-149].
“Ясно также, что время не называется быстрым и медленным, а большим и малым, долгим и коротким. Поскольку оно непрерывно, оно долгое и короткое, поскольку оно число – большое и малое, а быстрым и медленным не бывает; ведь ни одно из чисел, служащих для счета, не может быть быстрым и медленным” [27, с.151].
“Мы не только измеряем движение временем, но и время движением – вследствие того, что они определяются друг другом, ибо время определяет движение, будучи его числом, а движение – время. И говорим мы о большом и малом времени, измеряя его движением, так же как [измеряем] число [предметами], подлежащими счету, например число лошадей одной лошадью; именно с помощью числа мы узнаем количество лошадей… То же относится ко времени и к движению: временем мы измеряем движение, а движением время. И это имеет разумные основания, так как движение соответствует величине, а время движению вследствие того, что они все представляют собой количества, они непрерывны и делимы; движение обладает этими свойствами, потому что такова величина, а время – потому что таково движение. Мы измеряем так же и величину движением, и движение величиной; мы говорим “большая дорога”, если [нам предстоит] много идти, и, наоборот, о “большом переходе”, если дорога велика; так  же и о времени соответственно движению, и о движении соответственно времени” [28, с.151-152].
“Так как время – мера движения, то оно будет и мерой покоя, ибо всякий покой во времени. Не надо думать, что находящееся во времени так же необходимо движется, как и все находящееся в движении: ведь время есть не движение, а число движения, в числе же движения возможно быть и покоящемуся” [28, с.153].
“…каждая [вещь] исчисляется родственной ей единицей: монады – монадой, лошади – лошадью, то и время измеряется каким-нибудь определенным временем, причем, как мы сказали, и время измеряется движением и движение временем (это значит, что временем определенного движения измеряется количество и движения и времени)” [28, с.158].
И еще Аристотель обсуждает вопрос о существовании времени вне человека, как чего-то особенного сущего, как некой объективности реальности: “Достойно рассмотрения также то, каково отношение времени к душе и почему нам кажется, что во всем существует время – и на земле, и в море, и на небе. Или потому, что время будучи числом, есть какое-то состояние или свойство движения, а все упомянутое способно двигаться? Ведь все это находится в некотором месте, а время и движение всегда существуют совместно – как в возможности, так и в действительности. Может возникнуть сомнение: будет ли в отсутствии души существовать время или нет? Ведь если не может существовать считающее , не может быть и считаемого , а следовательно, ясно, что [не может быть] и числа, так как число есть или сосчитанное, или считаемое. Если же ничему другому не присуща способность счета, кроме души и разума души, то без души не может существовать время, а разве [лишь] то, что есть как бы субстрат времени; например, если существует без души движение, а с движением связаны “прежде” и “после”, они же и есть время, поскольку подлежат счету”[28, с.157].
Из приведенных цитат следует, что Аристотелю оставалось сделать один шаг в своих рассуждениях, чтобы признать время самим движением, а не числом единиц движения. Аристотель дальше мог бы рассуждать так: если время измеряется движением, то единицей измерения времени является какая-то единица движения, а некоторое число таких единиц определят какое-то количество движения, ведь единица измерения – это не просто число, а число, характеризующее единицу какой-то сущности. И в данном случае такой сущностью является движение и не что иное.
Но каким же трудным оказался этот шаг и не только для Аристотеля, но и для последующих поколений ученых в течение более двух тысячелетий.
Так в чем же дело? На наш взгляд, это, в первую очередь, связано с непониманием сущности движения. Посмотрим, что же говорил о движении Аристотель: “…движение, по всей видимости, есть [нечто] непрерывное, а бесконечное проявляется прежде всего в непрерывном; поэтому, определяя непрерывное, приходится часто пользоваться понятием бесконечного, так как непрерывное бесконечно делимо. Кроме того, движение невозможно без места, пустоты и времени…” [28, с.103].
“…движение помимо вещей не существует: ведь все меняющееся меняется всегда или в отношении сущности, или [в отношении] количества, или качества, или места… Так что если, кроме указанного, нет нечего сущего то и движение и изменение ничему иному не присущи, кроме как указанному. Каждый же из этих [родов сущего] присущ всему двояким образом, например: определенному предмету, с одной стороны, как форма его, с другой – как лишенность; в отношении качества – одно есть белое, а другое черное; в отношении количества – одно завершенное, другое – незавершенное; равным образом и в отношении перемещения – одно вверх, другое вниз или одно легкое, другое тяжелое. Таким образом, видов движения и изменения имеется столько же, сколько и [родов] сущего.
