§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.6

Те же сомнения можно высказать и в отношении дифференциалов dy и dx, так как ничего не говорится об их стремлении к нулю, хотя и утверждается, что dx тождественно . Исходя из определения дифференциала, можно утверждать, что выражение производной через отношение конечных величин (пусть и бесконечно малых) dy и dx приводит к замене любой функции на участке dx линейной зависимостью (касательной в точке M), что тоже требует определенных объяснений: на каком основании мы некоторую функцию заменяем другой и при каких значениях dx такая замена допустима? Если же dx будет стремиться к нулю, то выражение производной будет также иметь вид, аналогичный выражению (9).
Таким образом, приращение аргумента выполняет две различные функции в дифференциальном исчислении: во-первых, это так называемая некоторая бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю, и, во-вторых, это дифференциал dx, который является хоть и малой, но конечной величиной. Такое положение, конечно, не прибавляет нам уверенности в том, что мы правильно понимаем сущность дифференциального исчисления.
Теперь рассмотрим сущность интегрирования в современной трактовке. Интегралом от функции называется выражение:
,                                             (10)
где - интервалы, на которые разбивается конкретная величина, характеризующая область изменения независимой переменной x (интервалы, в принципе, могут быть разными), - значение функции в точках, лежащих в пределах интервалов, n – число интервалов, на которые разбивается независимая переменная в рассматриваемой области ее существования, которое в пределе стремится к бесконечности, a и b – конечные точки (границы) этой области.
Как видим, и здесь встречается величина , которая явно стремится к нулю при , и дифференциал dx под знаком интеграла, по определению равный . Но в выражениях интеграла через сумму Σ и через стилизованный знак суммы ∫ значения и dx не должны быть равны, так как , а dx, по определению, нет, иначе дифференциал dy будет равен нулю.
Таким образом, как в дифференциальном, так и интегральном исчислении существуют одни и те же неясности. Это обстоятельство заставило некоторых современных ученых продолжать работу над обоснованием математического анализа. В 1961 г. появилась статья А.Робинсона «Нестандартный анализ» в Трудах Нидерландской академии наук, в которой он дал новое определение бесконечно малой величины, причем эта величина у него является постоянной, а не переменной, как в классическом анализе. С помощью нового понятия бесконечно малой величины он дал непротиворечивое обоснование дифференциального и интегрального исчисления. Мы не будем обсуждать довольно сложные понятия нестандартного анализа, с логической точки зрения они, вероятно, справедливы, только покажем, что же принимается за бесконечно малую величину. Так, популяризатор нестандартного анализа В.Успенский в журнале «Наука и жизнь» приводит пример такой величины в виде бесконечной последовательности следующих чисел [15, с.49]:
(11)
Как видно из приведенного выражения бесконечно малая величина уже не выражается обычным числом, а только их совокупностью в виде определенной последовательности. Кстати, в нестандартном анализе и все другие величины также выражаются определенными последовательностями. Так, например, единица будет представляться последовательностью единиц:
1, 1, 1, 1,…                                                                                            (12)
Такие представления величин называются гипердействительными числами. Мы считаем, что использование такого приема для обоснования математического анализа является с математической точки зрения, может, и логически правильным, но зато совсем не отражающим физического смысла самого дифференциального и интегрального исчисления, и приводящего к еще большей путанице. Чтобы доказать справедливость данного утверждения, мы дадим свое обоснование математического анализа с использованием обычных действительных чисел.
Чтобы понять смысл дифференциального и интегрального исчисления, обратимся сперва к понятию скорости обычного перемещения в пространстве. Скорость, как известно, определяется отношением пути S, пройденного материальным объектом (телом), к соответствующему интервалу времени τ:
(13)

Это, конечно, есть средняя скорость движения на данном участке пути, и чем меньше мы будем брать интервал времени движения, тем ближе будет это значение скорости к ее мгновенному значению.
Выше было показано, что время есть выбранное нами эталонное движение. В принципе за эталонное можно взять любое движение. Для примера рассмотрим движение двух путников, идущих в одном направлении по одной и той же дороге. Один из путников идет быстрее, другой медленнее, поэтому при одномоментном начале движения они пройдут различные пути до отсчета следующего момента движения. Сравнить их движение можно, взяв отношение пройденных расстояний:
(14)
Что же представляет собой это отношение? Во-первых, оно показывает во сколько раз путь одного путника больше пути другого путника. Но это, однако, не все. Ведь пройденный каждым путником путь пропорционален скорости их движения. Поэтому, во-вторых, это отношение будет равно отношению скоростей движения путников:
,                                                                                           (15)
где скорости определяются в соответствии с выражением (13). Но и это еще не все. Движение одного из путников, например, второго, можно принять за эталонное. Тогда, в-третьих, отношение (13) определит скорость движения первого путника по отношению к движению второго путника:
(16)
В данном случае играет роль времени, а интенсивность движения (уже не скорость (!), так как у нас нет второго времени) второго путника будет эталонной. Ясно, что это будет средняя скорость движения первого путника на данном интервале движения, причем уже настоящая в ее физическом смысле.
Чтобы получить мгновенное значение скорости первого путника, надо брать все более короткие перемещения путников. Очевидно, что практически мгновенную скорость мы так и не сможем найти, так как это возможно только при нулевых перемещениях. Но теоретически это возможно представить, если установлена функциональная зависимость . Тогда мгновенная скорость определится отношением нулей:
(17)
Не будем сразу отвергать это выражение как «вульгарное» по выражению Колмогорова или как вообще не имеющее смысла. Ниже мы покажем, что это выражение, только представленное в другом виде, как это ни удивительно, широко применяется в математическом анализе.