§6. Прецессия конического волчка в горизонтальной плоскости

Прецессия конического волчка в горизонтальной плоскости
Конический волчок в горизонтальном положении показан на рис. 1. Чтобы найти инерционные силы, дейст-вующие на этот волчок, найдем сперва силы, дейст-вующие на выделенную элементарную массу dm , которую ввиду ее малой толщины dl, можно считать элементарным цилиндриком и которая находится на расстоянии l от точки опоры О.
Для определения инерционных сил используем методику, рассмотренную нами выше. По этой методике сперва находятся линейные скорости точек элементарного диска с помощью дифференциального уравнения движения для всего волчка в целом:
,                                                                                 (1)
где Jx - момент инерции волчка относительно оси Х, wx - угловая скорость волчка относительно той же оси.
Решая это уравнение с начальными условиями:  =0 при =0, найдем угловую скорость wx:
(2)
Линейная скорость центра элементарной массы dm определится выражением:
(3)
и будет направлена параллельно оси Z, так как ось волчка расположена горизонтально. Для точек, не лежащих на горизонтальном диаметре диска, скорости будут равны:
,                                                                                         (4)
где , b - угол между горизонтальной плоскостью и отрезком, определяющим расстояние от выбранной точки до оси Х. Эта скорость будет расположена под углом b к вертикальной плоскости, ее проекция на плоскость элементарного диска будет равна:
,                                        (5)
т.е. для всех точек элементарного диска вертикальные скорости будут одинаковы. Тогда, используя поля кинетической энергии, как и в предыдущих случаях, получим силы, действующие на элементарный диск. Однако, здесь есть некоторое отличие, связанное с тем, что диск совершает не прямолинейное, а вращательное движение вокруг оси Х. Это обстоятельство будет учтено нами ниже.
Так как  конический волчок движется под действием момента:
,                                                                                          (6)
элементарный диск будет двигаться под действием элементарной силы dF0  (рис. 2а). Рассматривая движение диска как свободное с линейной скоростью , по уже известной нам формуле найдем силу dF1:
,                                                                                  (7)
где
(8)
Элементарная сила dF1 создаст относительно оси Z момент:
(9)
Интегрируя данное выражение и используя соотношения:
,                                                           (10)
получим:
,                                                        (11)
где mк масса конуса.
Данный момент приведет волчок в движение относительно оси Z, скорость которого найдем с помощью дифференциального уравнения:
,                                         (12)
где
Решая это уравнение, найдем угловую скорость :
(13)
и соответствующую линейную скорость V1:
(14)
Элементарная сила dF2 и элементарный момент dM2 определяются выражениями:
;                                                                                  (15)
(16)
Интегрируя выражение (16), найдем момент М2:

(17)
Под действием момента М2 волчок начнет вращаться вокруг оси Х по часовой стрелке (см. рис. 1 и 2). Найдем угловую скорость этого движения:
;                              (18)
(19)
Линейная скорость любой элементарной массы и инерционная сила, на нее действующая, определяются выражениями:
;                                                                                            (20)
(21)
Полный инерционный момент М3, действующий на волчок, определится интегрированием выражения для элементарного момента:
;                                                                                  (22)

(23)
Мы уже знаем, что число этих инерционных моментов будет равно бесконечности. Просуммировав все эти моменты отдельно для осей X и Z, получим следующие выражения:
(24)

(25)
Если в приведенные выражения подставить значение момента инерции для конуса:
,                                                        (26)
то в соответствии с формулами (24) и (25) окажется, что моменты сил инерции будут изменяться с частотой, не равной скорости вращения волчка:
,                                                                  (27)
что вызывает сомнения. И вот здесь следует вспомнить пример, рассмотренный нами выше, о взаимодействии вращательных движений для тела цилиндрической формы. При движении волчка относительно оси Х элементарный диск не просто перемещается в пространстве вместе с его центром масс, но также и поворачивается относительно оси Х, в результате чего возникают соответствующие поля скоростей и инерционные моменты (см. рис. 3). Для определения этих моментов вернемся к выводу формул для цилиндрического тела, преобразовав их для тела конической формы. Для момента от осевых сил формулы примут следующий вид:
,              (28)
где
;              (29)
;     (30)
;                   (31)
;                                                                                       (32)
(33)
Данные формулы отличаются от приведенной выше формулы тем, что постоянный радиус цилиндра R заменяется текущим радиусом конуса r, высота цилиндра Н заменяется толщиной элементарного диска dl, угловая скорость вокруг оси Z заменяется угловой скоростью вокруг оси Х. Имея ввиду, что ; , проинтегрируем выражение элементарного момента от осевых сил инерции:

(34)
Полученный момент добавится к моменту М1, полученному нами ранее, в результате чего суммарный момент будет равен:
,        (35)
который и будет оказывать влияние на дальнейшее движение волчка, т.е. во все последующие формулы добавится множитель . В результате этого формулы для инерционных моментов примут вид:
;                                               (36)
(37)
Если учесть, что момент инерции Jx определяется выражением (26), формулы (36) и (37) преобразуются к виду:
;                                                                          (38)
,                                                                            (39)
т.е. получились вполне логичные формулы для инерционных сил. Но у нас остался еще момент от радиальных сил dFR, а он ведь тоже должен внести свой вклад в величину общего инерционного момента, и тогда частота его изменится - опять не будет равна скорости движения волчка. Однако этого не будет, так как этот момент уже учтен нами при определении моментов М1, М2 и т. д., поскольку мы при этом учитывали изменения поля скоростей в радиальном направлении (см. рис. 2).
Таким образом, можно сделать вывод, что формулы для инерционных моментов, действующих на волчок конической формы, будут иметь один и тот же  вид, что и для волчка цилиндрической формы, находящегося под действием момента от его веса.