§2. Закон сохранения количества движения.

Законы сохранения кинетической энергии и количества движения долго конкурировали друг с другом, претендуя на ведущую роль, поскольку ни тот, ни другой закон не имеет строгого обоснования. Однако, ученые давно подозревали о наличии связи между ними, о чем говорил еще Х.Гюйгенс (1629-1695). По мнению Гюйгенса эта связь означает, что сохранение механической энергии в любой равномерно движущейся системе влечет за собой и сохранение количества движения. Поэтому после длительных споров ученые пришли к заключению об эквивалентности этих законов. Так, например, Даламбер по этому поводу сделал следующее заявление [2, с.39]: “Нужно каждому предоставить свободу решать данный вопрос по его усмотрению. К тому же затронутый вопрос представляет собой не более как совершенно бесплодный метафизический спор о словах, недостойный внимания философов”.
Связь между законами сохранения кинетической энергии и количества движения была установлена В. Паули (1900-1958). Для доказательства этой связи он использует идею Гюйгенса. Цитируем по [3, с.134-135]: “В системе, состоящей из соударяющихся частиц с массами скорости частиц переходят после ударов в скорости . Сохранение энергии выражается уравнением:

Пусть система приобретает добавочную скорость V. Скорости частиц до удара будут теперь равны , а после удара , и сохранение энергии выражается теперь соотношением:
,

  • или


Следовательно:

  • и


Скорость V - произвольна, поэтому написанное равенство будет справедливо только в том случае, когда:

Иначе говоря, импульс системы до соударения частиц, равный выражению, стоящему слева, сохраняется после соударения”.
Мы тоже рассмотрим этот вопрос в виду его особой важности на примере соударения шаров, но в несколько другой интерпретации (рис.1).
Пусть движение шаров происходит в произвольной инерциальной системе отсчета x-y в одном и том же направлении (рис.1,а) со скоростями и . После удара скорости шаров примут значения и . В соответствии с законом сохранения энергии будет справедливо следующее выражение:
,                                        (1)

  • где и - массы шаров.

Теперь рассмотрим относительное движение, приняв один из шаров за систему отсчета. Для этого используем принцип обращения движения, то есть сообщим обоим шарам одну и ту же скорость, например, , что приведет к остановке первого шара, так как его суммарная скорость будет равна нулю. Скорость же второго шара будет равна относительной скорости:
(2)
Закон сохранения кинетической энергии в этом случае примет вид:
(3)

  • или

(4)
Решая совместно уравнения (1) и (4) , получим выражение:
,                                                    (5)

  • которое путем добавления членов и можно преобразовать к виду:

(6)

  • или

(7)
Таким образом, получается интересный результат: из закона сохранения энергии вытекает закон сохранения количества движения. Еще следует отметить, что полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.
Если же рассматривать встречное движение шаров (рис.1,б), то для получения правильного результата скорость следует вычитать из скорости , то есть относительную скорость следует находить в соответствии с выражением (2), хотя, как видно из рисунка, эти скорости должны складываться. Это обстоятельство обусловлено тем, что скорости движения всех тел являются векторами, а это значит, что и при вычитании их величины могут суммироваться.
Таким образом, выражения (2), (5) и (7) следует рассматривать как векторные.
Решая совместно выражения (1) и (5), а также (3) и (7), найдем скорости шаров после удара, считая их векторами:
;                     (8)
;                     (9)
;                                                                           (10)
(11)
Используя эти выражения, найдем относительные скорости шаров после удара:
;                                                                     (12)
(13)
Таким образом, при упругом ударе относительные скорости шаров изменят только свое направление.
Выражение (1), характеризующее закон сохранения энергии, можно представить в другом виде:
(14)

  • или

;                                                                                     (15)
,                                                                                (16)

  • где

;                                                           (17)
,                                                         (18)

  • откуда следует, что энергия, приобретенная первым шаром, равна энергии, отданной вторым шаром.

