§9. Движение волчка на горизонтальной поверхности

До сих пор мы рассматривали движение волчка с одной неподвижной точкой, наличием которой по сути дела, и вызывались прецессионные и нутационные движения. Как же поведет себя волчок, если такой точки не будет и он сможет свободно двигаться по горизонтальной поверхности? Такая задача рассмотрена в книгах [6, с. 302-305], [7, с. 185-190], где дается полукачественное объяснение характера движения волчка. Мы дадим свое объяснение, хотя тоже приближенное.
Разберем случай, рассмотренный в работе [7], когда волчок находится на абсолютно гладкой поверхности, т. е трение между поверхностью и волчком отсутствует. Если вращающийся волчок осторожно без толчка поставить на поверхность под углом к вертикали, то его конец, соприкасающийся с поверхностью, будет описывать фигуры, характерные для совокупности нутационного и прецессионного движений (рис. 1). Такой характер движения волчка можно объяснить следующими причинами.
1. На волчок действует активный момент сил G  и N, равных по величине друг другу. Под действием этого момента, как и в предыдущих примерах, волчок начнет совершать прецессионное и  нутационное движения с опорой на острие. Закон этого движения можно приближенно рассчитать, если вершину волчка считать неподвижной.
2. Поскольку между острием волчка и поверхностью трение отсутствует, движение центра масс волчка приведет к движению его вершины по отношению к поверхности, причем незначительные перемещения центра масс по вертикали, приведут к существенному изменению угла a (см. рис. 1,б). Произведем элементарные расчеты для определения отношения Dx/Dz. Сперва найдем углы  a1 иa2. Из рисунка 1,б следует:
;                                                                                 (1)
,   (2)
где ls - расстояние от точки касания до центра масс волчка, откуда получим:
(3)
(4)
Теперь найдем взаимозависимые изменения координат Dx и Dz:
(5)
(6)
Тогда отношение приращений DX/DZ определится выражением:
(7)
При угле a1=100 отношение Dx/Dz изменяется в пределах от 5 до 3.5 при изменении Dz/z1 от 0.01 до 0.05. Кроме этого величина радиуса ОК1 составляет, примерно, 0.18 от длины координаты Z1. В итоге незначительные колебания центра масс относительно его начального положения как бы усилятся и будут хорошо заметны на поверхности. В работе [6] утверждается, что центр масс будет неподвижным, но этого быть не может, так как конец волчка должен тогда отрываться от поверхности.
3. Нутационные колебания волчка создают устойчивость его движения и не дают ему упасть на поверхность.
Картина движения волчка будет еще более сложной, если он будет двигаться по поверхности при наличии трения. Если вращающемуся волчку сообщить горизонтальную скорость путем толчка, он начнет двигаться по сходящейся спирали (см. рис. 2). Так будут двигаться легкие волчки по полированной поверхности. Через несколько оборотов по этой спирали волчок остановится в точке О и будет продолжать вращаться вокруг своей оси, находясь на одном месте.
Так какая же причина заставляет волчок двигаться по спирали, а не по прямой линии?
Рассмотрим этот вопрос в общих чертах, поскольку физическая картина будет достаточно сложной.  Основной причиной такого поведения волчка является сила трения Fтр между волчком и поверхностью. Сила трения будет тормозить движение, в результате чего появится сила инерции, приложенная в центре масс волчка и направленная в сторону движения. Под действием силы инерции, создающей опрокидывающий момент My , ось вращения волчка наклонится вперед на некоторый угол a и займет положение Z’, а центр масс S - положение S’ (см. рис. 3, а, б). При повороте вращающегося волчка в действие вступает гироскопический эффект, рассмотренный нами в §5, в результате чего возникает момент Mx, вращающий волчок вокруг оси X. Для определения направления момента Mx рассмотрим картину скоростей, возникающую при сложении скоростей вращающегося волчка Vr в любой его точке и равных произведению w на радиус r и скорости DVr от поворота волчка вокруг оси Y (см. рис. 3,в). В результате сложения скоростей в произвольном сечении волчка мгновенный центр скоростей Pv с оси волчка смещается в другую точку. Вследствие этого возникнет реактивная сила инерции F, которая заставит волчок двигаться к новому положению точки Pv, поэтому волчок начнет поворачиваться вокруг оси X против часовой стрелки, если смотреть с конца этой оси. Величина вращающего момента в соответствии с формулой (5.16) определится выражением:
,                         (8)
где Jx - момент инерции волчка относительно оси X, проходящей через центр масс волчка.
