§8. Движение уравновешенного волчка вокруг неподвижной точки после удара

На рисунке 1 показан уравновешенный волчок, состоящий из двух одинаковых конусов, центр масс которого S совпадает с точкой опоры 0. Волчок вращается вокруг своей оси симметрии, но так как он находится в безразличном равновесии, его ось вращения может занимать в пространстве любое положение. Если по такому вращающемуся с большой скоростью волчку стукнуть в каком-либо направлении, сообщив ему скорость VА , он начнет прецессировать в пространстве, т.е. точки, лежащие на его оси начнут перемещаться в пространстве по круговым траекториям. Характер этих траекторий следует определить. Экспериментально эта задача исследована в книге Р. В. Поля [5, с. 107-111], описана она и других работах, например, в [6, с. 292], однако физическая сущность этого явления не имеет достаточного обоснования. Постараемся разобраться с этим.
После удара по волчку в объеме волчка появится дополнительное поле скоростей, показанное на рис. 1, которое будет взаимодействовать с полем скоростей от собственного вращения волчка, причем проекции скоростей этого дополнительного поля на плоскости, перпендикулярные оси вращения волчка, во всех точках одной и той же плоскости будут одинаковыми. Т.е., по сути дела, для каждой элементарной массы dm ее движение можно рассматривать как поступательное с некоторой постоянной скоростью Vl (см. рис. 2):
,                                                                                           (1)
где- угловая скорость волчка после удара в направлении, перпендикулярном оси Х, определяемая соотношением (см. рис. 1):
(2)
Волчок и систему координат X, Y, Z при этом в пространстве располагаем произвольно, так как волчок находится в безразличном равновесии.
При ударе по волчку на выделенную элементарную массу dm будет действовать сила dF1, определяемая выражением:
,                                                                                     (3)
где
;                                                            (4)
Момент этой силы относительно оси Y будет равен:
(5)
Интегрируя это выражение, получим общий момент для всего конуса:
(6)
К этому инерционному моменту добавится еще момент от сил инерции, возникающих при повороте элементарного диска dm радиуса r вокруг оси , проходящей через его центр масс Sdm и параллельной оси Х, что связано с поворотом волчка в целом вокруг оси Х. Мы уже рассматривали подобную задачу, поэтому сразу напишем значение момента для всего конуса:
(7)
Суммарный же момент определится выражением:
,    (8)
где момент инерции конуса относительно оси Х:
(9)
Аналогичным способом найдем силу dF2:
,                                                                                  (10)
где скорость V1 находится с помощью дифференциального уравнения:
,                                                           (11)
где , так как ось волчка перпендикулярна одновременно к осям Х,Y (см. рис. 2).
Отсюда получаем:
;                                                                                     (12)
;                                                                       (13)
Так как
,                                                                                     (14)
общий момент для конуса будет равен:

(15)
Сюда же добавится момент за счет поворота всех элементарных дисков:
(16)
Поэтому суммарный момент М2 будет равен:
(17)
Произведя ряд последующих расчетов по определению моментов М3, М4 и т. д. и просуммировав их, получим результирующие инерционные моменты, действующие на каждый из конусов волчка:
(18)
(19)
где - момент инерционных сил относительно оси X, а - тоже самое относительно оси Y.
Напомним, что здесь - начальная угловая скорость, возникшая за счет удара.
Чтобы было понятнее направление действия моментов, представим моменты в виде пары сил, приложенных в центрах масс конусов (см. рис. 3) в начальный момент движения. Момент направлен против удара, момент направлен по часовой стрелке, если смотреть с конца оси Y.
Под действием данных моментов волчок начнет совершать какое-то движение. Чтобы было легче представить ха-рактер этого движения, расположим оси X и Y в вертикальной плоскости (см. рис. 4). На рис. 4 направление удара характеризуется скоростью . Тогда эта задача будет похожа на уже рассмотренную нами задачу прецессионного движения волчка вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести. Поэтому дифференциальные уравнения движения волчка мы можем записать в виде:
;                                           (20)
,                                      (21)
где .