Подставив значения скоростей и в выражения (7) и (8), получим:
;                   (19)
(20)
Посмотрим теперь, как будет выполняться связь между законами сохранения энергии и количества движения для более сложного случая удара – косого удара, когда скорости движущихся шаров направлены под углом друг к другу (рис.2). На рисунке шары разъединены для лучшего показа их картин скоростей. Принимаем, что скорость совпадает с направлением оси x.
Для решения задачи используем метод обращения движения, сообщив обоим шарам скорость , то есть в качестве системы отсчета в относительном движении выбираем первый шар, суммарная скорость которого будет равна нулю. Примем также для упрощения задачи, что результирующая скорость будет направлена по линии, соединяющей центры шаров. Тогда по известным значениям скоростей и для второго шара строится параллелограмм, с помощью которого устанавливается связь между этими скоростями и скоростью в относительном движении, а также может быть найден угол , так как угол задан.
Используя параллелограмм, с помощью теоремы косинусов получим выражение:
(21)

  • которое преобразуем к виду:

(22)
Из данного уравнения находим скорость в относительном движении до начала удара – :
(23)
Угол , характеризующий направление вектора , находим из выражения, полученного с помощью теоремы косинусов:
,                                                 (24)

  • откуда получим:

(25)
Таким образом, в результате проделанных операций получаем обычное соударение подвижного и неподвижного шаров по направлению линии их центров с начальной относительной скоростью .
Прежде чем определять скорости шаров после их соударения, установим связь между кинетическими энергиями шаров в абсолютном и в относительном движениях::
;                                         (26)
(27)
Так как
(28)

  • соответственно будут определяться и другие скорости в относительном движении:

;                                                                                     (29)
(30)
Подставив эти значения относительных скоростей в выражение (27), получим:
(31)
Сократив на два и возведя в квадрат разности скоростей, преобразуем выражение (31) к виду:
, (32)

  • где произведения скоростей и т. д. представляют собой скалярные произведения двух векторов.

Добавив в первое слагаемое правой части выражения и можно исключить члены, соответствующие выражению (26), в результате чего выражение (32) примет вид:
(33)
Сократив это выражение на и сделав группировку членов, получим:
(34)
Определив скорости , и в соответствии с выражениями (28) – (32):
(35)

  • и подставив их в выражение (34), преобразуем его к виду:

(36)
Таким образом, мы установили связь между законами сохранения энергии и количества движения в абсолютном и в относительном движениях шаров при косом ударе.
Решая совместно уравнения (27) и (36), найдем скорости шаров в их относительном движении:
;                                                                      (37)
,                                                                         (38)

  • где определяется выражением (23).

При решении уравнений для получения решения в векторной форме квадраты скоростей следует представлять как скалярное произведение двух одинаковых векторов .
Скорости шаров и в абсолютном движении могут быть найдены с помощью теоремы косинусов из параллелограммов, представленных на рис.2.
Для первого шара модуль скорости определится выражением:
,                                 (39)

  • откуда получим:

(40)
Для второго шара модуль скорости будет равен:
,                                               (41)

  • откуда найдем:

(42)
Углы и , характеризующие направления векторов и по отношению к векторам и , также находим с помощью теоремы косинусов:
;                                                          (43)
(44)
Подставляя в эти выражения значения скоростей и из формул (39) и (41), получим:
;            (45)
(46)
Для проверки полученных решений можно найти значения кинетической энергии шаров после удара, так как до удара их энергия была равна:
,                                                                   (47)

  • а после удара будет:

(48)
Подставив в выражение (48) значения квадратов скоростей и из выражений (39) и (41), получим:
(49)
Теперь используем значения модулей скоростей и из выражений (37) и (38):
(50)
Подставляя в данное выражение значение модуля скорости в соответствии с формулой (23) и произведя преобразования, получим в итоге, что , то есть закон сохранения энергии будет выполняться.
Рассмотрим теперь неупругий удар двух шаров. В этом случае часть энергии будет затрачена на структурные изменения (неупругие деформации в шарах) и на их нагрев, то есть изменение внутренней энергии. Поэтому выражения законов сохранения энергии в двух системах отсчета примут вид:
;                       (51)
(52)

  • где - потери энергии на неупругие деформации и нагрев шаров .

Решая совместно данную систему уравнений, получим закон сохранения количества движения в обычном его виде:
,                                                   (53)

  • то есть потери энергии при взаимодействии тел не оказывают влияния на вид этого закона.

