§1. Движение ползуна по вращающемуся стержню

Задача заключается в определении закона движения ползуна относительно вращающегося стержня (рис.1). Хотя эта задача и решена [1, с. 108-109], физический смысл ее остался невыясненным, так как понять его можно только с учетом сил инерции, действующих на вращающийся ползун.
Поскольку частицы ползуна будут двигаться с разными окружными скоростями будут иметь место неоднородные поля скоростей и кинетической энергии в функции координаты r, в результате чего появится центробежная сила инерции Fцб, которая и заставит ползун перемещаться вдоль стержня во внешнюю сторону. Что касается центростремительной силы, то ее здесь нет, так как вращение ползуна осуществляется за счет его кинематической связи со стержнем. Поэтому центробежная сила в данном случае не будет уравновешена.
Решив уравнение относительного движения для ползуна:
(1)
с начальными условиями Vотн=0 при r=r0, получим:
;                                                                                       (2)
где chwt - гиперболический косинус, w - угловая скорость стержня, принимаемая нами за постоянную величину.
Скорость движения ползуна найдем дифференцированием по времени  выражения (2) :
;                                                                             (3)
Для скорости в относительном движении может быть получено и другое выражение из дифференциального уравнения:
;                                                                         (4)
решая которое получим:
;
;
;
;
,
где
(5)
Таким образом, в данном примере центробежная сила инерции является реакцией не на центростремительную силу, а на вращение, т.е. на изменение траектории движения тела (ползуна).
Поскольку при движении ползуна вдоль стержня момент инерции вращающейся системы, состоящей из ползуна и стержня, будет увеличиваться, для поддержания скорости вращения на постоянном уровне необходимо к системе непрерывно подводить дополнительную энергию, за счет чего движущийся момент Мдв будет увеличиваться. Этот момент можно представить в виде произведения движущей силы Fдв, приложенной к ползуну, на плечо r (рис.2):

(6)
Движущую силу определим, взяв производную от кинетической энергии по перемещению S (по дуге окружности радиуса r):
,                                                                                    (7)
где E - кинетическая энергия ползуна, ds - бесконечно  малое перемещение.
Имея в виду, что
;                                                                  (8)
где
;           ,
получим:

;                   (9)
Умножив и поделив правую часть этого выражения на dt и подставив значение ds=rdj, где dj - элементарный угол поворота стержня, преобразуем выражение  (9)  к виду:
,                       (10)
где dj/dt=w, ак=2wVотн - кориолисово ускорение.
Таким образом, для вращения ползуна с постоянной угловой скоростью к нему необходимо приложить движущую силу, величина которой зависит от кориолисова ускорения и массы ползуна.
Необходимость этой силы можно объяснить двумя причинами [2, с.307]: поворотом вектора относительной скорости при вращении ползуна и изменением величины переносной скорости при движении ползуна относительно стержня.
В первом случае половина движущей силы играет роль центростремительной силы по отношению к мгновенному центру скоростей Pv (см. рис. 2). Величину этой силы можно найти через изменение кинетической энергии DE=mDV2/2:
;                                                                                (11)
где
(12)
В результате получим:
(13)
Во втором случае половина движущей силы служит для увеличения переносной скорости. Ее также можно найти с помощью производной от кинетической энергии:
(14)
где
;

;                                                 (15)
В результате получим:
(16)
так как