В результате поворота вокруг оси X центр масс волчка займет положение S’’, а ось Z’ - положение Z’’, повернувшись на угол b (см. рис. 3, а,б).Результирующее перемещение центра масс волчка определится отрезком DZ , равным геометрической сумме перемещений DX и DY. Таким образом, центр масс волчка сместится относительно системы координат X,Y,Z , начало которой находится в точке А, и будет лежать на прямой I-I, расположенной под углом g к оси X.
Под действием моментов My и Mx волчок должен был бы упасть, но здесь снова проявляет себя гироскопический эффект, обусловленный весом волчка G. Этот эффект мы подробно рассматривали в §§ 4-7, поэтому просто укажем направление возникающих периодических сил инерции и. Для этого покажем сечение I-I волчка вертикальной плоскостью, проходящей через ось Z (см. рис. 3,г), и затем сечение II-II плоскостью, перпендикулярной к оси Z’’ и проходящей через центр масс волчка (см. рис. 3,д) . Величина этих сил определится выражениями:
;                                        (9)
,                                          (10)
где y - угол между осями Z’’ и Z.
Эти силы окажут влияние на движение волчка, заставив его совершать дополнительные перемещения по поверхности. Эти перемещения определятся проекциями сил и на горизонтальное направление (см. рис. 3,г):
;                                                (11)
(12)
Следует отметить, что по истечении одного оборота волчка вокруг его оси результирующее перемещение от действия силы будет равно нулю, а результирующее перемещение вдоль оси Y от силы определится ее проекцией на ось Y и будет равно:
(13)
т.е. на такую величину переместится волчок по поверхности в направлении оси Y за один свой оборот под действием инерционных сил.
В результате действия всех факторов: начального толчка и появившихся инерционных сил, волчок будет двигаться по криволинейной траектории, которую приближенно будем считать дугой окружности. На рисунке 4 показано перемещение волчка из начального нулевого в первое положение после первого оборота вокруг своей оси. Величина перемещения определяется по формуле (13), длина дуги S0S1 может быть найдена путем решения дифференциального уравнения движения волчка:
,                           (14)
где V - линейная скорость движения волчка по траектории.
Имея в виду, что начальная скорость движения волчка по траектории V0 , а перемещение S вдоль оси X равно нулю, получим следующие выражения:
;                                                               (15)
,                                          (16)
где m - масса волчка.
Силу трения на основании закона Кулона представим в виде:
,                                                                           (17)
где G - вес волчка, f - коэффициент трения скольжения для пары материалов волчок-опора.
Тогда выражения (15) и (16) преобразуются к виду:
;                                                                                   (18)
(19)
Так как время одного оборота волчка равно:
,                                                                                     (20)
то скорость и перемещение в первом положении соответственно будут равны:
;                                                                       (21)
(22)
Найдем радиус кривизны траектории волчка, заменив дугу S0S1 хордой. Тогда получим:
(23)
Так как из рисунка 4 следует, что:
,                                                                      (24)
выражение (23) примет вид:
(25)
После определения первого положения волчка можно переходить к определению его второго положения, приняв первое положение за начальное и введя новую систему координат. Так последовательно шаг за шагом можно найти всю траекторию движения волчка.
Для пошагового расчета траектории можно вывести более удобные формулы. Возьмем на траектории два соседних положения волчка, разделенных временем его одного оборота вокруг оси: положения i и i+1 (см. рис. 5). Значение скоростей и перемещений в этих точках можно найти с помощью выражений (18) и (19):
;                                                   (26)
;                                                                           (27)
;                                                                     (28)
(29)
Перемещение волчка по его траектории между этими двумя положениями определится разностью перемещений Si+1 и Si:
(30)
Здесь: Dti - время одного оборота волчка в i-ом положении, равное:
,                                                                                  (31)
где wi - угловая скорость вращения волчка в i-ом положении.
