§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.9

Так как движение объекта характеризуется перемещением и временем, а время складывается, как мы видим, из отдельных мгновений (нулей), то каждому мгновению времени будет соответствовать свое мгновенное положение объекта в пространстве, бесконечная сумма которых и определяет его конечное перемещение. Конкретная же величина этого перемещения зависит от скорости и времени движения. К такому же заключению можно прийти и другим способом.
Действительно, в связи с вышеизложенным выражение для определенного интеграла можно представить в следующем виде:
,                                                                                     (33)
где , b и a – пределы интегрирования.
Поскольку при интегрировании необходимо принимать равным нулю, выражение (33) должно принять странный на первый взгляд вид:
(34)
Действительно, получается, что интеграл будет равен бесконечной сумме нулей. Какой же физический смысл заключен в этом результате? Будем рассуждать так. В выражении (33) представлена сумма произведений , которая для действительных скоростей и действительного времени представляет сумму некоторых небольших перемещений .
Поэтому выражение (33) можно записать так:
(35)
При бесконечном значении n перемещение становится равным нулю, а это значит, что действительное перемещение материального объекта будет складываться из нулевых перемещений, которые представляют собой мгновенные положения объекта в пространстве. Значит, полное перемещение объекта за какой-то промежуток времени будет складываться, как и время, из бесконечной суммы мгновенных положений.
Полученный нами результат является очень важным для всего последующего изложения. Не следует, однако, думать, что все это является чисто математической абстракцией и не имеет никакого реального смысла. Так, например, при качении колеса при отсутствии деформации его путь будет состоять из бесконечной суммы точек касания, то есть нулей, независимо от величины этого пути. И вообще, всякое перемещение в пространстве можно рассматривать как бесконечную сумму мгновенных положений любого материального объекта. Отсюда следует еще один интересный вывод: любой интервал движения, в том числе и время, можно делить до бесконечности, а это обстоятельство, в свою очередь, характеризует непрерывность движения.
Формулу (33) можно представить в еще более странном на первый взгляд виде:
(36)
О чем же может говорить это выражение? Имеется ли и здесь какой-нибудь физический смысл? Получается, что перемещение объекта, характеризуемое интегралом I, будет представлять собой, во-первых, бесконечную сумму нулей, о чем мы уже говорили, и во-вторых, что очень интересно, бесконечную сумму мгновенных скоростей на всем интервале движения, так как для каждого мгновения времени () будет существовать свое значение скорости . Правда, здесь можно усомниться: а действительно ли это будет так, ведь эта сумма умножается на нуль? Действительно, очень интересный и странный результат, однако и очень важный. Смысл этого результата станет нам яснее после рассмотрения геометрической сущности интегрирования.
И, наконец, выражение (33) может иметь и такой вид:
(37)
Очевидно, что выражение представляет собой среднее значение скорости объекта на всем интервале движения. Поэтому интеграл (37) можно записать в виде:
,                                                                                  (38)
что, в общем, давно известно.