§ 2. Вращение грузика на подвижной нити

Мы уже рассматривали эту задачу в качестве примера при обсуждении закона сохранения момента импульса. Теперь разберем эту задачу более основательно с точки зрения динамики движения грузика.
При вращении грузика на нити (рис. 1) центробежная сила инерции равна силе сопротивления нити, удерживаемой в месте ее крепления. Если начать отпускать нить так, чтобы она двигалась в радиальном направлении с постоянной скоростью, сила сопротивления движению должна в каждый момент времени равняться движущей силе, т.е. центробежной силе инерции. Таким образом, получается, что при неподвижной нити и при нити, движущейся с постоянной скоростью, силы должны быть одинаковыми. Но если это так, то откуда возьмется движение в начальный момент времени? И второе. Центробежная сила инерции будет изменяться с удлинением нити (уменьшаться), значит, должна изменяться и сила сопротивления точно по такому же закону. Чтобы разрешить данную проблему, представим себе, что нить на некоторое небольшое время мгновенно отпускается. Натяжение при этом исчезнет и движение грузика будет происходить безо всякого взаимодействия с нитью. Тогда, в соответствии с законом инерции, грузик должен будет двигаться по касательной к своей начальной траектории, т.е. перпендикулярно к радиусу r0 с линейной скоростью V0 (см. рис. 2). Он будет совершать такое свободное движение до тех пор пока нить не натянется и не окажет сопротивления движению. Тогда скорость грузика V0 будет расположена под углом j к направлению возможного движения, перпендикулярного к новому положению нити, т.е. к радиусу rj. В соответствии с этим часть скорости, направленная по нити, будет “погашена”, а груз начнет вращаться вокруг точки 0 с окружной скоростью:
(1)
Интересно, что произведение скорости Vt,j на радиус rj будет равно:
,                                           (2)
где rj=r0/cosj, что в точности представляет собой закон сохранения момента количества движения (момента импульса). Таким образом этот закон получен нами другим, отличным от рассмотренных ранее способом.
Рассмотрим теперь энергетические соотношения при движении грузика. Во-первых, кинетическая энергия грузика разделится на две части: одна в радиальном, другая в касательном направлении:
(3)
(4)
Если энергия грузика в касательном направлении будет представлять собой энергию движения тела, то в радиальном направлении энергия грузика создаст силу натяжения нити, т.е. перейдет в соответствующую ей энергию деформации нити. Для доказательства этого возьмем производную от кинетической энергии Е по радиусу r:
;                                                                                    (5)
Так как конечное значение кинетической энергии грузика за счет торможения нити равно нулю, изменение кинетической энергии определится выражением:
(6)
Приращение радиуса Dr будет равно:
(7)
В результате выражение (5) примет вид:


