§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.15

Индекс материала
§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления.
ч.1
ч.2
ч.3
ч.4
ч.5
ч.6
ч.7
ч.8
ч.9
ч.10
ч.11
ч.12
ч.13
ч.15
ч.16
ч.17
ч.17
ч.18
ч.20
ч.21
ч.22
ч.23
ч.24
ч.26
ч.27
ч.28
ч.29
Все страницы

Ньютон, конечно, понимал недостаточную убедительность своих объяснений. Его мысль шла в поисках другого, более точного объяснения. Введя движение в качестве обоснования, он был уверен, что стоит на правильном пути: “Я рассматриваю здесь математические количества не как состоящие из очень малых постоянных частей, а как производимые непрерывным движением. Линии описываются…непрерывным движением точек, поверхности -–движением линий, объемы – движением поверхностей, углы – вращением сторон, времена – непрерывным течением и т.д.
Такое происхождение имеет место и на самом деле в природе вещей и наблюдается ежедневно при движении тел. Подобным образом древние объясняли происхождение прямоугольников, ведя подвижные прямые линии по неподвижным” [20, с.208].
Это также позволяло ему избавиться от бесконечно малых постоянных величин, смысл которых ему не был ясен.
В своей основополагающей работе “Математические начала натуральной философии” (1687) Ньютон дал обоснование анализу с помощью понятия о “первых и последних отношениях”. Под первыми отношениями он понимал отношения количеств взятых за некоторый интервал движения, последними отношениями он называл отношения количеств принимающих нулевые значения. Ньютон писал: “Эти последние отношения исчезающих количеств не являются в точностями отношениями последних количеств, а пределами, к которым постоянно приближаются отношения беспредельно убывающих количеств и к которым они приближаются более чем на любую заданную разность, но никогда не переходят через них и в действительности не достигают их ранее, чем эти количества не уменьшатся до бесконечности” [19, с.149].
Для разъяснения этого утверждения Ньютон обращается к его физическому смыслу [16, с.160]: “Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует “предельного отношения”, ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть “предельной” скорости, ибо та скорость, которую тело имело ранее, нежели оно достигло этого места, не есть “предельная”, когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под “предельною” скоростью надо разуметь ту, с которой тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, то есть именно ту скорость, обладая которой тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому, под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором исчезают” (подчеркнуто мной Б.М.).
Надо сказать, что объяснение примера с движением, данное Ньютоном не слишком удачно, так как в момент остановки скорость движения должна равняться нулю, мгновенно же она исчезнуть не может. О какой же тогда скорости и о каком движении говорит Ньютон? Он говорит об отношении величин, которые исчезают в выбранном положении (месте, точке), то есть становятся точно равными нулю. Это отношение Ньютон называет предельным отношением. Смысл высказывания Ньютона можно лучше понять, если подумать, откуда берутся исчезающие количества, являющиеся изменениеми функции и аргумента. Сами по себе эти количества появиться, а потом исчезнуть не могут, причем эти количества должны быть взаимообусловлены. Значит, эти количества задаются, то есть сообщается движение (изменение) аргументу и находится соответствующее движение (изменение) функции в выбранном положении, причем эти исчезающие потом количества не обязательно должны быть бесконечно малыми (см. приведенную выше цитату о непрерывности движения). Затем берется отношение этих количеств и определяется его значение при их исчезновении. Это предельное отношение Ньютон сравнивал со скоростью движения тела в момент его остановки, то есть по достижении крайнего места (см. цитату о первых и последних отношениях). В этом была, может быть, главная ошибка Ньютона, которая не позволила понять сущность дифференциального и интегрального исчисления вплоть до наших дней. Поэтому предельное отношение стали потом понимать как предел отношения двух переменных величин, стремящихся к нулю. Ньютон же понимал это отношение как скорость в данной точке, то есть предельную или мгновенную скорость движения, которая может быть найдена только при исчезновении самих величин, отношение которых рассматривается, поэтому он и говорил о предельном отношении. Но предельное отношение это не обязательно предел отношения двух величин. Под прекращением же движения следует понимать не прекращение самого движения вообще, а прекращение движения исчезающих количеств, которое им было задано. Однако, Ньютон не смог дать такого объяснения.
Ньютон понимал и прямо говорил, что отношения величин представляют собой скорость движения, причем первые отношения – это, конечно, средняя скорость, а последние отношения – мгновенная скорость, то есть скорость в данной точке. Если бы он еще сказал, что остановка движения условная, не настоящая, что движение тела не прекращается в выбранном месте, что это такой искусственный прием, используемый для нахождения скорости в выбранной точке, то, возможно, сущность дифференцирования была бы давно понята.
Как видим, Ньютон давал правильное объяснение сущности дифференцирования. Так почему же его не поняли современники и последующие поколения ученых? Причин этому можно выделить несколько.
Во-первых, Ньютон, введя движение в анализ, не рассмотрел его сущность, не сделал различия между действительным и квазидвижением, привлечение же в качестве примера действительного движения не было достаточно убедительным. Вследствие этого не была ясна и сущность скорости действительного и квазидвижений, которую Ньютон использовал для обоснования дифференциального исчисления. Иначе его первые и последние отношения не поняли бы только как предел. И, конечно, большую роль сыграло то, что Ньютон не знал сущности времени, иначе его объяснения были бы более четкими и ясными. Это, на наш взгляд, является основной причиной, которая существует и в настоящее время. Кроме того для современников Ньютона операции с переменными величинами и их отношениями считались несовместимыми с требованиями строгого геометрического доказательства.
Во-вторых, неясно было само понятие исчезающей величины, которая, очевидно, должна была быть бесконечно малой величиной. Математики же того времени считали, что такая величина может быть только постоянной, но никак не переменной. В общем, исчезающая величина была для ученых эпохи Ньютона очень странной и непонятной. Ньютон же не смог, хотя и пытался, дать убедительного объяснения и четкого правила дифференцирования, когда отношение малых, но не обязательно бесконечно малых величин, как это можно понять из слова “исчезающие”, становится равным отношению нулей.
В-третьих, отрицательную роль сыграло, можно сказать, символическое, почти мистическое обоснование анализа, данное современником Ньютона немецким ученым Лейбницем, позволившее, тем не менее, получать правильные результаты в очень удобной форме записи. Это обстоятельство, конечно, приводило к большим сомнениям и колебаниям при выборе из двух существующих обоснований одного правильного. На этом моменте мы остановимся подробнее.



Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации