§10. Взаимодействие вращающихся тел с движущейся средой. Эффект Магнуса.


Эффект Магнуса возникает при обтекании вращающегося тела  жидкой или газообразной средой (рис. 1). Сущность этого эффекта, открытого немецким ученым Г.Г. Магнусом в 1852 г., заключается в возникновении поперечной силы F, действующей на вращающееся тело. Это явление объясняется тем, что вследствие вязкости жидкости скорость течения со стороны, где направление скорости V потока и вращения цилиндра совпадают, увеличивается, а со стороны, где они противоположны уменьшается. В результате давление на одной стороне  возрастает, а на другой уменьшается, т.е. появляется поперечная сила, которая направлена всегда с той стороны вращающегося тела, где направление вращения и направление потока противоположны, к той стороне, где эти направления совпадают.
Величина поперечной силы F определяется с помощью теоремы Жуковского:
,                                                                                  (1)
где rср - плотность среды, - скорость потока на бесконечности, Г - циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый цилиндр, h - длина цилиндра.
Направление поперечной силы можно определить также, если направление скорости на бесконечности повернуть на прямой угол против направления циркуляции.
Однако, сама по себе теорема Жуковского не решает вопроса о теоретическом определении подъемной силы, т.е. без какого-либо дополнительного условия нельзя найти то значение функции Г, которое нужно подставить в формулу (1), чтобы получить значение поперечной силы, совпадающее с действительным [7, с. 252].
Физической причиной поперечной силы по теории Жуковского являются вихри, мерой интенсивности которых и служит циркуляция скорости. В рамках теории идеальной жидкости появление вихрей необъяснимо, такие вихри Жуковский назвал присоединенными. В реальной же жидкости их появление объясняют действием сил трения, которые развиваются и проявляются  в пограничном слое, прилегающим к поверхности тела. Таким образом,  присоединенные вихри Жуковского являются теоретическим эквивалентом системы вихрей, возникающих в пограничном слое реальной жидкости.
В предлагаемом нами объяснении физической сущности эффекта Магнуса не требуется введения несуществующих присоединенных вихрей, задача решается путем рассмотрения взаимодействия полей кинетической энергии, возникающих при вращении цилиндра в движущейся среде.
В предыдущем параграфе было показано возникновение неоднородного поля скоростей и соответствующего поля кинетической энергии при обтекании неподвижного тела потоком среды.  Эти поля были обусловлены торможением среды о неподвижное тело, что обусловливало деформацию растяжения частиц среды  в касательном направлении, так как внешние частицы тянули за собой внутренние. лежащие ближе к телу, движению которых препятствовало тело. Максимальные деформации растяжения частиц будут иметь место с внешней стороны по отношению к поверхности тела в связи с большей скоростью движения, поэтому возникающие силы инерции, представляющие собой упругие силы деформации, в радиальном направлении должны быть направлены во внешнюю сторону. На рис. 2 показан характер деформации частиц среды  при их торможении о неподвижное тело. Стрелками показаны упругие силы в поперечном направлении, возникающие при этом, причем сила F1 должна быть больше силы F2, вследствие чего результирующая сила инерции от всех частиц будет направлена во внешнюю сторону.
Если тело (цилиндр) привести во вращение, то появится новое поле скоростей и новое поле кинетической энергии в окружающей среде, которое тоже будет связано с деформацией частиц среды,  имеющей уже другой характер (см. рис. 3), вследствие чего результирующая сила инерции будет направлена к поверхности тела.
Поля кинетической энергии, обусловленные движением среды и вращением тела, должны взаимодействовать между собой, что приведет к появлению новой результирующей силы. Поэтому мы должны выяснить характер этого взаимодействия, который, вполне очевидно, будет зависеть от направлений скоростей потоков частиц для одного и другого поля. На рис. 4 показано совместное взаимное расположение полей скоростей для обоих движений. Для верхней половины цилиндра направления скоростей движения частиц будут совпадать, для нижней половины - направлены в противоположные стороны. Для взаимодействующих полей можно выделить координату r0, на которой их скорости движения и, следовательно, энергии будут равны. Эта координата является границей, меняющей характер взаимодействия полей: ближе к телу большим будет поле вращающегося цилиндра, дальше от тела - поле кинетической энергии среды. В предыдущем параграфе, где рассматривалось взаимодействие плоских тел, было предложено большее поле кинетической энергии считать за основное, меньшее - за поле потенциальной энергии. Поэтому характер полей в зависимости от координаты r0 будет различным, что и необходимо учесть. Для определения характера взаимодействия вращающегося тела с движущейся средой зададимся законами изменения скоростей для полей кинетической энергии тела и среды:
;                                                                                 (2)
,                                                               (3)
где R - радиус цилиндра, m - показатель степени, r - текущий радиус, V0=wR - окружная скорость на поверхности цилиндра, V - неискаженная скорость движущейся среды (скорость на бесконечности), j - угловая координата.
Для определения координаты r0 приравняем выражения (2) и (3):
,                                                    (4)
откуда находим:
(5)
Поскольку на верхней половине цилиндра скорости полей совпадают, а на нижней направлены в разные стороны, будем рассматривать взаимодействие полей отдельно для верхней и нижней части цилиндра, а также отдельно на участках с координатами и .
Для внутренней области() верхней половины цилиндра будем иметь взаимодействия следующих полей:
1) поле кинетической энергии, создаваемое вращающимся телом:
,                                                                  (6)
2) поле потенциальной энергии, создаваемое движением среды:
,                                            (7)
Динамического давления при взаимодействии этих полей возникать не будет. Сила от поля кинетической энергии, будет действовать по направлению к центру цилиндра, сила от поля потенциальной энергии будет направлена в ту же сторону, так как производная от потенциальной энергии должна быть взята с отрицательным знаком. Это правило будем учитывать и при рассмотрении взаимодействий других полей.
Для внутренней области нижней половины цилиндра будут взаимодействовать поля:
1) поле кинетической энергии от вращающегося тела и среды:
,          (8)
2) поле потенциальной энергии, равное удвоенной энергии cреды:
,                                        (9)
Кроме действия полей на цилиндр будет также действовать динамическое давление, определяемое удвоенным значением кинетической энергии cреды.
Для внешней области () верхней половины цилиндра будут иметь место следующие из полей:
1) поле кинетической энергии от движения cреды:
,                                             (10)
2) поле потенциальной энергии от вращения тела:
,                                                                 (11)
Динамического давления при этом возникать не будет. Сила от поля кинетической энергии будет направлена во внешнюю сторону от центра цилиндра, сила от поля потенциальной энергии будет направлена в ту же сторону.
Для внешней области нижней половины цилиндра будут взаимодействовать поля:
1) поле кинетической энергии от совместного действия полей цилиндра и cреды:
,          (12)
2) поле потенциальной энергии от вращения цилиндра:
,                                                              (13)
Динамическое давление, возникающее при встречном взаимодействии полей непосредственно на цилиндр действовать в этом случае не будет. Сила от поля кинетической энергии будет направлена во внешнюю сторону от центра цилиндра, от поля потенциальной энергии - туда же.
Если проанализировать суммарное действие сил, приложенных к верхней и нижней частям цилиндра, то окажется, что силы уравновешивают друг друга как для внутренней, так и для внешней областей взаимодействующих полей. Так, для внутренней области сумма кинетических и потенциальных энергий будет одна и та же для его верхней и нижней частей и равна:
,  (14)
а для внешней будет той же самой:
,
Поэтому силы, определяемые взаимодействием рассмотренных полей никакого влияния на вращающийся цилиндр не окажут. Остается только действие сил, обусловленных динамическим давлением на нижней поверхности цилиндра. Найдем эти силы.
При взаимодействии полей от вращающегося тела и движущейся среды, приводящего к появлению динамического давления, возможны следующие случаи (см. рис. 5).
Первый случай. Окружная скорость цилиндра больше проекции скорости среды в пределах некоторого угла, который назовем критическим - jкр. Величину этого угла можно найти из соотношения, характеризующего равенство скоростей цилиндра и среды:
,                                                                                 (15)
откуда
(16)
Тогда динамическое давление на поверхности цилиндра определится удвоенным значением энергии среды:
(17)
Поделив это выражение на объем элементарной массы dm, найдем само динамическое давление:
(18)
Элементарная сила от динамического давления определится произведением давления на элементарную площадку на поверхности цилиндра:
,                                                 (19)
где h - длина цилиндра.
Проекция полной силы на вертикальную ось определится удвоенным интегралом (учитываем лобовую и тыловую стороны цилиндра):
(20)
Второй случай. При угле j большим критического значения V0 < Vsinj . Тогда динамическое давление определится удвоенным значением кинетической энергии от цилиндра:
(21)
и будет определяться выражением:
(22)
Проекция  силы от этого давления на вертикальную ось будет равна:
(23)
Очевидно, что результирующая вертикальная сила определится суммой выражений (22) и (23) и будет равна:
(24)
И, наконец, возможен третий случай, когда окружная скорость V0 будет больше скорости среды на всей поверхности цилиндра. Тогда динамическое давление будет зависеть от удвоенного значения кинетической энергии среды:
(25)
и определится выражением, аналогичным выражению (18)

Проекция силы от этого давления на вертикальную ось будет равна:
(26)
Выражения (24) и (26) можно преобразовать, если учесть, что произведение Rh представляет собой половину площади продольного сечения цилиндра Sпрод, т.е. S  Sпрод/2:
(27)
.                                                                (28)
Результаты расчетов по приведенным формулам представлены на рис. 6. При значении отношения V0/V равным единице значения сил совпадают. Из формул следует, что при дальнейшем увеличении скорости вращения цилиндра величина вертикальной силы увеличиваться не будет. Это объясняется тем, что скорость среды при этом не изменяется и на всех участках поверхности цилиндра будет меньше V0.

Полезная информация

Интересные предложения
В ближайшее время планируется опубликовать первую часть научной работы Макарова Б.И. "Законы управляющие вселенной"

Популярные Материалы

Теория

Гидравлический теплогенератор с КПД 120-170 % - вымысел или реальность? КПД выше единицы означает, что количество выделяемого тепла будет больше, чем потребленная электродвигателем энергия. Однако, научного объяснения это важное обстоятельство до сих пор не имеет. Позже мы опубликуем свою версию объяснения этого явления.

Последние Публикации