(8)
Таким образом, мы получили силу с которой нить тормозит грузик. По отношению к грузику это будет внешняя сила, тормозящая его движение. Очевидно, с такой же силой грузик будет действовать на нить, вызывая в ней деформации растяжения. Эта сила обусловливается энергией грузика Еr, и она, по сути дела, является активной силой, направленной во внешнюю сторону. А такой силой в данном случае является только центробежная сила инерции. Можно, конечно. сказать, что этой силы нет, что натяжение нити вызывается стремлением грузика двигаться по инерции, т.е. по касательной. Но дело в том, что мы нашли силу непосредственно в начальном положении грузика при r=r0, так как при взятии производной r стремится к r0, а точнее, принимает это же самое значение. Значит, уже в начальном положении на грузик будет действовать радиальная сила, направленная во внешнюю сторону, т.е. центробежная сила инерции. И. как мы показали, она обусловлена наличием радиальной составляющей кинетической энергии тела во вращательном движении за счет искривления  траектории его движения, хотя на первый взгляд, такой составляющей энергии быть не должно. Это свойство четко выявляется при использовании способа математического дифференцирования в виде отношения приращения функции к изменению аргумента. Это еще один из способов доказательства реальности сил инерции.
Поскольку мы рассмотрели свободное движение грузика на некотором небольшом угле поворота j и пришли к выводу о существовании центробежной силы инерции при натянутой нити, то рассматривая такие интервалы движения как бесконечно малые, можно утверждать, что движение грузика при изменении длины нити состоит из бесконечно большого числа таких интервалов, что в пределе приводит к непрерывному движению в радиальном направлении.  И несмотря на наличие равновесия внешней центробежной силы и силы сопротивления, движение грузика можно рассматривать происходящим под действием только одной центробежной силы инерции, поскольку она в данном случае является активной силой. Это очень важный вывод. Такое же заключение, используя приведенный выше способ рассуждений, можно сделать и для движения грузика по любому произвольному закону в радиальном направлении. Однако, это будет справедливо только лишь при наличии силы сопротивления со стороны нити, так как только тогда тело будет участвовать и во вращательном, а не просто в свободном движении.
Ну, и если быть совсем точными, то следует отметить, что при свободном движении на угле j грузик будет двигаться без поворота относительно своего центра масс - точки С, а в момент натяжения нити она заставит его повернуться на угол j. Так что в пределе с изменением радиуса r грузик будет поворачиваться по направлению движения с некоторой угловой скоростью. Этому движению будет соответствовать своя энергия. Мы же, рассматривая движение грузика, будем принимать его за точечное тело.
Таким образом, движение грузика в радиальном направлении должно задаваться или через скорость или через изменение радиуса  в функции времени V(t), r(t). Что же касается движения в касательном направлении, то его надо определить.
Рассмотрим сперва затраты энергии при движении грузика в радиальном направлении (см. рис. 3). При перемещении грузика от радиуса r0, до любого произвольного радиуса r, изменение энергии (уменьшение)  DЕ грузика будет равно:
(9)
Это изменение энергии связано с работой, совершаемой центробежной силой инерции:
(10)
где
(11)
Приравняв работу Ацб и изменение энергии DЕ, а затем продифференцировав это выражение по, получим:
(12)
(13)
(14)
Возьмем интеграл от выражения (14):
(15)
(16)
(17)
(18)
В результате мы снова получили закон сохранения момента количества  движения.
Найдем теперь характер движения грузика в касательном направлении (см. рис. 3). Действительно, под действием центробежной силы инерции грузик перемещался бы только в радиальном направлении, вращаясь вместе с радиус-вектором r0 с одной и той же угловой скоростью w0. Но так как его линейная скорость Vt уменьшается с увеличением радиуса r, грузик должен отставать от этого радиус-вектора, т.е. должен вращаться относительно него  с какой-то угловой скоростью wr.  Это движение вынужденное, обусловленное, как мы показали выше, наличием связи, т.е. нити, но можно сказать, что оно должно вызываться какой-то силой, действующей в касательном направлении. На роль такой силы подходит только кориолисова сила инерции Fk, так как других сил здесь больше нет:
(19)
где Vr - заданная в радиальном направлении скорость, соответствующая каждому положению грузика.
Для точечной массы уравнение вращательного движения грузика в относительном движении (по отношению к радиус-вектору r0, вращающемуся с постоянной скоростью w0) будет:
(20)
где J0=mr2 - момент инерции грузика относительно точки 0 для любого его положения.
Преобразуем выражение (20) следующим образом:
(21)
где
В результате получим:
(22)

Проинтегрировав это выражение, найдем угловую скорость грузика в относительном движении:
(23)
Угловая скорость в действительном движении будет равна:
(24)
откуда получаем соотношение:
,
где , т.е. опять закон сохранения момента количества движения.
Таким образом, исследование движения грузика в касательном направлении под действием кориолисовой силы инерции дает тот же результат, что и другие рассмотренные нами способы.
Определим затраты энергии на вращательное движение грузика. Работа от момента кориолисовой силы инерции на элементарном угле поворота определится выражением:

(25)
Проинтегрировав данное выражение в выбранных пределах, найдем полную работу, затраченную на движение (торможение) грузика:
(26)
Таким образом, мы получили интересный и неожиданный результат: работа, затрачиваемая на вращение тела в относительном движении в два раза больше, чем изменение кинетической энергии самого грузика, определяемое соотношением начальной и конечной скоростей V0 и Vt. Этот результат требует осмысления. Возникает вопрос: откуда же берется энергия на движение? В данном случае это можно объяснить тем, что активной силой, вызывающей движение тела, является центробежная сила инерции.  Поэтому половину затрат энергии компенсирует работа центробежной силы при перемещении грузика в радиальном направлении от r0 до r. Вторая же половина затрат энергии связана с потреблением  энергии от самого грузика при его движении в касательном направлении за счет уменьшения его окружной скорости от V0 до Vt. И это все обусловлено наличием связи, накладываемой нитью на движение грузика и вращательным движением самого грузика.  Можно также сказать, что энергия центробежной силы инерции затрачивается на радиальное перемещение грузика, а энергия самого грузика затрачивается на преодоление  тормозящей силы в касательном направлении. Потребляет же всю эту энергию единственная противодействующая движению сила - кориолисова сила инерции, так как нить выдвигаясь только способствует движению в радиальном направлении, но не тормозит его.
Может быть наши рассуждения станут более понятными, если мы представим движение грузика к центру вращения. В этом случае грузик начнет вращаться быстрее. На что же будет затрачиваться энергия, подводимая к грузику через нить?  Во-первых ясно, что на увеличение энергии самого грузика, так как его скорость  будет возрастать.  Это, так сказать, явный результат, лежащий на поверхности явления. Но, наверно, также надо затратить энергию и на преодоление центробежной силы инерции - ведь она будет препятствовать движению к центру. Вот теперь, очевидно,  круг в системе доказательств замкнулся, и можно с уверенностью сказать, что такое явление, т.е. такие затраты энергии, существуют, и мы знаем, какие причины привели к этому. Следует также заметить, что поскольку центробежная сила инерции является результатом вращения грузика, то и затрачиваемая ею энергия является энергией вращения грузика вокруг точки 0.
И наконец, найдем угол поворота грузика в зависимости от его радиального положения. Для этого используем дифференциальное соотношение:
,                                                                                     (27)
которое преобразуем к виду:
(28)