Используя уравнения (51) и (53), найдем скорости шаров после их неупругого столкновения:
;                        (54)
(55)
Очевидно, выражения (54) и (55) будут иметь физический смысл только при положительном значении подкоренного выражения. Из этого условия можно найти значение , при котором еще будет выполняться закон сохранения количества движения, приравняв подкоренное выражение нулю:
(56)

  • или

,                                                                  (57)

  • где энергия соударения будет равна:

(58)
Выражения (54) и (56) с учетом формулы (57) можно представить в виде:
;       (59)
,       (60)

  • где

(61)
В относительном движении выражения для скоростей примут вид:
;                                                (62)
(63)
Из приведенных выражений следует, что при скорости шаров будут равны и они будут двигаться вместе как одно целое.
Если же коэффициент будет больше единицы, то подкоренное выражение будет отрицательным и выражения для скоростей потеряют физический смысл. Так как при шары будут двигаться как одно целое, для определения скорости их движения достаточно одного уравнения. При еще можно использовать закон сохранения количества движения, при следует использовать только закон сохранения энергии, хотя в математическом отношении закон сохранения количества движения будет выполняться и в этом случае. Таким образом, закон сохранения количества движения имеет пределы его использования. Это еще раз подтверждает приоритетную роль закона сохранения энергии по отношению к закону сохранения количества движения. Однако в принципе, возможно, что значения коэффициента не могут быть больше единицы, тогда оба закона будут справедливы всегда, но это утверждение требует экспериментальной проверки.
Так как шары при будут двигаться как единое целое с одной и той же скоростью закон сохранения энергии примет вид:
,                   (64)

  • где, в соответствии с выражением (61),

(65)
Решая уравнение (64), получим:
(66)

  • или в относительном движении:

(67)
Если вся энергия удара будет затрачена на потери, то есть когда будет выполняться соотношение:
,                                                                                              (68)

  • никакого изменения скорости первого шара не будет. Максимальное значение для этого случая может быть найдено из выражения (68):

(69)
Правда, остаются сомнения, возможен ли такой случай в действительности.
В §5 первой главы было показано, что количество движения характеризует инертность тела и определяется отношением , то есть отношением изменения кинетической энергии тела и изменению его скорости. В связи с таким определением инертности тела можно дать другой вывод закона сохранения количества движения. Для этого используем выражения (15), (17) и (18), поделив их на изменение скорости первого тела: :
(70)
Полученное выражение преобразуем к виду:
(71)
Используя соотношение скоростей (12) в виде:
,                                                                           (72)

  • преобразуем выражение (71) к виду:

(73)

  • откуда вытекает закон сохранения количества движения:


Законы сохранения энергии и количества движения широко применяется при решении различных задач механики. Однако, в виду того, что эти законы являются интегральными, так как учитывают состояния тел только до и после их взаимодействия, но не в момент самого взаимодействия, существует опасность утраты физического смысла самого взаимодействия, уход от объяснения этого физического смысла в связи с отсутствием его понимания, хотя конечный результат будет и правильным.
Докажем это утверждение на примере движения лодки, когда находящийся в ней человек бросит камень в воду (рис.3). Несомненно, что лодка будет двигаться в сторону, противоположную броску. Для решения задачи используется закон сохранения количества движения, который с учетом направления скоростей будет иметь вид:
,                                                            (74)

  • где - масса камня, - масса лодки, - масса человека, - скорость камня в момент его отрыва от рук при броске, - скорость лодки в первый момент после броска. Из уравнения (74) получим:

,                                                                           (75)

  • то есть, чем больше будет масса камня и его скорость, тем больше будет скорость лодки.

Если спросить преподавателей механики, какая причина заставляет двигаться лодку, то большинство из них ответит, что лодка будет двигаться потому, что должен выполняться закон сохранения количества движения. Такой ответ они дают потому, что не могут объяснить действительную причину движения, хотя прекрасно знают, что движение может происходить только под действием силы. Так какая же сила будет заставлять двигаться лодку?
Очевидно, здесь надо разобраться с взаимодействием рук человека и камня в момент бросания. Единственной причиной появления силы, действующей на человека, а через него и на лодку, является воздействие со стороны камня. Эта сила появится в том случае, если камень в момент броска будет двигаться ускоренно. Тогда он будет деформироваться и в нем возникнут упругие силы, которые и будут действовать на руки человека. Эти силы, как мы уже знаем, являются силами инерции и величина их будет равна произведению массы камня на его ускорение. Можно также сказать, что человек отталкивается от камня. Однако решить эту задачу с помощью второго закона Ньютона практически невозможно, так как мы не сможем найти ускорение движения камня в момент броска. Скорость его движения в первые моменты движения найти гораздо проще. Так что использование интегральных законов движения существенно упрощает решение многих задач механики. Правда, при этом не следует забывать и о физической сущности рассматриваемых явлений. В этом случае еще ярче раскроется математическая мощность интегральных законов сохранения.
Теперь рассмотрим более сложную задачу о дви­жении тележки, на которой расположены два груза, вращающиеся в разные стороны с одной и той же угловой скоростью (рис.4). Эта задача также решается с помощью закона сохранения количества движения:
,                                      (76)

  • где - масса одного груза, - масса тележки, - проекция скорости груза на ось y, r – расстояние груза от оси вращения, - скорость движения тележки в направлении оси y.

