§1. Вращение цилиндра в окружающей среде

При движении твердых тел по отношению к окружающей среде на них будут действовать гидродинамические силы, обусловленные возникновением неоднородного поля кинетической энергии в среде в связи с вовлечением в движение частиц среды твердым телом. Характер поля кинетической энергии в среде зависит от характера закона распределения скоростей движения частиц в объеме среды. Гидродинамические силы определяются скоростью изменения поля кинетической энергии по пространственной координате, т.е. производной от этого поля по выбранному направлению и, как было показано выше, представляют собой силы инерции.
Рассмотрим вращение тела цилиндрической формы в окружающей жидкой или газообразной среде (рис. 1). При вращении тела в среде оно будет увлекать за собой частицы среды , приводя их тем самым во вращательное движение вокруг центра своего вращения- точки О. Несомненно, что линейные скорости частиц среды будут уменьшаться по мере их удаления от вращающегося тела. Величина действующей на частичку силы будет зависеть от характера поля скоростей в окружающей тело среде. Это поле будет зависеть от физических свойств среды и, в первую очередь, от ее вязкости. Однако, в литературе приводятся формулы, в которых вязкость не учитывается. Например, в работе [1, с. 85] дается формула зависимости линейной скорости от координаты r в виде:
,                                                                       (1)
где - угловая скорость вращения цилиндра, R- радиус цилиндра, - линейная скорость на поверхности цилиндра.
Поскольку других данных нет, мы, в качестве примера, тоже примем такой закон изменения скорости частиц среды по ее объему, тем более, что наша методика может быть использована для любого закона изменения скоростей. В этом случае сила, действующая на элементарную массу, будет равна:
(2)
где элементарная масса dm определяется выражением:
(3)
Здесь: h- длина цилиндра, - плотность среды, - элементарный угол, соответствующий размерам частицы.
Знак минус показывает, что эта сила направлена к телу. Однако, направление этой силы можно найти и по характеру деформации частицы среды (см. рис. 1). Так как скорость движения частиц среды с внутренней стороны будет больше, чем с наружной, частица будет испытывать большие деформации растяжения в касательном направлении с внутренней стороны, поэтому в радиальном направлении упругая сила сжатия за счет удлинения частицы будет больше с этой же стороны, т.е. , и поэтому результирующая упругая сила будет направлена к телу. Таким образом, по отношению к телу частички среды будут вести себя как упругие сжатые пружинки. Отсюда также вытекает и физическая сущность этой силы как силы инерции.
Поскольку рассматриваемая задача является осесимметричной можно найти давление в среде, создаваемое силами инерции dF. Для этого поделим эту силу на поверхность dS элементарной массы dm:
,                                                                                      (4)
в результате, используя выражения (2) и (3), получим:
,                                                         (5)
где - давление на частичку среды, обусловленное собственной силой инерции.
Кроме давления, возникающего под действием собственной силы инерции, частичка среды будет испытывать и давление со стороны внешних по отношению к ней частиц. Суммарное давление на частицу определится интегралом:
(6)
На поверхности цилиндра при r=R давление будет равно:
(7)
Это давление определит величину сжимающей цилиндр силы:
,                         (8)
где - масса среды в объеме цилиндра.
Как видим, при большой скорости вращения цилиндра эта сила может достигать большой величины. Поскольку давление на всей поверхности цилиндра будет одним и тем же, вращающееся тело будет находиться в равновесии.
Вращающееся тело создаст в окружающем его пространстве вихрь, который будет играть роль воронки, втягивающей попавшие в нее тела. На рис. 1 показано такое тело диаметром , находящееся на расстоянии от центра цилиндра. Прижимающую силу приближенно можно определить, используя выражение (2) и считая размеры тела значительно меньшими, чем размеры цилиндра. Для этого возьмем интеграл с пределами интегрирования по r от до и по от до , где:
(9)
где - поперечное сечение тела, - длина тела.
Поскольку неподвижное тело экранирует часть пространства, ограничивая область его действия на вращающееся тело, силы, действующие на него со стороны среды уже не будут уравновешены. Поэтому на вращающееся тело тоже будет действовать сила, направленная в сторону неподвижного тела и равная по величине силе, действующей на это тело. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть выражение характеризующее силу, действующую на вращающееся тело (см. рис. 1):
(10)
Преобразуем это выражение, добавив в него интегралы:
,
после чего оно примет вид:
(11)
так как сумма двух первых интегралов будет равна нулю. В итоге мы получим выражение в точности соответствующее выражению (9).
Определим, однако, более точно силу, действующую на цилиндрическое тело, находящееся в зоне действия вращающегося тела (рис. 2). Для этого разобьем все пространство среды на три зоны, характеризуемые следующими параметрами:


