§3. Закон сохранения момента количества движения (момента импульса).

Закон сохранения момента импульса является одним из основных законов механики для вращательного движения тел.
Рассмотрим сущность этого закона на примере вращательного движения грузика, соединенного с нитью, проходящей через трубку (рис.1). Сперва рассмотрим существующую точку зрения на использование закона сохранения момента импульса, изложенную, например, в работе [4, с.197-198].
Так как сила, действующая на тело со стороны нити, направлена по радиусу, момент вращения будет равен нулю и, следовательно, момент импульса должен быть постоянным, то есть:
(1)
Кинетическая энергия тела, находящегося на расстоянии равна:
,                                                                                       (2)
а при уменьшении расстояния до r увеличится до величины, равной:
,                                                      (3)
так как в соответствии с (1):
(4)
Отсюда следует, что работа A, совершаемая извне при укорочении нити от длины до длины r, определяется соотношением:
(5)
Далее цитируем: “Мы видим, что момент импульса действует на радиальное движение как некоторая эффективная потенциальная энергия отталкивания: мы должны совершить внешнюю работу над телом, чтобы переместить его с большего расстояния на меньшее, если мы требуем, чтобы в этом процессе момент импульса сохранялся постоянным”.
В приведенных рассуждениях можно выделить следующие моменты. Первое. Это требование, а не доказательство, сохранения момента импульса. И второе: сравнение момента импульса с потенциальной энергией в связи с затратами энергии при радиальном движении тела.
Оба отмеченных момента могут быть легко объяснены, если учитывать реальность центробежных сил инерции. Несомненно, что для ее преодоления при радиальном движении тела к центру вращения необходимо затратить работу. Тогда не будет необходимости сравнивать момент импульса с несуществующей потенциальной энергией отталкивания.
Теперь докажем закон сохранения момента импульса для рассматриваемого примера. Для этого воспользуемся известным соотношением между кинетической энергией и силой:
,                                                                                            (6)
где изменение энергии dE можно представить в виде:
(7)
В выражении (7) элементарное изменение радиуса dr берется со знаком минус, так как движение тела происходит к центру вращения. В виду малости dr сумма скоростей будет равна , а их разность - . Имея также в виду, что центробежная сила инерции определяется выражением:
,                                                                                       (8)
выражение (6) преобразуем к виду:
,                                                               (9)
откуда получим:
(10)
Проинтегрируем данное выражение в пределах от до r и от до :
(11)
Произведем преобразования:
(12)
Выражение (12) представит собой закон сохранения импульса, если его правую и левую части умножить на массу тела.
За счет работы, совершенной внешней силой, энергия вращения тела будет увеличиваться, за счет работы, совершенной силой инерции при движении тела во внешнюю сторону, энергия тела уменьшится в соответствии с выражением (5).
Покажем теперь, что и для вращательного движения момент импульса будет характеризовать инертность тела. Для этого возьмем отношение:
,                                                                                      (13)
где dE определяется выражением (7), а разность скоростей dV будет равна:
(14)
Тогда инертность тела в соответствии с выражением (13) будет:
(15)
Умножив выражение (15) на r, получим момент импульса.

 

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации