§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.12

Математические операции по определению скорости свободного падения тел, аналогичные уже рассмотренным нами в примере с функцией , были впервые проделаны Ферма (1601-1665 г.г.) в середине XVII века [16, с.153-155]. Все сделанные им выкладки являются правильными, если рассматривать их с наших позиций. Однако, с точки зрения математиков XVII века это было не так. Действительно, в рассуждениях Ферма есть непонятная величина : сперва она принимает некоторое значение, затем отбрасывается, то есть или считается нулем, или очень маленькой величиной. Нулем она, очевидно, быть не может по двум причинам: во-первых, она не будет изменять значение аргумента x, тогда какой же смысл ее вводить, и во-вторых, отношение будет выражаться отношением нулей, что тоже нелепо. Значит, это должна быть очень маленькая величина, а еще лучше – бесконечно малая. А вот что это такое – бесконечно малая величина – тоже не ясно. Поэтому такое исчисление назвали исчислением бесконечно малых. Ферма, дав способ нахождения скорости падения тела по его перемещению в пространстве, не дал ему никакого обоснования, тогда даже еще не было придумано название производной. Это был просто гениальный прорыв в неведомое. Ферма по праву может быть назван одним из создателей математического анализа.
Примерно в то же время начало разрабатываться понятие определенного интеграла на примерах вычисления площадей и объемов различных фигур и тел, хотя интегральные приемы использовались еще в Древней Греции. Одним из первых этим вопросом занялся Бонавентура Кавальери (1598-1647 г.г.). Покажем ход его рассуждений, приведя цитату из книги М. Клайна “Математика. Утрата определенности” [16, с.157]: “Кавальери считал, что площадь фигуры…состоит из бесконечно большого числа элементов, эти элементы он назвал неделимыми. Вполне возможно, что неделимыми могли быть отрезки прямых. У самого Кавальери не было ясности относительно того, что именно представляют собой его неделимые. Он лишь утверждал, что если площадь фигуры разбивать на все меньшие и меньшие прямоугольники,...то в конечном  итоге получатся неделимые. В одной из своих книг “Шесть геометрических упражнений” (1647), Кавальери “объяснил”, что рассматриваемая фигура состоит из неделимых, как, например, ожерелье из бусин, ткань – из нитей и книга – из страниц.
…не имея возможности объяснить, как из бесконечного числа элементов (неделимых) можно составить фигуру конечной протяженности, Кавальери пытался уйти от ответа на вопрос, отказываясь дать сколько-нибудь точную интерпретацию неделимых. Иногда он в довольно туманных выражениях говорил о бесконечной сумме линий, не объясняя явно природу бесконечности”.
Ферма тоже занимался проблемой определения площадей и объемов фигур. Цитирую М. Клайна дальше: “Получив выражения…для суммы площадей n прямоугольников и обнаружив в них члены вида и , Ферма отбросил их на том основании, что когда n обращается в бесконечность, эти члены пренебрежимо малы” [16, с.156-157]. М. Клайн по этому поводу замечает, что “в то время еще не было вполне ясно, что такое бесконечность”. Действительно, как можно было понять, что площадь фигуры, как утверждает Кавальери, складывается из линий, не имеющих никакой толщины, хотя их число и равно бесконечности. Мы тоже не уверены, что современные математики сразу согласятся с этим утверждением, хотя оно, как было показано выше, и справедливо. Более подробно с историей развития интегрального исчисления можно ознакомиться , например, по книге [17]. Мы же этот вопрос рассматривать не будем.
Наибольший вклад в создание и обоснование математического анализа в XVII веке внесли И. Ньютон (1643-1727) и Лейбниц (1646-1717), они даже оспаривали между собой приоритет в его разработке. Однако, как мы увидим дальше, их подход к обоснованию анализа был различным.
Точка зрения Ньютона на сущность дифференцирования с течением времени изменялась. Сперва он считал бесконечно малые величины постоянными или неделимыми (он называл их моментами), то есть стоял на тех же позициях, что и Ферма.
Затем Ньютон попытался дать более наглядное физическое обоснование анализу. В работе “Метод флюксий и бесконечные ряды” (1736) он рассматривает математические величины как “порождаемые посредством непрерывного возрастания, подобно пути, который описывает тело или какая-нибудь движущаяся вещь” и вводит “скорости порождающих их движений”, которые он назвал флюксиями [18, с.267].
“Я буду называть флюэнтами, или текущими величинами, величины, которые рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита v, x, y и z…Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюэнты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями или быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными, например, , , и ” [18, с.267-268].
Как видно из приведенной цитаты Ньютон понял необходимость введения движения для обоснования анализа, так как именно движение приводит к изменению величин, отношение которых и определяет производную. Движение же по необходимости приводит к понятию его скорости. Для определения скорости движения необходимо знать время этого движения. Что же понимал в данном случае под временем Ньютон? Приведем цитату из его книги “Математические начала натуральной философии” [13, с.107-108]: “Но так как мы здесь привлекаем к рассмотрению время лишь в той мере, в какой оно выражается и измеряется равномерным местным движением, и так как, кроме того, сравнивать друг с другом можно только величины одного рода, а также скорости, с которыми они возрастают или убывают, то я в нижеследующем рассматриваю не время как таковое, но предполагаю, что одна из предложенных величин, однородная с другими, возрастает благодаря равномерному течению, а все остальные отнесены к ней, как ко времени. Поэтому по аналогии за этой величиной не без основания можно сохранить название времени. Таким образом, повсюду, где в дальнейшем встречается слово время (а я его очень часто употребляю ради ясности и отчетливости), под ним нужно понимать не время в его формальном значении, а только ту отличную от времени величину, посредством равномерного роста или течения которой выражается и измеряется время”.
Таким образом, Ньютон сравнивал два движения и находил скорость одного из них по отношению к другому, то есть он, по сути дела, имел в виду квазидвижения, о которых уже говорилось. Очевидно также, что скорость движения можно найти не только с помощью отношения самих величин, но также и отношением их скоростей, если рассматривать два движения по отношению к третьему.