§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.8
Таким образом, мы рассмотрели физическую сущность производной. При реальном движении объектов в пространстве это будет скорость их движения, как принято ее определять в механике. Но ведь функциональная зависимость 
может устанавливать связь не обязательно между действительными движениями материальных объектов в пространстве, но и между двумя любыми зависящими друг от друга величинами, которые можно рассматривать как квазидвижения, например, зависимость массы от объема, момента инерции от размеров тела и т.п. Какой же смысл в этом случае будет иметь производная? Математики говорят, что это как бы скорость, то есть это не настоящая скорость, а какой-то ее аналог. Мы считаем, что это будет действительно скорость,
характеризующая изменение одной величины по отношению к другой величине, просто это будет другая скорость. Чтобы отличать все другие скорости от реальных скоростей, обусловленных перемещением объектов в пространстве, скорости, не являющиеся реальными, можно называть квазискоростями.
При исследовании операций дифференцирования, мы установили, что эти операции возможны только при наличии движения и характеризуют мгновенное значение скорости в конкретной точке этого движения. Следовательно, можно утверждать, что движение объекта происходит от точки к точке, от одного мгновенного положения к другому мгновенному положению, символом которых является нуль.
Сущность движения станет еще более ясной после выяснения физической сущности интегрирования. Для этого рассмотрим, как и при выяснении сущности дифференцирования, действительное движение материального объекта в пространстве. Средняя скорость этого движения на каком-то отрезке пути определяется выражением:
, (21)
где 
- приращение пути; 
- соответствующее изменение времени, причем и 
и 
являются хотя и малыми, но конечными величинами, которые могут иметь вполне конкретное значение. При выполнении операции интегрирования мы считаем известной скорость движения 
и по этой скорости находим перемещение объекта:
(22)
С помощью этого выражения мы, очевидно, находим небольшое (элементарное) перемещение объекта при небольшом (элементарном) времени движения на каком-то участке пути, то есть отсчет перемещения в принципе может производиться от любой произвольной точки, характеризующей положение материального объекта. Очевидно, что такую операцию, то есть определение небольшого перемещения объекта, можно проделать для различных его положений, а затем все результаты сложить. Тогда мы найдем перемещение объекта за какой-то выбранный интервал времени. Для того, чтобы решить эту задачу необходимо знать закон изменения скорости в функции времени на всем интервале движения. Зададимся каким-либо законом изменения скорости движения, например, в виде:
, (23)
тогда элементарное перемещение 
будет равно:
(24)
Для упрощения задачи будем рассматривать движение, начиная с нулевого перемещения объекта, то есть 
.
В выражении (24) скорость 
является мгновенной, а не средней, так как для каждого значения x будет известно точное значение скорости. Среднее значение скорости на любом интервале 
при заданном законе ее изменения в принципе можно легко найти. Для более сложных зависимостей это будет сделать труднее, но в этом, в общем, нет необходимости. Поэтому мы будем брать значение скорости на конце каждого интервала 
, тогда, естественно, значение перемещения 
будет несколько завышенным, то есть приближенным. Как мы скоро увидим, это не окажет влияния на правильность определения результирующего перемещения объекта в пространстве. При таком задании скорости на каждом интервале движения ее значение в соответствии с формулой (23) будет определяться выражениями:
(25)
Здесь 
суммируется от начала движения, то есть от нулевого значения времени.
Тогда соответствующие элементарные перемещения на каждом интервале движения будут равны:
(26)
Вполне очевидно, что результирующее перемещение определится суммой всех элементарных перемещений:
, (27)
где сумма в скобках определяется известным выражением:
(28)
Тогда выражение (27) преобразуется к виду:
(29)
В этом выражении в скобках находится произведение 
на n, что представляет собой полную величину времени рассматриваемого движения, которую можно в общем виде обозначить через x. Тогда выражение (29) примет вид:
, (30)
причем величина x не будет зависеть от числа делений n.
Как уже отмечалось, перемещение, определяемое этим выражением, является приближенным. Чтобы получить точное значение перемещения, интервалы 
, как это следует из выражения (30), надо взять равными нулю. В этом случае выражение (30) будет характеризоваться точной параболической зависимостью перемещения от времени:
(31)
Таким образом, мы доказали, что для определения 
можно брать скорость в конце интервала 
, в принципе же ее можно брать в любой точке интервала за исключением начального момента движения, когда эта скорость равна нулю.
Поскольку при нахождении результирующего перемещения y мы принимаем 
, то из выражения (29) следует необычный результат:
, (32)
то есть аргумент x получается равным произведению нуля на бесконечность или бесконечной сумме нулей. Этот результат можно интерпретировать и так: поскольку произведение 
определяет время движения, то бесконечная сумма нулей, характеризующих мгновения движения, будет равна выбранному нами времени движения. Следовательно, произведение 
не есть некоторая неопределенная произвольная величина, а вполне конкретное в каждом рассматриваемом случае движения число, что является следствием принятого нами деления рассматриваемого интервала времени на n частей. Чем же можно объяснить такой нетривиальный результат? Ведь конечная сумма нулей всегда равна нулю, да и бесконечная тоже, если нули складываются в одну кучу. Это можно объяснить только одним – наличием движения объекта, происходящим с определенной скоростью.