Угловая скорость вращения волчка при его движении по траектории непрерывно уменьшается из-за трения о поверхность и потерь энергии на инерционное движение за счет действия сил Fx и Fy.
Для определения угловой скорости волчка в любом его положении запишем уравнение энергетического баланса:
,                                                                        (32)
где J - момент инерции волчка относительно его оси вращения, DAi - суммарные потери энергии за время движения до i-го положения.
Из выражения (32) следует:
(33)
Тогда радиус кривизны траектории определится выражением:
(34)
а угол mi с помощью формулы:
(35)
Поскольку траектория движения волчка является криволинейной на волчок будет действовать еще одна сила, которая также будет влиять на характер движения волчка - это центробежная сила инерции (рис. 6):
,                                                                  (36)
где wi - угловая скорость вращения центра масс волчка вокруг оси Оi (мгновенного центра скоростей):
(37)
Под действием всех сил волчок будет двигаться по траектории с наклонённой по отношению к вертикали осью собственного вращения. А это приводит к тому, что при наличии трения волчок будет перекатываться по поверхности как тело конической формы в сторону, противоположную  вращению вокруг точки О с угловой скоростью w. Вместе в этим движением будет перемещаться и точка А, лежащая на оси волчка, вследствие чего траектория будет отклоняться от окружности радиуса r (см. рис. 7). Это объясняется тем, что острие волчка затуплено и его можно рассматривать как часть сферической поверхности радиуса rсф. В результате перекатывания волчок будет удаляться от центра кривизны траектории, и ее радиус r соответственно будет увеличиваться. Это обстоятельство тоже окажет существенное влияние на характер движения волчка.  На рисунке 7 rдоб - это увеличение радиуса кривизны траектории за счет наклона оси волчка. Эксперименты показывают, что при определенном начальном наклоне оси волчка от вертикали после толчка волчок может двигаться по прямой и даже по спирали закрученной в другую сторону.
Рассчитаем величину перемещения Sk за счет перекатывания волчка относительно точки О1 за один его оборот вокруг своей оси (см. рис. 8).
Линейная скорость перемещения точки касания Ak при перекатывании волчка за счет его вращения вокруг своей оси по поверхности, а также скорость и точки А (скорости этих точек  будут одинаковы, так как они находятся на одном расстоянии от вертикальной оси Z1, вокруг которой происходит перекатывание) будет равна:
,                                                                                            (38)
где rk - радиус конической части, который может быть найден по радиусу сферы (см. рис. 8):
(39)
Величина линейного перемещения точки Ak определится ее скоростью:
,                        (40)
где t - время движения. За один оборот волчка (tоб=2p/w), перемещение Sk , будет равно:
(41)
Из-за этого перекатывания траектория волчка несколько изменится и точка Ak вместо положения попадет в положение (см. рис. 9), что изменит радиус кривизны траектории. В соответствии с рисунком 9 имеем:
(42)
откуда:
;                                                                               (43)
Угол j’’ можно выразить через угол j’, приравняв с некоторым допущением хорды и :
;                                                                                 (44)
где:
,      (45)
откуда получим:
(46)
Здесь S - перемещение волчка по траектории за один его оборот.
Таким образом, мы рассмотрели в общих чертах характер движения волчка при его движении по горизонтальной поверхности с учетом влияния сил трения. Интересно отметить следующий экспериментальный факт: после прекращения движения по траектории ось вращения волчка принимает вертикальное положение. Это явление можно объяснить тем, что исчезает сила инерции, обусловленная сопротивлением со стороны сил трения.
Из рассмотренной задачи можно сделать следующие выводы:
1. Движение волчка после толчка происходит без воздействия активных внешних сил, за исключением его веса. Сила трения является пассивной силой, тормозящей движение.
2. Наблюдаемое движение волчка по траектории может быть объяснено только совместным действием силы трения и сил инерции после сообщения волчку линейной горизонтальной скорости V0.  Это еще один пример, подтверждающий реальность сил инерции.