Из выражения (76) следует:
,                                                                           (77)

  • то есть тележка будет совершать гармонические колебания. Но какова же причина этих колебаний? Нельзя же утверждать, что тележка подчиняется закону сохранения количества движения. Колебаться тележку должна заставить сила, но какая? Единственным претендентом на эту роль может быть только центробежная сила инерции, действующая на вращающиеся грузы:

(78)
Под действием двух сил инерции тележка будет двигаться вдоль оси y. Характер движения тележки можно найти с помощью второго закона Ньютона:
(79)
Скорость движения тележки определится интегрированием данного выражения:
,                                  (80)

  • где С – постоянная интегрирования.

Для определения скорости движения тележки необходимо использовать начальные условия. Однако здесь возникает проблема: чему же будет равна скорость тележки при ? Предположим, что в начальный момент времени незакрепленная тележка и грузы были неподвижны, а затем грузы были приведены во вращение сразу же с постоянной угловой скоростью, то есть переходный режим движения будет отсутствовать. Таким образом, величина сил инерции сразу же примет конечное значение, определяемое выражением (78). Под действием сил инерции тележка должна была бы двигаться сразу в положительном направлении. Однако, надо иметь в виду, что при мгновенном появлении скорости движения грузов, появится теоретически бесконечное, а практически очень большое ускорение в направлении оси y, если грузы были расположены вдоль оси x, и соответствующая ему сила инерции в противоположном направлении, которая и заставит тележку двигаться в сторону ее действия в отрицательном направлении оси y, то есть фактически будет иметь место удар по тележке.
Примем, что начальная скорость тележки будет равна , тогда из уравнения (80) получим:
,

  • откуда найдем постоянную интегрирования С:

(81)
В соответствии с этим скорость тележки будет:
(82)
Проинтегрировав это выражение, найдем перемещение тележки вдоль оси y:
(83)
При заданных условиях движение тележки будет гармоническим, поэтому выражение в круглых скобках должно равняться нулю. Тогда закон движения тележки примет вид:
,                                                    (84)

  • а начальная скорость движения определится выражением:

(85)
Тогда скорость движения тележки в функции угла поворота определится из выражения (80):
,

  • что соответствует выражению (77).

Однако возможно и второе решение этой задачи, если считать, что сначала тележка закреплена, а грузы вращаются с постоянной скоростью . Затем, когда грузы займут положение вдоль оси x, тележка освобождается. При таких условиях силы инерции в направлении оси y будут отсутствовать, так как величина скорости вращения грузов изменяться не будет, поэтому не будет и удара по тележке в отрицательном направлении оси y и ее начальная скорость будет равна нулю. Тогда из уравнения (80) следует, что постоянная интегрирования С будет равна:
,                                                                       (86)

  • в связи с чем скорость тележки в функции времени будет иметь вид:

(87)
Интегрируя это выражение по времени, найдем перемещение тележки вдоль оси y:
(88)

  • откуда следует, что тележка будет двигаться вдоль оси y в положительном направлении, совершая при этом гармонические колебания с частотой . Такая ситуация оказалась возможной потому, что тележка была связана с внешней средой, она как бы оттолкнулась от нее, а дальше стала двигаться по инерции с постоянной средней скоростью. Действительно, из выражения (87) следует, что скорость тележки можно представить в виде суммы двух слагаемых:

,                                                                       (89)

  • где

;                                                                    (90)
(91)
Таким образом, периодически изменяющаяся проекция сил инерции грузов на ось y заставляет совершать тележку гармонические колебания и даже двигаться вдоль оси y в зависимости от начальных условий движения. Незакрепленная тележка будет совершать только гармонические колебания, а закрепленная и затем освобожденная тележка при будет совершать прямолинейное движение, на которое будет накладываться гармонические колебания.
Проведенный нами анализ был бы невозможен без учета действующих на тележку сил, каковыми являются в данном случае силы инерции. Если же движение тележки объяснять необходимостью выполнения закона сохранения количества движения, то это значит ничего не сказать по существу дела. Поэтому использование законов сохранения целесообразно совмещать с подробным силовым анализом рассматриваемой задачи.


Подобная задача рассмотрена в книге [4, с.90-91]

Такое решение рассмотрено в [5. С.143-144]

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации