§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.13

Ньютон четко сформулировал основные задачи исчисления: “По данному соотношению между флюэнтами определить соотношение между флюксиями” [18, с.268].
Теперь приведем пример Ньютона, рассмотренный им для объяснения сущности дифференцирования [19, с.148].
Пусть дано уравнение, говорит Ньютон:
(56)
Подставим в него вместо x и вместо y, где и - флюксии или скорости изменения флюэнт (переменных) x и y, а 0 – бесконечно малое количество. Произведения же и Ньютон называет моментами флюксий.
В результате получим:
(57)
Исключим отсюда члены, характеризующие исходное уравнение, так как их сумма равна нулю, затем после деления всех оставшихся членов на 0 получим:
(58)
Но поскольку 0 мы считаем бесконечно малым, то члены, которые умножены на него, суть ничто по сравнению с остальными, поэтому после их отбрасывания остается выражение:
(59)
Чтобы нам понять, что получилось у Ньютона, используем современные знания и продифференцируем исходное уравнение по какому-нибудь параметру, например, t. Тогда получим:
(60)
Обозначив и , придем к выражению (59), полученному Ньютоном.
А теперь проведем анализ приведенного Ньютоном примера. Во-первых, не ясно, что представляет собой 0. Во-вторых, непонятно, зачем надо делить на 0, а затем отбрасывать члены, в которых это 0 осталось. Ньютон назвал 0 исчезающей величиной, то есть бесконечно делимой. Ее суть можно понимать по-разному, ее можно считать и бесконечно малой величиной, и нулем. Это дало основание епископу Беркли критиковать основы анализа бесконечно малых. Он был убежден, что верные результаты получаются за счет компенсации ошибок. Это тоже не добавило ясности в сущность метода дифференцирования.
С наших позиций Ньютон должен был дать такое объяснение.
Имеется данная функция, даем приращение ее переменным величинам и , находим соответствующее приращение функции:

(61)
Приращения и следует выразить через некоторый параметр t следующим образом:
(62)
откуда
,                                                 (63)
где и - средние скорости изменения x и y при изменении параметра t на величину . Подставив значения и в выражение (61) и поделив его на , найдем отношение , которое при определит производную :
(64)
где и при .
Таким образом, мы получили тот же результат, что и Ньютон, но вполне логично. Если бы он сделал это так же, многих проблем можно было бы избежать. Тем не менее результат у Ньютона получился правильным. Давайте разберемся, в чем причина этого. Во-первых, подставив в исходное уравнение величины и и вычтя из полученного выражения исходное уравнение, Ньютон тем самым получил приращение функции при некотором дополнительном независимом параметре, приращение которого равно 0 (буква, а не нуль!). Во-вторых, Ньютон делит все члены на 0, то есть на приращение независимого параметра, о котором он не говорит, хотя и подразумевает. Обозначим его буквой t, тогда . Таким образом, Ньютон находит отношение . И, наконец, Ньютон делает последний правильный шаг: все члены с приращением 0 считает равными нулю, так как он их отбрасывает. В итоге получается производная по параметру t от исходной функции .