(12)
Расстояния и до вращающегося цилиндра определим с помощью соотношений:
;                          (13)
,                       (14)
где
;                                                                    (15)
(16)
В результате получим:
;                                       (17)
(18)
Используя формулу (2), найдем силу, действующую со стороны среды на невращающееся тело цилиндрической формы в осевом направлении , для чего силу умножим на (длины цилиндров будем считать одинаковыми):
(19)
Интеграл по в выражении (19) преобразуем, умножив числитель и знаменатель подынтегрального выражения на сопряженное со знаменателем выражение:
,
в результате чего интеграл по

примет вид:
,    (20)
который является табличным и определяется выражением:
(21)
Так как выражение (21) преобразуется к виду:
(22)
так как .
В результате сила будет равна:
(23)
При наличии не вращающегося тела часть среды, окружающей вращающееся тело будет экранирована, поэтому силы, действующие на вращающееся тело со стороны среды, не будут уравновешены. Эта неуравновешенность будет обусловлена отсутствием давления со стороны зоны III, когда на вращающееся тело будут действовать только силы, связанные с зонами I и II. Поэтому найдем проекции этих сил на межцентровое расстояние между телами:
(24)
Используя выражение (17) для верхнего предела , преобразуем выражение (24) к виду :
(25)
Интеграл в выражении (25) берем так же, как и интеграл в выражении (19), умножив и поделив подынтегральное выражение на сопряженное выражение:
,
в результате получим:
(26)
Полностью сила F будет равна:
(27)
Как следует из формул (23) и (27), силы, действующие на вращающийся и невращающийся цилиндры будут разными. Разность этих сил будет равна:
(28)
Расчеты показывают, что сила F будет больше силы . Таким образом, благодаря вращению одного тела происходит взаимодействие двух тел через посредство окружающей среды. Однако, при таком взаимодействии, как видим, не будет выполняться третий закон Ньютона. Очевидно, это связано с тем, что взаимодействие вращающегося тела происходит не только с неподвижным телом, но и с окружающей средой.
Рассмотрим теперь задачу, представленную на рис. 3. Здесь цилиндр ограничен с одной стороны ограждением, поэтому характер поля скоростей с этой стороны будет другим. Вследствие этого силы и , действующие на цилиндр в вертикальном направлении с разных сторон, будут различными:
;     (28)
(29)
Результирующая сила, действующая на цилиндр, будет равна:
(30)
В качестве другого случая несимметричного поля скоростей рассмотрим задачу, представленную на рис. 4. Здесь цилиндр находится на некотором расстоянии L от неподвижной поверхности, которая ограничивает поле скоростей среды переменной координатой , величина которой определяется выражением:
(31)
Используя формулу (2), найдем проекции на вертикальную ось сил и , действующих на верхнюю и нижнюю части цилиндра:
;       (32)
(33)
Результирующая сила от этих сил инерции будет направлена вниз, а ее величина определится выражением:
(34)
Следует, однако, отметить, что приведенные выше решения задач не будут вполне точными, так как принятое распределение скоростей в среде в действительности не будет возможно, так как в этом случае энергия, сообщаемая телом среде, будет равна бесконечности. Действительно, проинтегрировав выражение кинетической энергии для элементарной массы dm:
,
получим:
(35)
Для того, чтобы кинетическая энергия среды не была бесконечной, закон распределения скоростей следует представить в виде:
,                                                                               (36)
где показатель степени должен быть больше единицы. Тогда кинетическая энергия среды определится выражением:
(37)
где - масса среды в объеме тела.
Таким образом, принятое нами вначале распределение скоростей частиц среды в соответствии с литературными источниками требует уточнения. В приведенном нами источнике [1] эта проблема даже не обсуждалась.
Все приведенные нами решения могут быть уточнены в соответствии с выражением (36). Это не представляет особых математических трудностей.