А так как в каждом роде мы различали [существующее] в действительности и в возможности, то движение есть действительность существующего в возможности, поскольку [последнее] таково; например, [действительность] могущего качественно измениться, поскольку оно способно к такому изменению, есть качественное изменение; [действительность] способного к росту и к противолежащему – убыли (ибо общего имени для того и другого нет) есть рост и убыль; [действительность] способного возникать и уничтожаться – возникновение и уничтожение, способного перемещаться – перемещение.
А то, что все это есть движение, ясно из следующего [примера]. Когда то, что может строится, поскольку мы называем его таковым, становится действительностью, оно строится, и это есть строительство; то же относится и к обучению, лечению, катанию, прыганию, созреванию, старению” [238, с.103-104].
“Итак, что именно это есть движение и что состояние движения наступает тогда, когда действительность будет [именно] такой – ни раньше, ни позже – это ясно. Ведь каждая [вещь] иногда может проявить деятельность, а иногда нет” [28, с.105].

Из приведенных цитат ясно следует, что под движением Аристотель понимал изменение вообще, а не только перемещение в пространстве. Это положение через много веков было кратко сформулировано Энгельсом: “Движение есть изменение вообще” [3, с.214].
При таком понимании движения, конечно, ни о какой конкретной единице движения говорить не приходится, остается только возможность говорить об абстрактном числе, не связанным с сущностью движения, что Аристотель и сделал.
Вторая причина, сыгравшая, на наш взгляд, большую роль в непонимании Аристотелем сущности времени и движения, ясна из следующей цитаты [28, c.145-146]: “После сказанного следует по порядку перейти к времени. Прежде всего хорошо будет поставить о нем вопрос с точки зрения более общих соображений, [а именно] принадлежит ли [время] к числу существующих или несуществующих [вещей], затем какова его природа.
Что время или совсем не существует, или едва [существует], будучи чем-то неясным, можно предполагать на основании следующего. Одна часть его была, и ее уже нет, другая – будет, и ее еще нет; из этих частей слагается и бесконечное время, и каждый раз выделяемый [промежуток]времени. А то, что слагается из несуществующего, не может, как кажется, быть причастным существованию. Кроме того, для всякой делимой вещи, если только она существует, необходимо, чтобы, пока она существует, существовали бы или все ее части, или некоторые, а у времени, которое [также] делимо, одни части уже были, другие – будут и ничто не существует. А “теперь”  не есть часть, так как часть измеряет целое, которое должно слагаться из частей; время же, по всей видимости, не слагается из “теперь”, Далее, не легко усмотреть, остается ли “теперь”, которое очевидно разделяет прошедшее и будущее, всегда единым и тождественным или [становится] каждый раз другим. Если оно всегда иное и иное и во времени ни одна часть вместе с другой не существует (кроме объемлющей и объемлемой, как меньшее время объемлется большим), а не существующее сейчас, а прежде существовавшее по необходимости когда-то исчезло, то и “теперь” вместе друг с другом не будут [существовать], а прежнее всегда должно уничтожаться. Исчезнуть в самом себе ему нельзя, потому что [именно] тогда оно есть; немыслимо [также], чтобы прежнее “теперь” исчезло в другом “теперь”. Ибо невозможно допустить следование “теперь” друг за другом, так же как и точки за точкой. Если, таким образом, одно “теперь” исчезает не в следующем за ним, но в каком-то другом, то оно было бы сразу в промежуточных “теперь”, каковых имеется бесконечное множество, а это невозможно. Но невозможно также одному и тому же “теперь” пребывать всегда, так как ничто делимое и ограниченное не имеет одной только границы, будь оно непрерывным только в одну сторону или в несколько, а “теперь” есть граница, и взять ограниченное время возможно. Далее, если существовать одновременно, ни прежде, ни после, значит, существовать в одном и том же “теперь”, то, если в этом “теперь” заключено и предыдущее и последующее, тогда окажется одновременным происшедшее десять тысяч лет назад и происшедшее сегодня, и ничто не будет раньше или позже другого”
Существует и третья причина, которая помешала Аристотелю понять сущность времени. Он не различал понятия времени и длительности. Мы уже говорили, что время – сущностное понятие, а длительность – число единиц движения. По сути дела, говоря о времени, Аристотель имел в виду длительность.
И, наконец, обратим внимание на утверждение Аристотеля о том, что время существует только в сознании человека. Действительно, это так, так как только человеку нужно понятие времени для познания природы и для возможности существования в вечно изменяющемся мире.
Кстати, подобного мнения придерживался и И. Кант. “Время, - пишет Кант, - не есть что-то объективное и реальное: оно не субстанция, не акциденция, не отношение, а субъективное условие, по природе человеческого ума необходимое для координации между собой всего чувственно воспринимаемого по определенному закону, и чистое созерцание” [29, с.172].