§12. Влияние вращения Земли на ее движение по орбите

Выше было установлено, что планеты деформируются силами тяготения, которые растягивают планеты в радиальном направлении по отношению к Солнцу, т.е. на планеты будет постоянно действовать упругая сила деформации. Величина этой силы определяется выражением (10.90):

Эта упругая сила не будет оказывать влияния на движение планет по их орбитам только в том случае, когда они не будут вращаться вокруг своей оси. При вращении же планет вокруг своей оси появятся центробежные силы инерции от этого вращения и соответствующие им деформации, которые будут взаимодействовать с упругими деформациями от сил тяготения. Это обстоятельство, как было показано выше, сразу же приведет к появлению периодических инерционных сил, которые вызовут дополнительное движение планет по отношению к их основным эллиптическим орбитам. Рассмотрим взаимодействие упругих сил на примере движения Земли (рис. 1). Ось вращения Земли расположена под углом =23,4330 по отношению к перпендикуляру к плоскости ее орбиты и занимает одно и тоже направление в пространстве по отношению к звездам, т.е. перемещается параллельно самой себе при движении Земли по орбите. Угол между осью вращения Земли и направлением упругой силы не будет равен 900 и будет изменяться в зависимости от угла , который мы будем отсчитывать от ближайшего положения Земли к Солнцу, когда (см. § 10). В этом случае целесообразно упругую силу деформации разложить на две составляющие, одна из которых будет перпендикулярна к вектору угловой скорости Земли , а другая - направлена по этому вектору. Так как вторая составляющая не будет взаимодействовать с вращательным движением, учитывать ее не будем. Взаимное положение сил и оси вращения Земли в ее различных положениях показано на рисунке 2.
В результате взаимодействия упругих сил возникают две периодические силы (см. § 4):
,                                                                          (1)
,                                                                          (2)
где сила определяется выражением:
,                                         (3)
а угол находится из соотношения (см. положение I на рис. 2):
(4)
Здесь: - проекция вектора на радиальное направление, - проекция вектора на плоскость орбиты Земли, - время движения.
Силы и расположены перпендикулярно к вектору . Сила направлена в сторону действия силы , а сила - перпендикулярна к силе и направлена в сторону движения Земли по ее орбите. Направления действия этих сил, как было показано выше, определяется по характеру смещения мгновенных центров скоростей при взаимодействии вращательного и прямолинейного движений под действием силы .
Для дальнейших выкладок силы и надо спроектировать на три направления: радиальное, касательное и вертикальное (см. рис. 2):
(5)
(6)
(7)
;                                                                                                       (8)
;   (9)
(10)
Здесь угол представляет собой угол наклона плоскости, в которой расположены вектор , силы и , по отношению к вертикали. Этот угол мы определяем выражением:
(11)
Сила расположена перпендикулярно к указанной плоскости и лежит в плоскости (на рис. 2 эти плоскости для разных положений Земли на орбите заштрихованы).
Полученные составляющие сил приведут к движению Земли по линиям их действия, т.е. в радиальном, касательном и нормальном направлениях. Чтобы определить характер этих движений, надо составить уравнения движения в форме второго закона Ньютона. Для упрощения решения данной задачи примем, что сила будет постоянной в пределах одного оборота Земли. Примем также, что скорости и перемещения Земли с началом каждого нового оборота будут равны нулю (по отношению к скорости это условие будет полностью справедливо, перемещения же можно потом просуммировать). При таких условиях уравнения движения будут зависеть только от времени вращения Земли вокруг своей оси (или от угла ее поворота) и будут иметь следующий вид:
;                          (12)
(13)
(14)
Решениями этих уравнений с учетом принятых начальных условий будут выражения:
(15)
(16)
(17)
;                 (18)
(19)
(20)
При решении данных дифференциальных уравнений мы принимаем, что угол в пределах одного оборота Земли будет постоянным, так как он изменяется незначительно.
По полученным формулам были рассчитаны дополнительные перемещения Земли по отношению к эллиптической орбите в пределах одного оборота для различных положений Земли за год ее движения, т.е. для различных значений угла . Результаты расчета приведены в таблице 1, где N - номер одного оборота Земли вокруг своей оси, начиная с перигелия, а - соответствующий ему угол. Угол характеризует поворот Земли вокруг своей оси.
При расчетах использовались следующие данные: Rпл= 6,37106 м, е = 0,01671, wс/wз =  1/365,25, a = 23,433°.

Таблица 1.

Для отдельных положений Земли при N=1,90,180 и 270 на основании расчетных данных построены графики перемещений за один ее оборот (рис. 3,4,5). На рисунке 6 показаны перемещения в зависимости от угла j , т.е. от положения Земли на ее орбите (графики построены в разных масштабах). Результирующее перемещение в касательном направлении определится суммой отдельных перемещений, соответствующих одному обороту Земли вокруг своей оси, и будет равно примерно 421 км за год. Это значит, что Земля раньше закончит свой полный оборот вокруг Солнца.  Результирующее перемещение в нормальном направлении также определится суммой отдельных перемещений, что за половину движения по орбите составит, примерно, 1,435 км.  На второй половине орбиты перемещение будет, примерно, таким же,  но направленным в противоположную сторону, в результате чего суммарное перемещение за год будет равно нулю. На рис. 7 представлен участок орбиты Земли, соответствующий одному обороту Земли вокруг своей оси, на котором показаны (не в масштабе) ее дополнительные перемещения в радиальном и нормальном направлениях. Результирующее перемещение определится как геометрическая сумма обоих перемещений и будет направлено под углом к плоскости орбиты. Значение углов для различных положений Земли на орбите даны в таблице 2.

Таблица 2.

На основании приведенных расчетов можно сделать следующие выводы. Движение Земли по орбите не является строго эллиптическим, с каждым  оборотом вокруг своей оси она описывает сложную траекторию в соответствии с действующими на нее дополнительными инерционными силами. обусловленными ее деформацией от сил тяготения и вращательного движения. Такой характер движения давно замечен астрономами. Однако. утверждать, что эти отклонения точно описывают траекторию Земли, нельзя по следующим причинам. Во-первых. на Землю кроме сил тяготения со стороны Солнца действуют силы тяготения со стороны других планет и Луны, что искажает ее траекторию, а также вызывает ее деформацию и, следовательно, появление новых периодических сил, действующих в различных направлениях. Во-вторых. как было показано в предыдущем параграфе, на Землю должна действовать сила сопротивления со стороны вакуума, которая тоже приведет к деформации Земли и к появлению периодических сил. В-третьих, отклонение от эллиптической траектории или изменение скорости движения сразу же “приведет в действие” закон сохранения количества движения, что также приведет к изменению траектории движения. Так, например, при приближении планеты к Солнцу, ее окружная скорость увеличится, что приведет к увеличению центробежной силы инерции. а значит, и к некоторому удалению от Солнца, т.е. к обратному движению. Как видим, движение Земли по ее орбите будет очень сложным, астрономы говорят даже, что она вальсирует на орбите. Описать это движение одним каким-то уравнением невозможно. Однако,  с некоторой степенью точности результирующее отклонение от всех этих воздействий в дополнительном движении Земли по орбите можно найти с помощью изложенной нами методики.  Для этого надо найти упругую силу деформации от  каждого отдельного воздействия в выбранных положениях Земли, векторно их просуммировать, затем спроектировать на вектор угловой скорости Земли и перпендикулярно к нему. найти две периодические силы инерции и затем спроектировать их на три направления: радиальное, касательное и нормальное. Дальше расчет будет производиться указанным выше способом.