Здесь мы рассматриваем движение только одного конуса, так как движение обоих конусов будет симметричным. Решая дифференциальные уравнения с начальными условиями: , , , , получим:
;                                                                            (22)
;                                                                            (23)
;                                                                (24)
(25)
Характер движения волчка легче будет представить, если мы найдем линейные перемещения какой-либо точки, лежащей на оси вращения волчка. В качестве такой точки возьмем его центр масс. Тогда получим:
;                                               (26)
,                                                         (27)
где перемещение будет происходить в начальный момент движения вверх, параллельно оси Х, а перемещение - вправо, параллельно оси У, т.е. по направлению удара (см. рис. 4). Полученные нами уравнения траектории точки представляют собой уравнение окружности, радиус которой определяется выражением:
,                                                                                      (28)
а центр А смещен от центра масс на такую же величину. Положение этой окружности показано на рис. 3 и 4. Эта окружность будет лежать на сфере радиуса . Из приведенного решения следует, что центр масс волчка будет двигаться по окружности, вращаясь в туже сторону, что и волчок, и с той же угловой скоростью . Однако, анализ показывает, что центр масс волчка не может вращаться вокруг точки А с такой же угловой скоростью, как и волчок. Рассмотрим этот вопрос подробнее. На рис 5 в соответствии с рис. 4 показано движение центра масс волчка- точки - вокруг точки А и вращение самого волчка вокруг точки . Если скорости вращения будут одинаковыми, то угол поворота тела вокруг своей оси (точка ) будет в точности равен углу поворота его центра масс вокруг точки А, т.е. точка В тогда будет находиться на одном и том же радиусе - векторе АВ. Следовательно, тело по отношению к этому радиусу-вектору вращаться не будет, значит, не будет и вращаться по отношению к линейной скорости. В результате должно прекратиться взаимодействие прямолинейного и вращательного движений, ввиду отсутствия последнего и, следовательно, должны исчезнуть инерционные силы, причем это произойдет практически мгновенно после удара, как только обозначится вращение вокруг точки А.
Таким образом, волчок по отношению к точи А так двигаться не может. Чтобы происходило вращение и не исчезали силы инерции, должна иметь место относительная скорость вращения тела по отношению к окружной скорости:
(29)
Чтобы тело двигалось по окружности под действием сил инерции, они должны изменяться с такой же частотой, что и скорость , т.е. должно выполняться условие:
,                                                                     (30)
откуда следует:
(31)
В результате центр масс волчка будет двигаться по окружности радиуса:
(32)
Выявленное нами обстоятельство приводит к тому, что во всех формулах, где фигурирует угловая скорость , ее необходимо заменить относительной угловой скоростью . И это относится не только к данной задаче, но и ко всем задачам, рассмотренным выше в других параграфах.
Таким образом, любая точка, лежащая на оси вращения волчка, будет описывать окружность с радиусом:
,                                                                (33)
где l - расстояние от выбранной точки до начала координат, в результате чего образуется конус вращения, показанный на рис. 3 и 4, расположенный по касательной к направлению удара.
Исследуем характер движения волчка подробнее в соответствии с анализом, приведенным в работе [5]. Для этого изобразим на плоскости X-Y траекторию движения центра масс волчка (см. рис. 6), который вращается вокруг неподвижной оси (точка А), называемой осью суммарного импульса, т.е. момента импульса волчка, сложенного с моментом импульса от удара.
Так как волчок совершает сложное движение, при котором его центр масс вращается вокруг точки А с угловой скоростью , а сам волчок вращается вокруг точки с угловой скоростью на рисунке 6 показаны картины распределения линейных скоростей в теле волчка для этих движений, с помощью которых может быть найден мгновенный центр скоростей волчка в выбранном положении. Для этого приравняем линейные скорости в точке , характеризующей положение мгновенного центра скоростей и определяемой координатами и :
,                                                                                                              (34)
где
;                                                                                           (35)
(36)
Принимая во внимание соотношение , получим:
,
откуда следует:
;                                                                                                (37)
а так как сумма этих радиусов равна , то
;                                                                                            (38)
(39)
Теперь можно найти скорость вращения волчка вокруг мгновенного центра скоростей:
(40)
В свою очередь мгновенный центр скоростей вращается вокруг точки А с угловой скоростью .
И наконец, найдем угол при вершине конуса нутации (см. рис. 4):
(41)
откуда
,                                                                             (42)
т.е. зависит от соотношения угловых скоростей от удара и вращения волчка.
При движении конуса со временем, как показали эксперименты [5], угол нутации будет уменьшаться. Это явление может быть объяснено наличием трения в месте опоры волчка. Этот вопрос мы не рассматриваем.