Производя интегрирование, получим:
(29)
В относительном движении угол поворота будет равен:
(30)
Таким образом, на данном примере мы еще раз показали реальность центробежных сил инерции.
Нужно также подчеркнуть и другой интересный факт: переход работы, совершаемой радиальной силой при приближении грузика к центру вращения, в энергию движения грузика в касательном направлении, что и лежит в основе закона сохранения момента количества движения. Это явление имеет место, в частности, при вращательном движении планет вокруг Солнца, когда работа сил тяготения ускоряет их движение при приближении к Солнцу. При вращении грузика траектория его движения может быть сделана любой в зависимости от характера движения удерживающей его нити: ее можно перемещать быстрее, медленнее, с переменой скоростью. Движение планет происходит по эллиптической орбите в соответствии с характером силы тяготения и центробежной силы инерции. Вывод нового уравнения орбит планет будет дан ниже в параграфе 10.
Следует, однако,  заметить, что данные примеры являются  частными случаями изменения движения тел под действием приложенных к ним сил. Так, например, можно рассмотреть и другой случай такого движения, когда шарик движется вдоль неподвижной криволинейной поверхности с переменной кривизной (рис. 4).
Интересно, как будет изменяться линейная скорость движения шарика в этом случае и будет ли она вообще изменяться по величине. Для наглядности в качестве поверхности переменной кривизны возьмем эвольвенту (рис.5), радиус кривизны которой в любой ее точке равен отрезку нормали n-n от эвольвенты до точки касания с основной окружностью. Шарик запускается по касательной к эвольвенте с начальной скоростью V0, и будет затем двигаться по траектории, радиус кривизны которой будет уменьшаться. При таком движении на шарик будет действовать центробежная сила инерции:
,                                                                               (31)
где Vg - линейная скорость в касательном направлении (перпендикулярная радиусу кривизны), m - масса шарика. Наличие центробежной силы инерции приведет к появлению реакции со стороны стенки , направленной по нормали n-n, совпадающей с радиусом кривизны. Возникает вопрос: будет ли при этом совершаться работа приложенными к шарику силами? В данном случае такой внешней силой по отношению к шарику является реакция со стороны стенки. Чтобы работа совершалась, шарик должен перемещаться в пространстве под действием приложенной к нему силы или должно изменяться направление его скорости. Изменение направления скорости здесь очевидно, но будет ли происходить перемещение шарика в нормальном направлении? Очевидно, что да, так как происходит  изменение радиуса кривизны поверхности, что эквивалентно реальному перемещению шарика в нормальном направлении. Значит, работа приложенной к шарику силы будет совершаться, она будет увеличивать его энергию, что приведет к увеличению скорости его движения. Определение скорости движения шарика производится способом, аналогичным рассмотренному выше. Изменение энергии шарика равно совершенной работе, т.е. dE=dA. Работа силы определяется выражением:
(32)
где - элементарное перемещение шарика в нормальном направлении. Изменение кинетической энергии шарика dE равно:
(33)
Приравняв выражения (32) и (33), получим:
(34)
Чтобы решить это уравнение относительно , преобразуем его, взяв производную по:
(35)
и перегруппировав члены:
(36)
Возьмем теперь интеграл от выражения (36):
(37)
в результате чего получим:


,                                                                             (38)
т.е. получим закон сохранения момента количества движения. В результате скорость движения шарика будет определяться выражением:
(39)
а изменение его кинетической энергии будет равно:
(40)
Таким образом, получается, что увеличение энергии шарика происходит за счет работы, совершаемой реакцией со стороны криволинейной стенки на движение шарика, причем никаких затрат внешней энергии при этом не происходит. Это очень удивительный результат. Вполне очевидно, что то же самое будет иметь место и при движении шарика относительно других неподвижных поверхностей с другой переменной кривизной. В результате, можно прийти к заключению, что рассмотренные нами примеры вскрыли новые неизвестные ранее свойства вращательного движения и влияния сил  инерции на движение материальных объектов.